2022考研数学满分过关150之线性代数1-11考研资料.pdf

2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 01第第一一章章行行列列式式重重点点题题型型行行列列式式的的计计算算【例例 1】设12312,均为 4 维列向量，1231(,)A ，3122(,)B .若1A，2B，则2AB.【详详解解一一】因为132132122(2,2,2,2)AB ，则有1321321132132222,2,2,2,2,2,2AB ，又1321321123112000120(2,2,2,)(,)20100001 ，于是有1321321120001202,2,2,20100001A 7.1321322312220101200(2,2,2,2)(,)01200002 ，有1321322201012002,2,2,22801200002B ，所以27(28)21AB .【详详解解二二】（特特值值法法）令1000010000100001A，0100001010000002B则2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 021200012022120100003AB第第二二章章矩矩阵阵重重点点题题型型一一求求高高次次幂幂【例例 2】设A为 3 阶矩阵，(9,18,18)Tb，非齐次线性方程组Axb的通解为12(2,1,0)(2,0,1)(1,2,2)TTTkk，其中12,k k为任意常数，求A与100A.【详详解解】由2100A，2001A 知12(2,1,0),(2,0,1)TT 为矩阵A属于特征值120的两个线性无关的特征向量.由191218922182A知3(1,2,2)T为矩阵A属于特征值39的特征向量.令123(,)P ，则1009P AP 得122102541221102024524490129122244AP P故2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 03100100199100221025412211020245924490129122244APP或9910099122()9244244Atr AA重重点点题题型型二二逆逆的的判判定定与与计计算算【例例 3】设,A B为n阶矩阵.（I）若A与ABE 可逆，证明BAE 可逆；（II）若ABE 可逆，证明BAE 可逆；【证证明明】（I）方法一：11111()|()0EBAA ABAAB AABAA ABA ABEAB故BAE 可逆.方法二：因为A可逆，1()AAB ABA，ABBA，EABEBA，ABE 可逆，则BAE 可逆.（II）因为EAB可逆，所以存在可逆矩阵C，()EAB CE，CABCE左乘B右乘A，得BCABABCABA，()()EBA BCAEBAE()()EBA BCAEE，因此EBA可逆，且1()EBABCAE.【例例 4】设,A B为n阶方阵，且(0)ABaAbB ab.证明：（I）ABBA；（II）()()r Ar B；（III）,A B的特征向量相同.【详详解解】（I）由(0)ABaAbB ab，得()()AbE BaEabE1()()AbE BaEEab，1()()BaEAbEEab所以BAaAbB，ABBA.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 04（II）()()();ABaAbBbBA BaEr Br bBr A BaEr A()()();ABaAbBaAAbE Br Ar aArAbE Br B故()().r Ar B（III）设是B的特征值，是B的属于特征向量，即,0B,则0,0,aAbBABaAbA 即(),a Ab若a，则0，矛盾，故a，则,bAa即是A的特征向量.又aAbBBA，A的特征向量也是B的特征向量.重重点点题题型型三三秩秩的的计计算算与与证证明明【例例 5】对于二阶矩阵A，则1()EAEA是5AO的（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）无关条件【详详解解】首先1222()()()0EAEAEA EAEEAEA充分性：20A，显然5230AAA必要性：50A，550AA，0A 所以()2r A，()0r A 或()1r A.1）()0r A，0A，20A 2）()1r A，54()0Atr AA，()0tr A，2()0Atr AA.故选（C）【例例 6】（南开大学 2017）设A为3 2阶矩阵，B为2 3阶矩阵，满足822254245AB，求BA.【详详解解】2()()2r ABr A，故()2r A，同理()2r B.1222449244ABE2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 05令122244244C，则()1r C，得29CC，即2(9)9(9)ABEABE，故2()9ABAB，即9ABABAB，故90909BAE.