2022考研晓千老师线性代数基础班讲义1-6章考研资料.pdf

第一第一章章 行列式行列式 一一、理论框架理论框架 11221122!(),0,0,ijijinjnijijninjnabA ija Aa Aa AijA ija Aa Aa Aij=+=+=定义 项不同行不同列元素乘积的代数和行列式的概念性质 上 或下 三角、主对角行列式副对角行列式重要行列式型行列式拉普拉斯展开式范德蒙行列式展开定理行列式行列式的公式 111*1211212,Cramer,nTnnniinnkAkAABA BAAAAAAAAABABDDDxxxDDD=设 的特征值为则若 与 相似 则法则 二、考试大纲二、考试大纲 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（或列）展开定理计算行列式.V 研客在线教育 三、三、知识体系知识体系 专题专题一一 行列式的行列式的概念概念 逆序数的逆序数的定义定义 在1,2,n的一个全排列中，若两个数的前后次序与标准次序不同，则称这两个数逆序.一个排列中所有逆序的总数称为逆序数，记作.行列式的行列式的定义定义 n阶行列式定义为 1 2121 21112121222()1212(1)nnnnnj jjjjnjj jjnnnnaaaaaaa aaaaa=即!n项不同行不同列元素乘积的代数和.【评注评注】由行列式的定义知 2 阶、3 阶行列式满足对角线法则，即 abadbccd=，1231231 2 32 3 13 1 23 2 12 1 31 3 2123aaabbbab ca b ca bca b ca bcab cccc=+例如：爱的行列式 0000=我生有我有幸一生有你你幸，52112552034134=【例【例 1.1】（2021，数二、三）多项式12121()211211xxxxf xxx=中3x项的系数为 .【详解详解】行行列式的性质列式的性质（1）行列互换，行列式的值不变；（2）两行（或列）互换，行列式变号；（3）提公因子；V 研客在线教育 （4）拆行（或列）分配，即 11121111112111112112122222212222212222121212()()()jjnjnjnjjnjnjnnnnjnjnnnnnjnnnnnjnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+=+（5）一行（或列）乘k加到另一行（或列），行列式的值不变.推论推论 两行（或列）成比例，行列式为零.【例例 1.2】2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd+=+.【详解详解】专题专题二二 重要行重要行列式列式 1.上（或下）三角、主对角行列式 111211111222212222112212000000000000nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa aaaaaaa=2.关于副对角线的上（或下）三角、副对角行列式 1111,111(1)2,12212,12,1212,111,11100000000(1)0000nnnnn nnnnnnnnnn nnnnnaaaaaaaaaaa aaaaaaa=3.n阶ab型行列式 1(1)()nabbbabanbabbba=+V 研客在线教育 4.拉普拉斯展开式 设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵，则 ACAOAOA BOBCBOB=(1)mnCAOAOAA BBOBCBO=【例例 1.3】（2014，数一、二、三）00000000ababcdcd=【】（A）2()adbc （B）2()adbc （C）2222a db c （D）2222b ca d【详解详解】【例例 1.4】设A为m阶矩阵，B为n阶矩阵，C为l阶矩阵，OOADOBOCOO=.若Aa=，Bb=，Cc=，则D=.【详解详解】5.范德蒙行列式 1222212111112111()nnjinij nnnnnxxxDxxxxxxxx =【证明证明】（归纳法归纳法）由于2211211Dxxxx=，故 2 阶成立.设1n阶成立，证明n阶也成立.从第n行起，每一行减去上一行的1x倍，再按第 1 列展开，提公因子，得 V 研客在线教育 211232211213112222322221111111100()()()()()0()()nnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxDx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx=上式右端为1n阶范德蒙行列式，由归纳法假设，它等于2()jiij nxx ，故 2131121()()()()()nnjijiij nij nDxxxxxxxxxx =【例例 1.5】222233336789432143214321=.【详详解解】【例例 1.6】设1234,a a a a为非零常数，则32231111 11322322222232233333 333223444444aa babbaa ba bbaa ba bbaa ba bb=.