8df98d10-b272-11eb-9591-f919c98e5621作业答案线代5（519--572）（周洋鑫）考研资料.pdf

2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫12022 年督学班高分必刷 800 题作业答案(线代)第三章 矩阵、方程组【519】解析：“存在”属于线性相关定义的关键词，所以排除（A）（C）；线性无关的结论“整体无关，部分无关”是单向定理，所以排除（B）；由线性无关的定义知，选（D）.【520】解析：根据线性无关的定义知，（C）正确.举例排除：如向量组12,00 线性相关.排除（A）；如向量组101,011 线性相关，排除（B）；“整体无关，部分无关”是单向定理，其逆命题不一定成立，排除（D）.【521】解析：对于（A），根据线性相关的定义，12,mk kk需不全为零，排除 A.对于（B），是线性无关的定义，选B.对于（C），线性相关定义关键词不是“任意”，应为“存在”，排除C.对于（D），线性无关定义关键词为“仅当”，选项未说明，排除D.【522】解析：选项（A）是线性无关的定义，故选项（A）正确，排除 A选项（B），线性相关定义关键词不是“任意”，应为“存在”，故选项（B）错误，选B.选项（C），线性无关的充要条件，选项（C）正确，排除 C.选项（D），“整体无关，部分必无关”，正确，排除 D.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫2【523】解析：选项（A）122331123101,110011 ,因为1011100011，所以122331,线性相关，排除（A）.选项（B）1223123123101,2,112011 ,因为1011120011，所以1223123,2 线性相关.排除（B）.选项（C）1223311231012,23,3,220033 ,因为1012200033，所以1223123,2 线性无关.选（C）.同理，排除（D）.【注】【注】对于（A），1223310 ，由定义知，线性相关，排除；对于（B），122312320，由定义知，线性相关，排除.【524】解析：对于（C），行列式100111002001100011，线性无关，选（C）.（注：可用线性相关的定义判断一个向量组线性相关对于（A）12 （23 ）（34 ）（41 ）=0,线性相关.对于（B）12 +23 +34 +41 =0，线性相关.对于（D）12233441()()()()0 ，线性相关.）2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫3【525】解析：因122212123,304134A aaaa A 与 线性相关.（注：对应分量成比例）所以233411aaaa，解得1 a.【526】解析：由4个4维向量线性相关,所以21110100011210111112321121221243212312aaaaaaaaa 010111(1)(21)0211aaaa ，得1a 或者12a，由题设1a，故12a.【527】解析：向量组123,线性无关，所以1230 ，即00200acbcacbbacabcab，所以0abc.【528】解析：123111,123513tt ，所以（i）5t 时,向量组123,线性无关.（ii）5t 时向量组123,线性相关.此时2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫4123111111111101,123012012012135024000000 ，解得1212xx，代入123,x 得3122 .综上（I）5t，线性无关；（II）5t 线性相关；（III）3122 .【529】解析：记矩阵123412341234234501233456000045670000 A，所以 2rA，由此知该向量组的秩是2.注：1213231424213243234123412341234234501230123345602460000456703690000rrrrrrrrrr A【530】解析：1234510312103121302103313,2172501101421441002202 1031210312011010110103313000100220200000,所以124,是极大无关组.选 B.【531】解析：记矩阵1234510312103121302101101,2172500010421401000000 A，所以124,是该向量组的一个极大线性无关组.（注：化简至行阶梯形矩阵即可判断极大线性无关组.）2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫5又331111234510312103020110101101,00010000100000000000rrr A,（注：极大无关组表示其余向量需化至行最简形矩阵.）所以312412303 ，512412202.注：121314241234510312103121302103313,2172501101421401002242rrrrrr A23243423324103121031210312011010110101101033130001000010022420004000000rrrrrrrr （行阶梯）331111031210302011010110100010000100000000000rrr （行最简）.【532】解析：记矩阵1234521112112141121401136,46224001851536979000824 A所以1234,是该向量组的一个极大线性无关组.又10004010030010000013A（行最简），所以5124433.