（全国大学生 2012 年竞赛题）设,A B分别为32,23阶矩阵，满足8043962201AB，求BA.（华东师范大学 2013）设,A B分别为42,24阶矩阵，满足1010010110100101AB，求BA.重重点点题题型型四四关关于于伴伴随随矩矩阵阵【例例 7】设()ijAa为 3 阶非零矩阵，ijA为ija的代数余子式，2(,1,2,3)ijijAa i j，则A.【详详解解】由2(,1,2,3)ijijAa i j23*3222111112121313111213112,2,2,2,80()2220(0)TTTAAAAAAA EAAA EAAAAAa Aa Aa Aaaaa或舍不防设【例例 8】设0001200037211001210011200A，则*A.【详详解解】OCABO，AB C，111OBACO211121112B，1 1 11 1 11 1 1BEDE，DBE2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 0623DD，23BEBE，2540BBE，(5)4B BEE，13115113144113BEB ，2111214112B 1237C，17231C，12137C 11*111*003110013100113288000124000OC B BOBAA AB CB C COCOOC BB CO【评评注注】分块矩阵伴随*1*111*1ACACACB AA CBAA CBA BOBOB OBOA BOB*1*1*111AOAOAOB AOAOA BCBCB CBB CAA BB CAB*1*1*111(1)(1)mnmnCACA CAOA BOBA BBOBOBOB AA CBAA CB *1*111*1(1)(1)mnmnOAOA OAB CAA BB CABA BBCBCBCB AOAO 第第三三章章向向量量重重点点题题型型一一线线性性表表示示的的判判定定与与计计算算【例例 9】设1234,均为 3 维非零列向量，则下列结论错误的是【】（A）若4不能由123,线性表示，则123,线性相关（B）若123,线性相关，234,线性相关，则124,也线性相关2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 07（C）若3不能由12,线性表示，4不能由23,线性表示，则1可以由234,线性表示（D）若112234142434(,)(,)rr ，则4可以由123,线性表示【详详解解】例如1(1,0,0)T，2(0,1,0)T，3(0,2,0)T，4(0,0,1)T，可知（B）不正确，应选（B）.关于（A）：如果123,线性无关，又因1234,是 4 个 3 维向量必线性相关，而知4必可由123,线性表示.关于（C）：由已知条件，有（）12123(,)(,)rr ，（）23234(,)(,)rr .若23(,)1r，则必有12123(,)(,)rr ，与条件（）矛盾，故必有23(,)2r，那么由（）知234(,)3r ，从而1234(,)3r .因此1可以由234,线性表示.关于（D）：经初等变换有112231223(,)(,)123(,)，414243441231234(,)(,)(,)，从而1231234(,)(,)rr .因而4可由123,线性表示【例例 10】设向量组（I）123(1,0,1),(1,1,2),(1,2,)TTTa；向量组（II）12(1,2,1),(1,0,)TTb.（1）当,a b为何值时，向量组（II）可由向量组（I）线性表示，并求出表示式；（2）设11101212Aa，11201Bb.当,a b为何值时，矩阵方程AXB有解，并求出所有解.【详详解解】（1）对12312(,)作初等行变换，123121111111111(,)012200122012100301abab 2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 08当3a 时，12,均可由123,唯一线性表示，解得11232，212312(1)11333bbbaaa.当3a，1b 时，12,均可由123,线性表示且表示不唯一，解得1111213(3)(22)kkk，2212223(1)2kkk，其中12,k k是任意常数.（2）由矩阵方程AXB，将X，B以列分块，设12(,)X，12(,)B，得1212(,)(,)A 即,1,2iiAi.由（1）知，当3a 时，AXB有唯一解，且13132(1)23103babXaba；当3a，1b 时，AXB无穷多解，且12121231222kkXkkkk，其中12,k k是任意常数.【例例 11】设2121,均为 3 维列向量，21,线性无关，21,线性无关.