【详解详解】专题专题三三 展开定理展开定理 余余子式子式与与代代数数余子式的余子式的定义定义 在 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa=中划去ija所在的第i行和第j列，剩余的1n阶行列式称为ija的余子式，记作ijM.称(1)ijijM+为ija的代数余子式，记作ijA.【评注评注】ija的余子式ijM和代数余子式ijA与第i行和第j列元素无关.V 研客在线教育 按行按行（或或列列）展开定理展开定理1122,0,ijijinjnA ija Aa Aa Aij=+=1122,0,ijijninjA ija Aa Aa Aij=+=【例例 1.7】设 3 阶矩阵A的第 1 行元素为 1，2，3，A中第 2 行元素的余子式为1,2,3aaa+，则 a=.【详详解解】【例例 1.8】（2015，数一）n阶行列式2000212002012020002200012=_.【详解详解】【例例 1.9】（2001）设 3040222207005322A=（I）求第 4 行元素的余子式之和；（II）求第 4 行元素的代数余子式之和.V 研客在线教育 【详解详解】专题专题四四 行列式行列式的公式的公式 设,A B为n阶矩阵，则（1）nkAkA=；（2）ABA B=；（3）TAA=；（4）11AA=；（5）1*nAA=；（6）设A的特征值为12,n，则1niiA=；（7）若A与B相似，则AB=.行列式的行列式的求法求法（1）数字行列式：利用重要行列式或展开定理；（2）抽象行列式：利用行列式的性质或公式.【例例 1.10】设12312,均为 4 维列向量，且1231,m =，1223,n =，则 32112,+=（A）mn+（B）()mn+（C）nm （D）mn V 研客在线教育 【详解详解】【例例 1.11】（2010，数二、三）设,A B为 3 阶矩阵，且3A=，2B=，12AB+=，则 1AB+=.【详详解解】专专题题五五 Cramer 法则法则 设线性方程组 11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb+=+=+=系数矩阵的行列式 1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa=则方程组有唯一解DDxDDxDDxnn=,2211，其中 1111111121212212111(1,2,)jjnjjnjnnjnnjnnaabaaaabaaDjnaabaa+=V 研客在线教育 推论推论 齐次线性方程组 11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x+=+=+=只有零解0D；有非零解0D=.【例例 1.12】设线性方程组 1231213(5)2202(6)02 (4)0 xxxxxxx+=+=+=有非零解，则=.【详解详解】【例例 1.13】设1234,a a a a互不相同，则线性方程组 231121314231222324231323334231424344xa xa xa xbxa xa xa xbxa xa xa xbxa xa xa xb+=+=+=+=的解为 .【详解详解】V 研客在线教育 第第二二章章 矩阵矩阵 一一、理论框架理论框架|0()0 TABkAABAAr AnAAxAxbA+=基本运算定义性质定义法初等变换法求法伴随矩阵法分块矩阵法逆 的列（或行）向量组线性无关充要条件 齐次线性方程组只有零解非齐次线性方程组有唯一解的特征值均不为零矩定义秩 性质阵求法伴随 定义矩阵性质定义性质求矩阵的逆初等变换与初等矩阵求矩阵的秩线性表示应用求极大线性无关组解线性方程组求二次型的标准形分块矩阵 V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 11 二、考试大纲二、考试大纲 1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算.三三、知识体系知识体系 专题专题一一 矩阵的矩阵的基本基本运算运算 矩阵的矩阵的定义定义 由nm个数构成的m行n列的数表 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa 称为nm阶矩阵，记作)(ijaA=.当nm=时，称A为n阶矩阵或n阶方阵.元素均为零的矩阵称为零矩阵，记作O.n阶矩阵 100010001 称为单位矩阵，记作E.若矩阵A与B有相同的行数和相同的列数，则称,A B为同型矩阵.矩阵加法的矩阵加法的定义定义 设(),()ijijAaBb=为同型矩阵，称矩阵()ijijab+为A与B的和，记作AB+.矩阵数乘的矩阵数乘的定义定义 设矩阵)(ijaA=，k为常数，称矩阵)(ijka为k与A的数乘，记作kA.V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 12 矩阵乘法的矩阵乘法的定义定义 设)(ijaA=为nm阶矩阵，)(ijbB=为sn阶矩阵，称sm阶矩阵)(ijcC=为A与B的乘积，其中1 122ijijijinnjca ba ba b=+，记作ABC=.