21考研数学高数押题班.pdf

1()f x有一阶连续导数，且(0)=(0)1ff=，求0(sin)1limln()xfxf x 解：导数定义 0(sin)(0)sin(0)sinlim(0)1ln()ln(0)(0)(0)xfxfxfxff xffxxf=中值定理 1(sin)1(sin)(0)()sinfxfxffx=22()ln()ln()ln(0)()ff xf xfxf=原极限1022()sin(0)lim(0)1()(0)()(0)xfxffffxff=2 设0 x，0 xtxe dtxe=，则limx+=_1_ 解：0 xtxe dtex=，0lnlnxtxe dtx=00lnln1limlimlimxtxxxxxte dtxexxe dt+=000limlimxxtxxxxxxxttxxee dtexeexe dte dtxe+=+=1limlim12xxxxxxxexexeexex+=+3 130lim()3xxxxxabcabc+=3lim()3nnnnnabcabc+=12lim(nnnaa+1)nnma（其中0ia，1,2,i=m）=12max(,a a)ma 1 122lim(nnnp ap a+112)max(,nnmmp aa a=,)ma 12lim(2nnnaa+12020122020)max(,nnaa a+=2020)a 4 当0 x 时，确定下列函数是x的几阶无穷小量（1）(1)1xx+（2）11xx+（3）tansinxxee（4）3434xx+（5）31arcsincosxxx+（6）ln(1)0(1 cos)xxt dt+5 证明方程210 xnex+=有唯一实根nx(1,2,n=)证lim1nnx=证11()2nxnn+6 11(31)xyxe=的斜渐近线方程为32yx=+331atxt=+2331atyt=+(1)t 的斜渐近线方程为0 xya+=7 设()f x的定义域为()2 2，()f x可导，且(0)1f=，()0f x，212costan0(cos)lim()()xxxnnf xhxef x+=，求()f x及()f x的极值 8 设(,)f x y可微，且满足条件(0,)cot(0,)yfyyfy=，(,)ff x yx=，(0,)12f=，求(,)f x y 9()xf xxe=，()1lim(0)nnf=_ ()11(0)()knkffnn=_ 解：10!nxnxxen+=又(0)(0)xxeffx=+()(0)!nnfxn+()()()(0)1(0),(0)!(1)!nnkffn fknn=110011()()1nxkkff x dxxe dxnn=10 设()f x在xa=处可导，则3322()()limxaf x af a xax=_（A）23()2()a faf a+（B）21()()32afaf a+（C）323()()3a faf a （D）23()()22afaaf a+11()f x有连续导数，且0()()lim11xxf xfxe+=，则当(0)0f=时（）（A）(0)f是()f x的极大值 （B）(0)f是()f x的极小值（C）(0)f不是()f x的极大值 （D）不能判断(0)f是否为极值 (,)f x y在(0 0)的某邻域内连续，且2200(,)(0,0)lim0sinsinxyf x yfAxxyy=+，则（B）（A）点(0 0)是()f x的极大值点（B）点(0 0)是()f x的极小值点（C）不是极值点（D）无法判定 解：222213sinsin(sin)sin024xxyyxyy+=+由保号性得(,)(0,0)0f x yf 12 121 ln(1)1 ln(1)1 ln(1)lim+11112nnnnnnnnn+101 ln(1)2ln2x dx=+=13 设由方程sinx yeyxe+=确定()yy x=，求曲线在(0)处的切线方程 解：()(sincos)0 x yedxdyxdyydx+=cossinx yx yyxedydxex+=，0,1xy=代入01xdyedxe=故切线方程为(1)0e xeye+=2yxx=在(1 0)处的曲率(1)12k=解：曲率公式为32()(1()yxky x=+代入即可 642yaxbxcx=+在拐点(11)处有水平切线，则,a b c应为（D）（A）1,3,3（B）3,1,3（C）3,1,3（D）1,3,3 解：由(1)1y=，(1)0y=，(1)01,3,3yabc=一注水容器，其内壁是由曲线arctan(01)yxx=绕y轴旋转一周形成的，现向该容器内注水，注水速度为4y，其中y是容器内水面的高度.求液面升到容器高度一半时液面上升的速度.