（I）证明：存在非零列向量，既可由21,线性表示，又可由21,线性表示；（II）若1212(1,2,1),(2,5,3),(2,3,1),(1,0,3)TTTT，求所有既可由21,线性表示，又可由21,线性表示的向量.【详详解解】（I）4 个 3 维向量1212,必线性相关，故存在不全为零的数1212,k k l l，使得022112211llkk于是22112211llkk此时112211220kkll，否则由21,线性无关，21,线性无关，得1212,k k l l全为零，与1212,k k l l不全为零矛盾.令22112211llkk，则0，既可由21,线性表示，又可由21,线性表示.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 09（II）设11223142xxxx，即112231420 xxxx，对1212(,)作初等行变换，121212211001(,)2530010113130011 其中4x为自由未知量，可以任意取值.令4xu，得1212,xu xu yu yu，故1232uuuuu，其中u为任意常数.重重点点题题型型二二线线性性相相关关与与线线性性无无关关的的判判定定【例例 12】设123,均为 3 维向量，30，则对任意常数,k l，向量组1323,kl 线性无关是向量组123,线性无关的【】（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件【详详解解】充分性反证法：向量组123,线性相关，则31122,tt向量组1323111222112211221122121212,1,11,1klk ttl ttktktltltktktltlt 1212121,101ktktCCktltltlt 存在,k l使得0C，从而1323,kl 相关，矛盾，故123,无关.必要性：设113223()()0kl 则1122123()0kl 由123,线性无关，得120，从而1323,kl 线性无关，故应选（C）.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 010【例例 13】设齐次线性方程组11 112213314421 122223324400a xa xa xa xa xa xa xa x有基础解系111121314(,)Tbbbb，221222324(,)Tbbbb.记111121314(,)Taaaa，221222324(,)Taaaa，证明向量组1212,线性无关.【详详解解】由题设知112244(,)2TTrr，得12(,)2r，故12,线性无关，且0(,1,2)Tiji j.设存在1234,k k k k，使得112231420kkkk（*）（*）式两边左乘(1,2)Tii，得11121212122200TTTTkkkk （*）其系数矩阵为1112112121221222(,)(,)(,)TTTTTTT 由()()Tr Ar A A，得1112122122(,)2TTTTrr ，故方程只有零解，得120kk.将120kk代入（*）式，由12,线性无关，得340kk，故1212,线性无关第第四四章章线线性性方方程程组组重重点点题题型型一一解解的的判判定定【例例 14】设,为n维单位列向量，P为n阶可逆矩阵，则下列方程组中只有零解的是【】（A）()0TEx（B）1()0TTP Px（C）1()0TTPPx（D）()0TEx【详详解解】应选（D）.由,为n维单位列向量，得1TT .2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 011方法一：（A）不正确，当0 x时，()()0TTE ；（B）不正确，当0 xP时，1()()()0TTTTP PPPP ；（C）不正确，当10 xP时，1111()()()0TTTTPPPPP ，故应选（D）.方法二：令(1,0,0)T，则0()101TExx有非零解，排除（A）；令(1,0,0)T，PE，可排除（B）；令(1,0,0)T，PE，可排除（C），故应选（D）.方法三：2TT，2DEDE，232DDE，因此D可逆，且11(3)2DDE，故方程组()0TEx只有零解，应选（D）.方法四：由特征值的性质知T的特征值11T，20n，从而TE的特征值为 2，1，1，故TE可逆，因此方程组()0TEx只有零解，故应选（D）.重重点点题题型型二二求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系与与通通解解【例例 15】已知5 4矩阵1234(,)A ，若1(3,1,2,1)T，2(0,1,0,1)T是齐次线性方程组0Ax 的基础解系，那么下列命题13,线性无关；1可由23,线性表示；34,线性无关；11234(,)3r 中正确的是【】（A）（B）（C）（D）【详详解解】由12,是齐次方程组0Ax 的解，有11234123431(,)32021A （1）