【评注评注】（1）矩阵乘法满足结合律和分配律，即()()AB CA BC=，()A BCABAC+=+，()BC ABACA+=+（2）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情况下BAAB.例如：设1000A=，0110B=，则 01000010ABBA=设,A B为n阶矩阵，则 222()ABABABA B=，2222()()AB ABAABBABAB+=+22222()()()2ABAB ABAABBABAABB+=+=+当且仅当A与B可交换，即ABBA=时，222()ABA B=，22()()ABAB AB=+，222()2ABAABB+=+.（3）矩阵乘法不满足消去律，即在一般情况下ABAC=且AOBC=/.例如：设1000A=，0001B=，0002C=，则ABOAC=，但.CB 特别的，ABOAO=/或BO=.例如：设1000A=，0001B=，则ABO=，但AO.消去律的充分条件：若A为可逆矩阵，则ABACBC=，BACABC=；若A为列满秩矩阵，则ABACBC=；若A为行满秩矩阵，则BACABC=.【例例 2.1】设(1,2,1)T=，T)0,21,1(=，TA=，则=4A .【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 13 转转置的置的定义定义 矩阵A行列互换得到的矩阵，称为A的转置矩阵，记作TA.转转置置的性质的性质（1）()TTTABAB+=+；（2）()TTkAkA=；（3）()TTTABB A=；（4）()TTAA=；（5）TAA=.对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵与反对称矩阵的的定义定义 设A为n阶矩阵，若TAA=，则称A为对称矩阵.若TAA=，则称A为反对称矩阵.【评注评注】任意n阶矩阵均可分解为对称矩阵与反对称矩阵的和.【例例 2.2】设,A B为n阶反对称矩阵，则下列结论不正确的是【】（A）AB+为反对称矩阵 （B）kA为反对称矩阵 （C）TA为反对称矩阵 （D）AB为反对称矩阵的充要条件是ABBA=【详解详解】专题专题二二 矩阵矩阵的逆的逆 逆的逆的定义定义 设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得ABE=或BAE=，则称A可逆，B为A的 逆矩阵，记作1BA=.【例例 2.3】（2001，数一）设n阶矩阵A满足24AAEO+=，则1()AE=.【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 14 逆逆的的性质性质 （1）111()(0)kAAkk=；（2）111()ABB A=；（3）11AA=；（4）11()()TTAA=；（5）11()AA=.【例例 2.4】（2000，数二）设=7600054000320001A)()(1AEAEB+=，则=+1)(BE .【详解详解】可可逆的逆的充要充要条件条件 n阶矩阵A可逆|0A()r An=A的列（或行）向量组线性无关 齐次线性方程组0Ax=只有零解 非齐次线性方程组Axb=有唯一解 A的特征值均不为零 V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 15 逆的求法逆的求法（1）逆的定义：ABE=或BAE=；（2）初等变换法：1()()AEEA 初等行变换或1AEEA 初等列变换；（3）伴随矩阵法：*1|AAA=；（4）分块矩阵法：111AOAOOBOB=，111OAOBBOAO=.【例例 2.5】设123221343A=，矩阵B满足2AABE=，则B=.【详解详解】专专题题三三 矩阵矩阵的的秩秩 k阶阶子子式式的的定义定义 在nm阶矩阵A中任取k行与k列（,km kn），位于这些行与列的交叉点上的2k个元素构成一个k阶行列式，称为A的一个k阶子式.秩的秩的定义定义 若矩阵A有个r阶子式非零，所有的1+r阶子式（如果存在的话）均为零，则称r为A的秩，记作)(Ar，并规定零矩阵的秩为零.【评注评注】（1）若矩阵A有个r阶子式非零，则()r Ar；（2）若矩阵A所有的1+r阶子式均为零，则()1r Ar+；（3）()1AOr A.V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 16 满满秩的秩的定义定义 设A为nm阶矩阵，若()r Am=，则称A为行满秩矩阵；若()r An=，则称A为列满秩矩阵.设A为n阶矩阵，若()r An=，则称A为满秩矩阵.【例例 2.6】（2001，数三）设 111111111111kkAkk=且()3r A=，则k=_.