注：注：121234521112112141121421112,46224462243697936979rr A2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫6121314232433112141121403316033160101061201136031543031543rrrrrrrr 2323243311214112140113601136033160008240315430018515rrrrrr 3411214011360018515000824rr（行阶梯）4342434153111818112141120711207011360110301103001851500180000100000130001300013rrrrrrrr 3222131111+2110071100710004010030100301003001000010000100000130001300013rrrrrrr .【533】解析：11021111111012042000A，因为 23rA，所以 0Ax有无穷多解.且T11,122kx，其中k为任意常数.注：2312111111111111000042042042000rrrrA2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫722114110111211010122000000rrr.022122122011113004A，因为 3rA，所以方程仅有零解，即通解x0.注：（i）13121022122122122022022113113011rrrr A23232122122011011022004rrrr.（ii）若 0Ax仅有零解，只需将系数矩阵化成行阶梯形矩阵即可.51023122142122012311430000A，因为 24rA，所以 0Ax有无穷多解.且125232431001kkx，其中12,k k为任意常数.注：121323211122112211221212203640364114303640000rrrrrr A2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫8221123510212213440120123300000000rrr .0 1 01A，因为 14r A，所以 0Ax有无穷多解.且123100001010001kkk x，其中123,kkk为任意常数.0000A，因为 02rA，所以 0Ax有无穷多解.且121001kk x，其中12,k k为任意常数.104018102312451014438620000A，通解为124031441001xkk，其中12,k k是任意常数.12 1nnA（注：此行最简形矩阵从后往前看.）通解为12110001000000112nxkkknn.1 1 0010010 1 010101A，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫9通解为1201011001xkk .11101001011 1011 1A通解为1201111001xkk .【534】解析：21111(1),111A方程组仅有零解，由克拉默法则知，0A，解得1.【535】解析：由矩阵方程ABO知 rrnAB 且矩阵B的列向量均是方程 0Ax的解.所以若BO，则矩阵B的列向量不全为零，进而知 0Ax必有非零解，选（D）.注：注：其他选项均是不一定.【536】解析：由矩阵方程 OAB知 rrnAB 且矩阵B的列向量均是方程 0Ax的解.所以向量1232,4,6360 均是方程 0Ax的解，所以133 2639 亦是方程 0Ax的解，【注：齐解的k倍仍是齐解】2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫10所以134268303 亦是方程 0Ax的解，【注：齐解的线性组合仍是齐解】综上均是方程 0Ax的解.【537】解析：由1rA，所以 1rn A，所以基础解系所含向量个数1t.因为方阵才存在伴随矩阵，所以mn，矩阵A是n阶矩阵，由 1rnn A知0A，所以AAA EO，进而知A的列向量均是方程 0Ax的解，所以A的第一列T11121,nAAA是方程 0Ax的解.因为110A，所以T11121,0nAAA，所以T11121,nAAA线性无关，综上T11121,nAAA是方程 0Ax的一个基础解系.所以方程 0Ax的通解为T11121,nk AAA，k为任意常数.AO，所以 1r A，OAB，所以 3rrAB 且矩阵B的列向量均是方程 0Ax的解.123123123246000009360009000B，所以 2rB，代入 3rrAB 得 1r A，又 1r A，所以 1rA，进而知基础解系所含向量个数 32tr A.向量132,630 是矩阵B的列向量，所以向量132,630 是 0Ax的两个解.因为向量132,630 不成比例，所以向量组132,630 线性无关，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫11综上132,630 是方程 0Ax的一个基础解系.所以方程 0Ax的通解为12132630kk ，12,k k为任意常数.矩阵A是34阶矩阵，所以 3r A；又 2r A，所以 23r A.由题意知，向量1326,3000 是 0Ax的两个解.又它们不成比例，所以它们是 0Ax的线性无关解，故 0Ax基础解系所含向量个数2t.即 42tr A，所以 2r A，综上 22r A，即 2rA，基础解系所含向量个数2t,不难看出1326,3000 就是方程 0Ax的一个基础解系.且方程 0Ax的通解为1213263000kk ，12,k k为任意常数.（注：或在 23r A的基础上进行讨论，讨论（i）3rA时，基础解系所含向量个数1t,但向量1326,3000 是 0Ax的两个线性无关解，与1t 矛盾，不符合题意，舍去.讨论（ii）2rA,余下同上.）【538】解析：A的秩为1n，所以0Ax的基础解系向量个数1t，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫12由A的各行元素之和均为零知1101 A，所以111 是0Ax的一个非零解，进而知111 是0Ax的一个基础解系.所以0Ax的通解为111k .【539】解析：123123123123123000000nnnnnabaaaabaaaaabaabbaaababbaaaabbbA231000000000ninibaaaabbb11()nniibba.