解：当液面的高度为()yy t=时，容器内液体的体积为20tanyVudu=2tandVdyydtdt=，已知4dVydt=，24tanydydty=于是当液面上升到容器高度一半，即当8y=时，液面上升速度为832 28ydydt=+=14()f x在上连续，在(0)上二阶可导，2121(0)(1)fxxdx=+，21ln(1)xfdxx+=，10()3f x dx=，证：(0,1)，使()0f 15()f x在上可导，(0)(1)0ff=，且122()1lim11()2xf xx=证()f x在上的最大值大于 1 (0,1)，使()2()1ff=+16()x是a a 上的连续正值函数，()()aaf xxtt dt=，xa a 证明：()yf x=在a a 上是凹的 证：()()()()()xaaxf xxtt dttxt dt=+，()()()xaaxfxt dtt dt=()2()0fxx=()yf x=在a a 上是凹的 证明方程2040cos10 xtxt dtedt+=有且仅有一个根 证：令2040cos()1xtxF xt dtedt=+则201(0)0tFedt=，420()102Ft dt=+由零点定理可知，方程()0F x=在(0)2内有根，由于24cos()1sinxF xxex=+，而411x+，又因2cos01xe，1sin1x，故2cos1sin1xex，于是()0F x，即()F x单调增加，从而()0F x=有且仅有一个根.ln2 1a，证0 x 时，221xxaxe+证：令2()21xf xexax=+，则()22xfxexa=+，()2xfxe=令()0ln2fxx=，当ln2x 时()0fx；当ln2x 时，()0fx，所以ln2x=是()fx的最小值点，且(ln2)2ln220fa=+()(ln2)0fxf，()f x在(,)+上严格单增，(0)0f=，当0 x 时()0f x，即221xxaxe+，0 x.比较1()nn+与(1)nn+的大小，这里n 解：等价比较2(1)lnnn+与2ln(1)nn+的大小，2222ln(1)lnln(1)(1)ln(1)1nnnnnnn nnn+=+令2ln()xf xx=，9x，则2ln(2ln)()0 xxfxx=，所以()f x严格单减，于是 22ln(1)(1)ln0nnnn+即22ln(1)(1)lnnnnn+ln(1)1lnnnnn+两边同乘12得ln11lnnnnn+去对数得(1)nn+1()nn+17 lnln1xy+=所围面积为S=_ 解 lnln1,1,1lnln1,01,1xyxyxyxy+=+=lnln1,1,01lnln1,01,01xyxyxyxy=11111()()eeexSexdxdxeexxee=+=18 sin4sin2sin()42xexdxx 解：sin22sin cos1 cos()2()2xxxIedxx=sin2sin(sin)8(1 sin)xxdxex2()sin8(1)uud uxueu=+=22118()8()1(1)1(1)uuueeedududuuuuu=+=18()11uuedue duu+=sin1188()811111 sinuuxuueeedu edeCCuuuux+=+=+多元函数微分学 19 已知方程2222220zzxyxy=作变化uxy=，xvy=将该方程变换成关于自变量,u v的方程 找出该方程在第一象限上的一个非常数解 20 求正数,a b，使得椭圆22221xyab+=包含22(1)1xy+=，且面积最小 21 设,为满足111+=的正数，求11(,)(0,0)f x yxyxy=+在约束条件下1xy=下的最小值 利用的结果证明：对于任何正数,u v，成立不等式11uvuv+22 求222(,)1 634184f x yxyxxy=+在22(,)9Dx y xy=+上的平均值 解：由奇偶对称得(63)0Dxy dxdy+=由轮换对称得22221()2DDDx dxdyy dxdyxy dxdy=+=3320018124dr dr=因224xy+=22224,49xyxy+22224(),4xyxy+222222222244944()(4)Dxyxyxydxdyxydxdyxydxdy+=+=223222000241(4)(4)2drrdrdr rdr+=于是，(,)f x y在D上的平均值为11(,)(981369)519DDf x y dxdyS=+=23 设()f x=,01xex0,else，()g x=,01ax0,else，a为正常数，记D为全平面，求()()DIf x g yx dxdy=解：令tyx=，则()()g yxg t=,1a xyx+0,else，记(,)1,01x y xyxx=+，于是 110()()()()(1)xxxDf x g yx dxdyf x g yx dxdye dxadya e+=24 设(,)0,0Dx yxtyt=，则2()txyDF te dxdy=_ 解：显然(0)0F=，令xt=，yt=，则D化为(,)01,01D=于是22()DF tte d d=，故有22()2()DF tte d dF tt=，0t 2()F ttC=+，因(0)0F=，0C=，2()F tt=25 设()f x连续，222,0Dxyt t=+设()f x满足2222()()Df txf xydxdy=+，(1)f=，求10()f x dx及(0)f(0)2f=，求222401lim()tDxf xydxdyt+解：2222340011()224tDDx dxdyxy dxdydr drt=+=22222220000()()()()tttDf xy dxdydrf r drf r drf u du+=于是，2240()()4tf ttf u du=+，令1t=，再由(1)f=，得103()4f u