【详解详解】秩的性质秩的性质（1）设A为nm阶矩阵，则()min,r Am n；（2）()()()r ABr Ar B+；（3）设A为nm阶矩阵，B为sn阶矩阵，则()min(),()r ABr A r B；（4）max(),()()()()r A r Br ABr Ar B+；（5）()()(0)r Ar kA k=；（6）设A为nm阶矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ=；（7）设A为nm阶矩阵，若()r An=，则()()r ABr B=；若()r Am=，则()()r CAr C=；（8）()()()()TTTr Ar Ar A Ar AA=；（9）设A为nm阶矩阵，B为sn阶矩阵，满足ABO=，则()()r Ar Bn+.V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 17【例例 2.7】（2010，数一、二、三）设A为m n阶矩阵，B为n m阶矩阵，满足ABE=，则【】（A）()r Am=，()r Bm=（B）()r Am=，()r Bn=（C）()r An=，()r Bm=（D）()r An=，()r Bn=【详解详解】【例例 2.8】设001100010A=，211121112B=，123023003C=，则()r ABC=.【详解详解】秩秩的的求法求法（1）A为数字矩阵：对A作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，则)(Ar等于行阶梯形矩阵中非零行的行数；（2）A为抽象矩阵：利用秩的定义或性质.【例例 2.9】设 11110112343157bAa=且()2r A=，则a=，b=.【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 18 专题专题四四 伴随伴随矩阵矩阵 伴随矩阵的伴随矩阵的定定义义 设n阶矩阵()ijAa=，由ija的代数余子式ijA构成的矩阵 112111222212nnnnnnAAAAAAAAA 称为A的伴随矩阵，记作*A.【评注评注】设=dcbaA，则 1121*1222AAdbAAAca=若A可逆，则 1*11dbAAcaAadbc=伴随伴随矩阵矩阵的性的性质质（1）|0*1*11,AAAA AA EAA AA AA=；（2）*1*()nkAkA=；（3）*()ABB A=；（4）1*nAA=；（5）*()()TTAA=；（6）1*1()()AAAA=；（7）2*()nAAA=；（8）*,()()1,()10,()1n r Anr Ar Anr An=.V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 19【证证明明】当nAr=)(时，0A，从而1*0nAA=，故nAr=)(*.当1)(nAr时，A所有的1n阶子式均为零，即A所有的余子式均为零，亦即A所有的代数余子式均为零，从而*AO=，故0)(*=Ar.当1)(=nAr时，A有个1n阶子式非零，即A有个余子式非零，亦即A有个代数余子式非零，从而*AO，故1)(*Ar.又*AAA EO=，从而nArAr+)()(*，1)(*Ar，故1)(*=Ar.【例例 2.10】（2003，数三）设abbAbabbba=，且()1r A=，则【】（A）ab=或20ab+=（B）ab=或20ab+（C）ab且20ab+=（D）ab且20ab+【详详解解】专题专题五五 初等变换初等变换与与初等矩阵初等矩阵 初初等等变变换换的的定义定义 下列三种变换：（1）两行（或列）互换；（2）一行（或列）乘非零常数k；（3）一行（或列）乘k加到另一行（或列）.称为矩阵的初等行（或列）变换，统称为矩阵的初等变换.初等矩阵的初等矩阵的定定义义 单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵.三种初等变换对应三种初等矩阵：（1）E的第,i j两行（或列）互换得到的初等矩阵，记作(,)E i j；（2）E的第i行（或列）乘非零常数k得到的初等矩阵，记作()E i k；（3）E的第j行乘k加到第i行（或第i列乘k加到第j列）得到的初等矩阵，记作()E ij k.例如：010(1,2)100001E=，100(2(3)030001E=，130(12(3)010001E=.V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 20 初等变换初等变换与与初等矩阵初等矩阵的性质的性质（1）(,)1E i j=，()E i kk=，()1E ij k=；（2）(,)(,)TE i jE i j=，()()TE i kE i k=，()()TE ij kE ji k=；（3）1(,)(,)E i jE i j=，11()E i kE ik=，1()()E ij kE ijk=；（4）初等行（或列）变换相当于左（或右）乘相应的初等矩阵；（5）可逆矩阵可以写成有限个初等矩阵的乘积.【例例 2.11】（2009，数二、三）设 3 阶矩阵,A P满足100010002TP AP=.若123(,)P =，1223(,)Q =+，则TQ AQ=【】（A）210110002 （B）110120002 （C）200010002 （D）100020002【详解详解】【例例 2.12】（2011，数一、二、三）设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得到矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3 行得到单位矩阵.