（注：含成比例元素的行列式）讨论（i）0b且01niiab时，0A，方程组仅有零解.（ii）当0b 或niiab1时，0A，方程组为无穷解.（ii-1）0b 时，123123123123123000000000000nnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA，由01niia可知，),2,1(niai不全为零，不妨设01a，基础解系为2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫13T211(,1,0,0)aa，T321(,0,1,0)aa，T11,(,0,0,1)nnaa.（ii-2）当10niiba 时，123123123123123000000nnnnnabaaaabaaaaabaabbaaababbaaaabbbA1230000110011001010101010011001nabaaa.基础解系为T(1,1,1).【540】解析：对于（A），非齐解的线性组合系数之和123kkk未知，不一定为零，所以112233kkk 不一定是齐解，所以（A）错.对于（B）（C）,123,不一定线性无关，比如记1232 ，则123,均是非齐解，但是线性相关的.所以（B）（C）错.综上选（D）.【注】对于（D），1223,的线性组合系数之和均为零，均是 0Ax的解.正确.【541】解析：124,为线性方程组Ax0的一个基础解系，所以基础解系的向量个数4t，124,均是Ax0的解，124,线性无关.由齐次解的线性组合亦是齐次解知，1234,均是Ax0的解，所以欲使1234,是Ax0的一个基础解系，只需1234,线性无关即可.（注：线性组合向量组的线性相关性判别）2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫141234124100100,010001tttt ,记100100010001ttttC.因为124,4r ，所以 1234,rrC .41001001010001ttttt C，所以当1t 时，0C，此时 1234,4rrC ，即1234,线性无关，1234,亦是一个基础解系.【542】解析：12211122112480200210,24233000053606400001A b因为,rrA bA，所以方程组无解.1006311111510104351162,24231255001622133100000A b因为,34rr A bA，所以方程Axb有无穷多解.且133315265252601kx，其中k为任意常数.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫15注：12131442211111111114351101153,24231060532133101153rrrrrr A b233246116111111111101 15301 1532550062515001620000000000rrrrr 3231211131731711011062625151010010626225525500100162620000000000rrrrr 211131003351010622550016200000rr.111022111111,1111012204220000 A b.因为,23rrA bA，所以方程Axb有无穷多解.1122112210kx，其中k为任意常数.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫16注：1232312111111111111,111100000211042202110000rrrrr A b22112111011112211110101222200000000rrr.11121112,2131011332500039A b，因为,3rrA bA，所以方程Axb有唯一解，且123503xxx x.注：（i）Axb有唯一解时，增广矩阵化成行阶梯形矩阵即可.（ii）121323235111211121112,213101130113325005260039rrrrrr A b.1100510108,211210110135322300012A b，基础解系为1110，（注：101001100001A，自由未知量为3x，赋值31x.）一个非齐次解为81302.（注：10108,01101300012A b，赋值30 x.）2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫17非齐次通解181131002kx.911017215231111,53611012722421600000A b，基础解系12917211,720110 ，（注：9110721101720001A，自由未知量为34,xx，赋值3410 xx或3401xx.）一个非齐次解为1200.（注：911017211,0127200000A b，赋值3400 xx.）非齐次通解1 122129117211272001010kkkkx.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫18111012111101,111310012210000011232A b，基础解系121110,0201 ，（注：110100120000A，自由未知量为24,xx，赋值2410 xx或2401xx.）一个非齐次解为120120.（注：1110121,0012200000A b，赋值2400 xx.）非齐次通解1 1221211121000212010kkkk x.【543】解析：11110221111110011(|)111102110122042200000000 A，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫19解得211122112210k，其中1k为任意常数（注：11021012000A，自由未知量为3x，赋值31x，基础解系为12121；111102211(|)01220000 A，赋值30 x，一个非齐次特解为12120.）