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1 2016 全国研究生入学考试考研数学二解析 2016 全国研究生入学考试考研数学二解析 本试卷满分 150，考试时间 180 分钟 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上.（1）设33123cos1,ln 1,1 1axxaxxax，当0 x时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）A123,a a a B231,a a a C213,a a a D321,a a a【答案】：【答案】：B【解析】【解析】2121xa，562ax，xa313，则321,aaa从低阶到高阶排列应为132,aaa。（2）已知函数 21,1ln,1xxf xx x，则 f x的一个原函数是（）21,1()ln1,1xxAF xxxx 21,1()ln11,1xxBF xxxx 21,1()ln11,1xxCF xxxx 21,1()ln11,1xxDF xxxx 【答案【答案】：D【解析解析】：由于原函数一定是连续，可知函数 F x在1x 连续，而 A、B、C中的函数在1x 处均不连续，故选 D。（3）反常积分 10211xe dxx与 12012xe dxx的敛散性为（）A 1收敛，2收敛 B 1收敛，2发散 C 1发散，2收敛 D 1发散，2发散【答案【答案】B【解析】【解析】1101102xxedxex，故 1收敛。2 011021xxedxex，由于10limxxe，故 2发散（4）设 函 数()yf x在-+，内 连 续，其 导 数 的 图 像，如 图 所 示，则（A）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点（B）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 3 个拐点（C）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 1 个拐点（D）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点【答案答案】：（B）【解析】：（B）【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有 2 个极值点，3 个拐点.（5）设函数 iyfx1,2i 具有二阶连续导数，且 0ifx1,2i，若两条曲线 iyfx1,2i 在点00,xy处具有公切线 yg x，且在该点处曲线 1yfx的曲率大于曲线 2yfx的曲率，则在点0 x的某个邻域内，有（）12A fxfxg x 21B fxfxg x 12C fxg xfx 21D fxg xfx 【答案】【答案】A【解析】【解析】：由于()0ifx可知，)(1xf与)(2xf均为凸函数，可知)(1xfy，)(2xfy 的图像大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 3 均在其切线下方，故)()(),(21xgxfxf，由曲率公式232222232111)(1)(,)(1)(xfxfkxfxfk，由21kk 可知，1020()()fxfx，则)()(21xfxf.（6）已知函数,xef x yxy，则（A）0 xyff （B）+0 xyff （C）xyfff （D）xyfff【答案】：【答案】：（D）【解析】【解析】22,xxxxyxyeeefffffxyxyxy.（7）设,A B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）ATA与TB相似 B 1A与1B相似 C TAA与TBB相似 D1AA与1BB相似【答案答案】：C【解析】：【解析】：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得1,P APB两端取转置与逆可得：1TTTTP APB,111P A PB,111PAAPBB,可知 A、B、D均正确，故选择 C。（8）设二次型22212312312231 3,222f x x xa xxxx xx xx x的正负惯性指数分别为1,2，则（A）1a （B）2a （C）-21a （D）12aa或 【答案】【答案】（C）【解析】【解析】二次型矩阵为111111aaa，其特征值为1,1,2aaa，可知10,20aa，即21a，故选择（C）二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.4 （9）曲线)1arctan(1223xxxy的斜渐近线方程为_.【答案答案】：2 xy.【解析解析】：由1limxyn知1k，又2)1arctan(lim1lim)1arctan(1(limlim22223xxxxxxxxynnnn 则斜渐近线方程为2 xy.（10）极限2112limsin2sinsinnnnnnnn_.【答案】：【答案】：cos1 sin1【解析】【解析】221111211limsin2sinsinlimsinlimsinnnnnniiniiininnnnnnnnn 1110001sincoscoscoscos1 sin10 xxdxxdxxxxdx （11）以xexy2和2xy 为特解的一阶非齐次线性微分方程为_.【答案答案】：yy22xx.【解析】：【解析】：由线性微分方程解的性质可知xxeexx)(22为齐次方程的解，可知齐次方程为0yy。非齐次方程为)(xfyy，将2xy 代入可得：22)(xxxf，故方程为 yy22xx.（12）已知函数)(xf在),(上连续，且dttfxxfx02)(2)1()(，则当2n时，(0)nf_.【答案答案】：125n【解析】：【解析】：)(2)1(2)(,1)0(xfxxff，则)(22)(,4)0(xfxff，则10)0(f.两边同时求2n阶导可得)(2)()1()(xfxfnn.则12)1()(25)0(2)0(2)0(nnnnfff。（13）已知动点P在曲线3xy 上运动，记坐标原点与点P间的距离为l.若点P的横坐标对时间的大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 5 变化率为常数0v，则当点P运动到点)1,1(时，l对时间的变化率是_.【答案答案】：022v【解析解析】：6250625623,3,xxxxvdtdxdxdldtdlxxxxdxdlxxl 则0122|vdxdlx.