记1100110001P=，2100001010P=，则A=【】（A）12PP （B）112P P （C）21P P （D）121P P【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 21 初等变换初等变换与与初等矩阵的初等矩阵的应用应用（1）可逆矩阵与单位矩阵等价，从而可以经过初等变换求矩阵的逆；（2）初等变换不改变矩阵的秩，从而可以经过初等变换求矩阵的秩；（3）初等行变换不改变列向量组的线性关系，从而可以经过初等行变换求列向量组的极大线性无关组，并由其线性表示其余向量；（4）初等行变换不改变线性方程组的解，从而可以经过初等行变换求线性方程组的解.矩阵等价的矩阵等价的定义定义 若矩阵A可以经过有限次初等变换变为矩阵B，则称A与B等价，记作.BA 矩阵矩阵等价等价的充的充要要条条件件 设,A B为m n阶矩阵，A与B等价 存在m阶矩阵可逆矩阵P与n阶矩阵可逆矩阵Q，使得BPAQ=()()r Ar B=【例例 2.13】（2004，数三）设n阶矩阵A与B等价，则【】（A）当(0)Aa a=时，Ba=（B）当(0)Aa a=时，Ba=（C）当0A 时，0B=（D）当0A=时，0B=【详解详解】【例例 2.14】（2016，数二）设111111aaa与110011101等价，则a=_.【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 22 专题专题六六 分块分块矩矩阵阵 分分块矩块矩阵阵的的加法加法 设,A B为同型矩阵，采用相同的分块法 1111tsstAAAAA=，1111tsstBBBBB=则 11111111ttssststABABABABAB+=+分块矩阵分块矩阵的的数乘数乘 设1111tsstAAAAA=，k为常数，则1111tsstkAkAkAkAkA=.分块矩阵分块矩阵的的乘法乘法 设A为m l阶矩阵，B为ln阶矩阵，A的列与B的行采用相同的分块法 1111tsstAAAAA=，1111rttrBBBBB=则1111rssrCCABCC=，其中1(1,2,;1,2,)tijikkjkCA Bis jr=.特别的，设A为m n阶矩阵，B为n s阶矩阵，（1）将A按列分块，得 1112121222121211121211122(,)(,)ssnnnnsnnssnsnbbbbbbABbbbbbbbbb=+（2）将B按列分块，得 1212(,)(,)ssABAAAA=分块分块矩阵矩阵的的转置转置 设1111tsstAAAAA=，则1111TTsTTTtstAAAAA=.V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 23 分块分块矩阵矩阵的的逆逆 设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，则 111AOAOOBOB=，111OAOBBOAO=分块分块矩矩阵阵逆逆的的推广推广 11111ACAA CBOBOB=，11111AOAOCBB CAB=11111CAOBBOAA CB=，11111OAB CABBCAO=【例例 2.15】（2009，数一、二、三）设,A B为 2 阶矩阵，且2A=，3B=，则*OABO=【】（A）*32OBAO （B）*23OBAO （C）*32OABO （D）*23OABO【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 24 第第三三章章 向量向量 一一、理论理论框架框架11221212121212 ,(,)(,)(,)(,)ssssssskkkkxxxrr +=+=初等行变换基本运算定义非齐次线性方程组有解充要条件线性表示充分条件求法行最简形矩阵定义向线性相关量121212121212 (,)0(,)(,)0(,sssssxxxrsxxxr =至少有一个向量可由其余向量线性表示充要条件齐次线性方程组有非零解充分条件定义任意向量均不能由其余向量线性表示线性无关充要条件齐次线性方程组只有零解12,)(,)sss=初等行变换充分条件 定义极大线性无关组与向量组的秩求法行阶梯形矩阵 二二、考试、考试大纲大纲 V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 25 1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（或列）向量组的秩之间的关系.5.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念.（数一）6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.（数一）7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法.8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.（数一）三三、知识体系知识体系 专题专题一一 向量向量的基本的基本运算运算 向量的向量的定义定义 称12(,)na aa为n维行向量，12(,)Tna aa为n维列向量.向量向量加法的加法的定义定义 设1212(,),(,)TTnna aab bb=，称1122(,)Tnnab abab+为与的和，记作+.