因为2220220440 A，有211110220122012(|)220100000000440200000000 A，解得3231102100010kk ，其中23,k k为任意常数（注：过程同上，略.）2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫20【544】解析：（）2111122 1121214aaaaaaA.（）由克拉默法则知2 1120aaA，即1a 且2a 时，方程组Axb有唯一解.再由克拉默法则知2211112422212121dadadadadadxaaaaa.【545】解析：因为A是范德蒙行列式，由ijaa知0ijaaA，所以T0A.根据克莱姆法则，12310nx,xxx.即1 0 00T,.（注：系数矩阵为TA.）【546】解析：1211121112112323011011120023100(3)(1)3aaaaaaaa（i）3a 时，,2rrAA b，无穷多解，不符题意；（ii）1a 时，,rrAA b，无解，符合题意；（iii）31aa 且时，,3rrAA b，唯一解，不符题意.综上1a .【547】解析：由克拉默法则知，0A，即111111aAaa2(2)(1)0,aa解得12aa或.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫21当1a 时，1 1 111111,1 1 1100001 1 120003A b()(,)rrAA b，方程组无解，所以2a 【548】解析：（）【法【法 1】克拉默法则Axb存在两个不同的解，即Axb有无穷多解.由克拉默法则知，21101110 A，解得1或1.当1时，111(,)00011111aA b，()(,)rrAA b，方程组无解，不符题意.所以1 有无穷多解，此时()(,)3rrAA b.111111111(,)020102010201111102010002aaaaaA b，()2rA，所以(,)2rA b，进而20a，2a .综上1，2a 【法【法 2 2】初等行变换讨论秩211111111(,)010101010101111110011aaaA b（注：讨论（i）1，111(,)0001000aA b，()(,)rrAA b，无解，不符题意（ii）12022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫22（ii-1）1 时，1111(,)02010002aA b，()2rA，欲使()(,)rrAA b，则2a .符合题意（ii-2）1 时，()(,)3rrAA b，唯一解，不符题意）当1时，()1,(,)2rrAA b，方程组无解，不符题意；当1 时，1111(,)02010002aA b，()2rA，欲使方程组有无穷多解，即()(,)3rrAA b，则2a .综上1，2a （）当1，2a 时，增广矩阵经初等变换得3101211111(,)0201010200000000A b，故通解为32110210k x，k为任意常数【549】解析：对于选项 A，rm，即系数矩阵A行满秩，则,rrA bA，所以方程组Axb有解，选 A.其他选项的条件均不能推出,rrA bA.【550】解析：对于选项 A，rnA，推不出,rrAA b，排除 A.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫23对于选项 B，rnA，推不出,rrAA b，排除 B.对于选项 C 与 D，Axb有无穷多个解，即,rrnAA b，所以Ax0有非零解.选 D.【551】解析：1211121112112323011011120023100(3)(1)3aaaaaaaa（i）3a 时，,2rrAA b，无穷多解，不符题意；（ii）1a 时，,rrAA b，无解，符合题意；（iii）31aa 且时，,3rrAA b，唯一解，不符题意.综上1a .【552】解析：1011011014122012320123261423012430001，()2rA，方程组有解，所以()(,)rrAA b，所以10，即1.此时1011(,)01210000A b，通解为TT1,2,11,1,0kx.【553】解析：221141124(,)11022811240134kkkkkk A b11240228(1)(4)00(4)2kkkk k.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫24（i）当1k 且4k 时,(,)3rrA bA,方程组有唯一解,即222242,111kk kkkkkkx（ii）当1k 时,(,)rrA bA方程组无解.(iii)当4k 时,(,)23rrA bA，方程组有无穷多解.此时1030(,)01140000A b，通解TT3,1,10,4,0kx.【554】解析：1231231232124551xxxxxxxxx 即3213213212125541xxxxxxxxx，（注：交换13,x x的位置此时初等行变换更方便，此法了解）121121,1120123554105566 A b121012300549（注：（i）当1时，121,00110000A b，(,)23rrA bA，无穷多解（ii）当1时（ii-1）45 时，121,01230009 A b，(,)rrA bA无解（ii-2）45 时，(,)3rrA bA,方程组有唯一解.）（i）45 时，(,)rrA bA，方程组无解.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫25（ii）1且45 时，(,)3rrA bA,方程组有唯一解.（iii）1时，(,)23rrA bA，方程组有无穷多解，此时11211101,0011001100000000A b，通解TTT321,1,1,01,0,1xxxk，（注：将13,x x的位置还原.）综上TTT123,0,1,11,0,1x xxk.【555】解析：112211231112311361302422,3115304660151012061291kkkkA b1211231024220022400035kk.