du=，(0)0f=22222404440000()111lim()lim()lim44tttttDf u duxf xydxdytf u duttt+=+=+=22320012()11()(0)115limlim(0)44420424tttf tf tfftt+=+=+=26 设(,)f x y在区域02,02Dxy=上连续，且(,)0Df x y dxdy=，(,)1Dxyf x y dxdy=，证：一点()D，使得13()(2ln2)2f+1(1)(,)(,)1DDxyf x y dxdyf x yxydxdy=()1Dfxydxdy，()D 11222221110002231(1)(1)(1)2ln22xxDxydxdydxxy dydxxy dydxxydy=+=+27 求40()(4)!nnxS xn=的和函数 解：收敛域(,)+411()(41)!nnxS xn=，421()(42)!nnxSxn=，431()(43)!nnxSxn=，444(4)10()(44)!(4)!nnnnxxSxnn=()S x，其特征方程为410=，1,21=，3,4i=故1234cossinxxyC eC eCxCx=+，又因(0)1S=，(0)(0)(0)0SSS=得1214CC=，312C=，40C=28 求21()52f xxx=+，01x=解：由01(1,1)1nnxxx=，2201111()(1)()14421()2nnnxf xx=+2+101(1)(1)4nnnnx=，(1,3)x 故(21)(1)0(21)!nfn=，1,2n=，(2)1(1)(1)(2)!4nnnfn+=，1,2n=于是(21)(1)0nf=，1,2n=，(2)1(1)(2)!(1)4nnnnf+=，1,2n=29 曲线积分122212(0,0)LxdyydxICCC xC y=+，L为任意一条不过原点的简单光滑正封闭曲线 L不包括原点，0I=L包括原点，122ICC=解：2212yPC xC y=+，2212xQC xC y=+，222122 212()PQC yC xyxC xC y=+不包括原点，0I=包括原点111222112(:)L lllIlC xC y+=+=12221212112()2LxdyydxCCCC=22(1)(1)LydxxdyIxy=+，其中1L为22(1)1xy+=，取正向 2L为224xy+=，取正向 解：PQyx=，因(1,0)不在1L内故0I=因(1,0)在2L内，故（223:(1)1Lxy+=）23322(1)(1)(1 1)2(1)LLLDydxxdyIydxxdydxdyxy=+30 L为一条不通过原点的光滑曲线，取逆时针方向 证：当21ab=，1 21 2accb=时，12122212()()La xa y dxbxb y dyc xc y+与路径无关12(0,0)cc，并求2222Lxyxydxdyxyxy+，其中L为从点(,0)Aa经上半椭圆22221()xyabab+=到点(,0)B a的弧段.解：当21ab=，1 21 2accb=时，PQyx=，故积分曲线与路径无关.构造曲线2221:Lxya+=，故1222221()()LLxyxydxdyxy dxxy dyxyxya+=+令cosxa=，sinya=，:0 102211()()(cossin)(sin)(cossin)cosLxy dxxy dyaaaaaadaa+=+=0221a da=计算Lydxzdyxdz+，L为2222xyza+=与0 xyz+=交线 解：取S为平面0 xyz+=被2222xyza+=所围部分的上侧，S的面积为2a，S的单位法向量为1(1,1,1)3n=，2coscoscos1(1 1 1)33LydxzdyxdzdSdSaxyzyzx+=31 22(1)84x dydzxydzdxxzdxdy+，其中是曲线(0)yxeya=绕x轴旋转而成的曲面外侧 解：由题意得，22:yzxe+=，222yza+，方向与x轴成钝角，补1:axe=，222yza+，方向取x轴正向 原积分=11+=222(484)2(1)2(1)aaDxxx dVedydza e+=32 2221()()xxfdydzfdzdxzdxdyyyxy+，其中()f u连续可导，是22zxy=+，228zxy=所围立体的外侧（哈工大 2006）解：22()xPfyy=，21()xQfxy=，Rz=则322()xxPfyy=，322()yxQfyy=，1zR=222280016rrdxdydzdrdrdz=2222311()()()3zf xy dydzf xy dzdxx zy zz dxdyyx+，其 中为 下 半 球 面2221(0)xyzz+=的内侧 解：补平面221:0(:1)xyzDxy=+下侧 222()Pfxyyxy=，21()2Qfxyxyyx=，222Rxyzz=+，2222()5xyz dV=+=2333()()(2()yyyxxxfdydzyyfdzdxzzfdxdyxxx+，为 锥 面22xyz+和2221xyz+=，2224xyz+=所围立体的外侧 解：222(2333)IxxyzdV=+2222224440010012cossin3sinddrrdrddrdr=+1593(22)45=+