向量向量数乘的数乘的定义定义 设12(,)Tna aa=，k为常数，称12(,)Tnka kaka为k与的数乘，记作k.向量向量内积内积的的定义定义 设1212(,),(,)TTnna aab bb=，称 1 122TTnnaba ba b =+为与的内积，记作,.若,0=，则称与正交.显然零向量与任意向量均正交.向向量量长度长度的的定义定义 设12(,)Tna aa=，称22212,naaa=+为的长度（模），记作.若1=，则称为单位向量.正交矩阵的正交矩阵的定义定义 设A为n阶矩阵，若TAAE=或TA AE=，则称A为正交矩阵.正交矩阵的正交矩阵的充要条件充要条件 A为n阶正交矩阵 1TAA=A的列（或行）向量组为单位正交的向量组 V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 26 正交矩阵的正交矩阵的性质性质（1）1A=；（2）若,A B为n阶正交矩阵，则1,TA AB AAA均为正交矩阵.【例例 3.1】证明：（I）设A为n阶正交矩阵，且0A，则0AE+=；（II）设,A B为n阶正交矩阵，且0AB+=，则0AB+=.【证明证明】Schmidt 正交化正交化的的定义定义 设向量组12,s 线性无关，令 213132112213312111122121121112211,sssssssss =则12,s 两两正交，将其单位化，得121212,sss=，则12,s 为单位正交的向量组，从12,s 到12,s 的过程称为 Schmidt 正交化.例如：设123(0,1,2),(1,0,1),(1,1,0)TTT=，V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 27 专题二专题二 线性线性表示表示 线线性组合的性组合的定定义义 设向量组12,s，对任意一组数skkk,21，称1122sskkk+为12,s 的线性组合.线性线性表示表示的的定定义义 设向量组12,s 与向量，若存在一组数skkk,21，使得 1122sskkk=+，则称可由12,s 线性表示.例如：设123(1,0),(0,1),(1,1),(2,3)TTTT=，则1213232332=+=+=+.向量组等价的向量组等价的定义定义 设向量组（I）12,s，向量组（II）12,t，若向量组（II）中的每个向量均可由向量组（I）线性表示，则称向量组（II）可由向量组（I）线性表示.若向量组（I）与（II）可以相互线性表示，则称向量组（I）与（II）等价.例如：设向量组（I）123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTT=，向量组（II）123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)TTT=，则13=，223=，312=，1123=+，212=+，31=，故向量组（I）与（II）等价.【例例 3.2】（2013，数一、二、三）设n阶矩阵,A B C满足ABC=，且B可逆，则【】（A）C的行向量组与A的行向量组等价（B）C的列向量组与A的列向量组等价（C）C的行向量组与B的行向量组等价（D）C的列向量组与B的列向量组等价【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 28 线线性表性表示的充示的充要要条条件件 非零向量可由向量组12,s 线性表示 非齐次线性方程组1212(,)ssxxx=有解 1212(,)(,)ssrr =向量组等价的向量组等价的充要条件充要条件 向量组（I）12,s 与向量组（II）12,t 等价()(,)()rrr=线性线性表示表示的的充充分条件分条件 设向量组12,s 线性无关，向量组12,s 线性相关，则可由12,s 唯一地线性表示.线性表示线性表示的的求法求法 设向量可由向量组12,s 线性表示，对12(,)s 作初等行变换，化为行最简形矩阵，解得线性表示的系数.【例例 3.3】（2011，数一、二）设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)TTT=不能由向量组 123(1,1,1),(1,2,3),(3,4,)TTTa=线性表示.（I）求a的值；（II）将123,由123,线性表示.【详解详解】（I）若123,线性无关，则所有的3维列向量均可由其线性表示，与题设矛盾，从而123,线性相关，故123(,)3r.对123(,)作初等行变换，123113111(,)12401113005aa=得5a=.（II）V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 29 专专题题三三 线性相关线性相关与与线性无关线性无关 线性相线性相关与线关与线性无性无关关的的定定义义 设向量组12,s，若存在不全为零的数skkk,21，使得 11220sskkk+=，则称12,s 线性相关，否则称其线性无关.【评注评注】（1）向量线性相关0=；向量组12,线性相关12,对应分量成比例；（2）两个向量线性相关的几何意义是两个向量共线；三个向量线性相关的几何意义是三个向量共面.【例例 3.4】（2002，数三）设122212304A=，11a =.若A与线性相关，则a=.