（注：讨论（i）12k 时，2211231112310242202422,00024000120003500001kkA b，（i-1）21k 时，,34rr AA b，无穷多解；（i-2）21k 时，,rrAA b，无解；（ii）12k 时，,4rrAA b，唯一解.）（i）当12k 且21k 时，,rrAA b，方程组无解；（ii）12k 时，,4rrAA b，方程组有唯一解；（iii）12k 且21k 时，,34rr AA b，方程组有无穷多解，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫26此时112311120510008024220240601203,000120001200012000000000000000A b.解得TT0,2,1,08,3,0,2k x.【556】解析：1111111111321130012263,01226012265433120122625aaabbaA b111110122630000030000022aabaa，（I）此时 2rA，欲使方程组有解，则,rrAA b，即,2rA b，所以30,220baa，解得1,3ab.（II）1,3ab时，111111012263,000000000000A b101152012263000000000000，一个基础解系：123115226,100010001 ，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫27（III）通解12311522263100001000010kkkx.【557】解析：（）设123,是方程组的3个线性无关的解,则2131,是Ax0的两个线性无关的解.于是Ax0的基础解系中解的个数不少于2，即4()2rA，从而()2r A.又因为矩阵A中至少有一个2阶子式1 103 5，所以()2r A.故()2rA.（）1111143511131abA111110115300424542aaba由()2rA，得出2,3ab.代入后继续作初等行变换:102420115300000A，解得TTT12(2,1,1,0)(4,5,0,1)(2,3,0,0)kkx，12,k k为任意常数.【558】解析：110121210210211102TA,11102221T .所以22TTTAA,2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫2848AA.22416B,B代入原方程22442B A xA xB x得16816AXAxx即82AE x，即11002210011122 x解得12311122212110kxxkkxk .（注：11111001001011012222210000000121012110121000000001212，自由位置量为3x，13231221xxxx，记3xk,解得121212xk,xk，所以12311122212110kxxkkxk ）【559】解析：由1234 可知T1,1,1,1是Ax 的一个解.由123 b可知T1,1,1,0是Axb的一个解.+2320b，即231122 b可知T110,022是Axb的一个解.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫29【560】解析：（）因为A有三个不同的特征值，所以A可相似对角化.所以 r A等于非零特征值的个数，所以 2r A，又3122 ，即12320 ，所以123,线性相关，进而知 123,3rr A，所以 2rA.（）()2rA，所以Ax0的基础解系的向量个数1t，又由12320 知T(1,2,1)是Ax0的一个解，所以T(1,2,1)是Ax0的一个基础解系，又由123 知，T(1,1,1)是Ax 的一个解，所以Ax 的通解为TT(1,1,1)(1,2,1),kk取任意常数【561】解析：不能由123,线性表出,所以123123,rr ，对矩阵123,作初等行变换知123130413044110110,07110004522030001bb 因为123,3r ，又123123,rr ，所以123123,14rr ，所以10b，即1b 时，不能由123,线性表出.注：12144212313041304411011116,071100711022030405rrrrbb 2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫30232443231142130413041304011116011001100110011116001216040504050045rrrrrrrrbbb 343431304130401100110004500450012160001rrrrbb【562】解析：不能由123,线性表出,所以123123,rr ，对矩阵123,作初等行变换知123133,011100577aaaa 讨论（i）0a 时，123133,01110007aa ，此时123123,2,3rr ，符合题意.（ii）0a 时，此时123123,3,3rr ，不符合题意，舍去.综上：0a.注：122123133133,222307222901110111rraaaaaaa 2323721331330111011107222900577rarrraaaaaaaa.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫31【563】解析：能由123,线性表示，所以123123,rr ，对矩阵123,作初等行变换知1231111,0110010bb .讨论（i）1b 时，1231111,01110000 ，123123,2rr ，符合题意.（ii）1b 时，123123,3rr ，符合题意.综上，b取任意常数，均有 能由123,线性表示.注：12212311111111,23230110312303123rrbbbb 23311110110010rrbb【564】解析：【法【法 1 1】因为向量组123,不能由向量组123.线性表示，所以123123123.,rr .