（14）设矩阵aaa111111与101110011等价，则a_.【解析解析】2110110011101110011rr,则0111111,2111111aaaaaar且，则 a=2 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限410lim cos22 sinxxxxx【解析解析】由重要极限得，原式为 243444444000111112221()()cos22 sin1224613limlimlim3xxxxxx xxo xxo xxxxxxxeeee （16）(本题满分 10 分)设函数 12200f xtx dtx，求 fx，并求 f x的最小值。【解析解析】：01x 时，1222232041()33xxf xxtdttx dtxx 当1x 时，122201()3f xxt dtx 所以，32241,0133()1,13xxxf xxx，从而242,01()2,1xxxfxx x 6 由导数的定义可知(1)2,f，可知242,01()2,1xxxfxx x 易知，当10,2x时，()0fx；当1,12x时，()0fx；当1,x时，()0fx。可知，()f x的最小值为1124f（17）（本题满分 10 分）已知函数,zz x y由方程22ln210 xyzzxy确定，求,zz x y的极值。【解析解析】：22221220112202zzxzxyxz xzzyzxyyz y 令0zzxy得11,xyzz 代入方程可得，2ln20zz。解得，1z，故1xy。方程 1,2两边再同时求导，得 22222222222222222222211222011220112220zzzzzzxxxyxxxzxz xzzzzzzxyxyyxx yzy xz x yzzzzzzyyxyyyyzyz y 将1,1,1,0zzxyzxy 代入，可得 1,11,11,12222222,0,33zzzABCxx yy 由20,0ACBA可知，11-1-），（Z为），（yxZ极大值。（18）（本题满分 11 分）大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 7 设D是由直线1,yyx yx围成的有界区域，计算二重积分2222Dxxyydxdyxy【解析解析】：积分区域如图所示：由对称性可知，1222222222DDxxyyxydxdydxdyxyxy（1D为D在第一象限的部分）1122222sin2204224cossin1cot12124Dxydxdydrdrxyd 故222212Dxxyydxdyxy （19）（本题满分 10 分）已知()()()12,xxy xeyxu x e=是二阶微分方程()()212120 xyxyy-+=的两个解，若()()1,01ue u-=-，求()u x，并写出该微分方程的通解。【解析解析】：2xxxyu xeuxeu x ux e，22 xyeuxuxu x 所以 212 2120 xxxxeuxuxu xxuxu xeu x e 所以 21230 xuxxux 解得 1221xu xCxeC，由于 1,01ue u 所以 21xu xxe 原方程通解为)12(21xCeCyx（20）（本题满分 11 分）设D是由曲线2101yxx与33cos02sinxttyt 围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.8 【解析】（1）12VVV 1V为21yx绕x轴旋转一周所得旋转体体积；2V为33cos02sinxttyt 绕x轴旋转一周所得旋转体体积。123V 1263220062207220792200sincossin3 cossin3sin1 sin3sinsin6 4 28 6 4 21637 5 39 7 5 3105Vy dxtdttttdttt dttdttdt 所以1221618310535VVV（2）12SSS，其中1S分别为两函数绕x轴的旋转体侧面积 12S 322062sin3 sincos5Stttdt 616255S（21）（本题满分 11 分）已知 f x在30,2上连续，在30,2内是函数cos23xx的一个原函数 00f（1）求 f x在区间30,2上的平均值；（2）证明 f x在区间30,2内存在唯一零点.【答案】：（1）由题设可知 0cos3,0,232xtf xxt 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 9 333322220000333cos1222232xf x dxf x d xxf xxdxx 则 f x在区间30,2上的平均值 3201332f x dxk（2）0,0,2fxx，30,22fxx从而 f x在0,2单减，在3,22单增，注意到 00,02ff 33322222000223coscoscoscoscos102232323222tttttfdtdtdtdtdtttt 从而 f x在30,2上有唯一实根（22）（本题满分 11 分)设矩阵11101111aaaaA，2210a，且方程组Ax无解.（1）求a的值.（2）求方程组TTAAxA的通解.【解析】：【解析】：（1）21110012100022aAaaa a，方程组Ax无解，可知0a。（2）322222222TA A，122TA 3221100 1222201122222000 0TTA A A，则通解为0112,10kkR （23）(本题满分 11 分)已知矩阵000032110A.10 （1）求99A.（2）设三阶矩阵),(321B满足BAB 2，记),(321100B，将321,分别表示为321,的线性组合。【解析】：【解析】：（1）2112303200EA，可知A的特征值为：0,1,2。3100112230011000000A，则0的特征向量为322 111110220001001000AE，则1的特征向量为110 11021122210001002000AE，则2的特征向量为120 令311212200P，则1012P AP ,1AP P,则有 9999989999110010099991003110221 22222121212221 22220021000112APP（2）2BBA可知 10099BBA，即 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 11 99999810010099123123221 222221 222000，则991001122222，991002121 21 2，98993122222