【详解】【详解】【例例 3.5】（1998，数一）设A为n阶矩阵，为n维列向量.若10mA，0mA=，证明向量组1,mAA线性无关.【证证明明】线线性相关性相关的充的充要条件要条件 向量组12,s 线性相关 至少有一个向量可由其余向量线性表示 齐次线性方程组1212(,)0ssxxx=有非零解 12(,)srs，则12,s 线性相关，即以少表多，则多必相关；逆否命题：设向量组12,s 线性无关，可由向量组12,t 线性表示，则st，即无关被表，则个数不多.推推论论 1n+个n维向量（即向量维数小于向量个数）线性相关.【例例 3.7】（2003，数一、二）设向量组（I）12,r 可由向量组（II）12,s 线性表示，则【】（A）当sr 时，向量组（II）线性相关（C）当sr 时，向量组（I）线性相关【详解详解】【例例 3.8】（2010，数二、三）设向量组（I）12,r 可由向量组（II）12,s 线性表示，则【】（A）若向量组（I）线性无关，则rs （B）若向量组（I）线性相关，则rs （C）若向量组（II）线性无关，则rs （D）若向量组（II）线性相关，则rs【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 31 线性无关的充线性无关的充要条要条件件 向量组12,s 线性无关 任意向量均不能由其余向量线性表示 齐次线性方程组1212(,)0ssxxx=只有零解 12(,)srs=推推论论 n个n维向量12,n 线性无关12|,|0n.线性无关的线性无关的充分条件充分条件（1）整体无关，则部分无关；（2）低维无关，则高维无关；（3）不含零向量的正交向量组线性无关；（4）不同特征值的特征向量线性无关.【例例 3.9】（2007，数一、二、三）设向量组321,线性无关，则下列向量组线性相关的是【】（A）133221,（B）122331,+（C）1223312,2,2 （D）1223312,2,2 +【详详解解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 32 专题专题四四 极大线性极大线性无关组无关组与向与向量组量组的的秩秩 极大线性无极大线性无关关组组的的定义定义 设向量组12,s 中存在r个向量12,riii 线性无关，再加入其余任意向量就线性相关（其余向量均可由其线性表示），则称12,riii 为12,s 的极大线性无关组.向量组的向量组的秩秩的的定义定义 极大线性无关组中向量的个数称为向量组的秩.【评注评注】（1）极大线性无关组不唯一，若向量组的秩为r，则任意r个线性无关的向量均为极大线性无关组；（2）矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩.【例例 3.10】设 4 阶矩阵1234(,)A =，其中12,线性无关，3不能由12,线性表示，412323=+，则()r A=.【详详解解】极极大线性无关组大线性无关组的求法的求法 对12(,)s 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中每行第一个非零元素对应的列向量构成极大线性无关组.【例例 3.11】（2006，数三）设1234(1,1,1,1),(2,2,2,2),(3,3,3,3),(4,4,4,4)TTTTaaaa=+=+=+=+，当a为何值时，1234,线性相关.当1234,线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量由该极大线性无关组线性表示.【详解详解】V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 33 第第四章四章 线性方程组线性方程组 一一、理论框架理论框架 1 1220()0 0()()()()()1 ()()()()0 n rn rAxr AnAxAxr AnAxbr Ar Ar Ar AAxbAxbr Ar AnAxbr Ar AnAxkkk=+性质只有零解有非零解解的性质与判定无解判定有唯一解有无穷多解的通解解的结构线性方程组1 122 ()()()()()()(),n rn rAxbkkkAXBAXBr Ar ABAXBr Ar ABnAXBr Ar ABnABA B=+=初等行变换的通解定义无解矩阵方程判定有唯一解有无穷多解求法行最简形矩阵定义公共解求法定义公共解与同解的行向量组等价同解充要条件()()Ar Arr BB=二、考试大纲二、考试大纲 1.会用克莱姆法则.2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法.4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.V 研客在线教育 晓千老师晓千老师线性代数线性代数满分过满分过关关 1 15 50 0 34 5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法.三三、知识体系知识体系 专题专题一一 解的解的性质与性质与判判定定 齐次线性方程组齐次线性方程组的定义的定义 含有n个未知数的方程组 11 1122121 122221 122000nnnnmmm