对123123.,作初等行变换知123123112101.,011112004210a 讨论（i）4a 时，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫32123123112101.,011112000210 ，123123,2,3rr ，符合题意.（ii）4a 时，123123,3rr ，不符合题意.综上4a.注：121311123123112101112101.,12301301111213115022014rrrraa 232112101011112004210rra【法【法 2】若TTT123(1,1,1)(1,2,3)(2,3,)a ，线性无关，则其三维向量空间的一组基，必可表示任一三维向量.结合题干条件，由上述命题的逆否命题知，123112,123013a ，解得4a，回代，不难得到123123112101.,011112000210 ，即123123123.,rr ，满足题意.【565】解析：因为向量组123,能由向量组123.线性表示，所以123123123.,rr .对123123.,作初等行变换知123123112101.,011112004210a 2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫33讨论（i）4a 时，123123112101.,011112000210 ，123123,2,3rr ，不符合题意.（ii）4a 时，123123,3rr ，符合题意.综上4a.【566】解析：若向量组123,与向量组123,等价，则123123123123,rrr，若向量组123,与向量组123,不等价，则上式不成立.123123111122,011211232364 aaaa1111221111220112110112110112001111aaaaaaaa，讨论（i）1 a时，123123111122,011211000202 ，此时123123123,rr，所以向量组123,与向量组123,不等价.（ii）1 a时，123123123,3 rr,（注：验证123,r是否也为3.）2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫34123122122122,21103303336402002 aaaaa,所以123123123123,rrr，此时向量组123,与向量组123,等价.综上：（i）1 a，两向量组等价.（ii）1 a，两向量组不等价.【567】解析：（A）（B）是行列式为零的充分条件，而非必要条件，所以排除（A）（B）；由矩阵A的列向量组是属于方阵向量组，又0A，所以矩阵A的列向量组线性相关，“任意”是属于线性无关定义的关键词，所以排除（D），应选（C）.注：根据线性相关的定义亦可知（C）正确.【568】解析：AXB，即1212,A XXB B，所以112233AXBAXBAXB，311 14121310122100102,22122221220101533113131131001124rr A B凑（注：110010,0101500112A B，唯一解，解得1101512 X.21002,01030014A B，唯一解，解得2234 X.）2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫35解得12102,153124 XXX.【569】解析：XAB，两边取转置得TTTA XB，（注：TTTTT1212,AXXBB，即TTT11TTT22AXBAXB）TT023121343110024,213232132301017134310231200114AB，（注：TT11002,01010011AB，唯一解，解得T1211 X.TT21004,01070014AB，唯一解，解得T2474X.）解得T241714 X，所以211474X.【570】解析：(I)对矩阵A作初等行变换，可得123410010111010212030013A，则方程组Ax0的一个基础解系为T)1,3,2,1(；()对矩阵()AE作初等行变换，有12341001001261()0111010010213112030010013141AE2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫36【注12341001234100()0111010011101012030010431101AE123410010012610111010010213100131410013141】记T3T2T1)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(eee，则1exA 的通解为T1111T1),31,21,2()0,1,1,2(kkkkkx，2exA 的通解为T2222T2),34,23,6()0,4,3,6(kkkkkx，3exA 的通解为T3333T3),31,21,1()0,1,1,1(kkkkkx，所以，1231231231232611232121 3431 3kkkkkkkkkkkk B，123,k k k为任意常数.【571】解析：由题意可设1234xxxxC,代入ACCAB得23124134230,1,1,xaxaxxaxxxxxaxb(*)欲使BCAAC有解，即使(*)有解.对（*）的增广矩阵作初等变换得010010111101010010111000010100000aaaaaabb.当1a 或0b 时,线性方程组(*)无解.当0,1ba时,线性方程组(*)有解,增广矩阵初等变换为10111011000000000000.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫37通解为1122131421,xkkxkxkxk（其中21,kk为任意常数）.综上,当且仅当0,1ba时,存在满足条件的矩阵C,使ACCAB,且121121kkkkkC（其中21,kk为任意常数）.【572】解析：1124011240(,)1101002214101 11011 141 aaA Bcacb