2022考研数学150之概率论讲义考研资料.pdf

2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 1 第一章第一章 事件与概率事件与概率 重点题型重点题型一一 事件事件的的关系关系、运算运算与概率的性质与概率的性质【例【例 1】设X，Y为随机变量，305P XY=，4max(,)05PX Y=，则min(,)0PX Y=【】（A）15 （B）25 （C）35 （D）45【详解】【详解】选（D）设0AX=，0BY=，则0XYABBA=，max(,)0X YAB=，min(,)0X YAB=.min(,)0()()PX YP ABP ABBAAB=()()0,01max(,)0P ABBAP ABP XYPX Y=+=+3441555=+=.重点题型重点题型三三 三大三大概率公式概率公式的计算的计算【例【例 2】设A，B为两个随机事件，()0.4P A=，(|)0.5P B A=，已知A和B中至少有一个不发生，则A发生B不发生的概率为 .【详解】【详解】()()()0.4 0.50.2P ABP A P B A=，()()()()()P AB ABP ABP AB ABP ABP AB=()()0.40.211()1 0.24P AP ABP AB=.【例【例 3】袋内有a个红球与2a个白球，每次都随机地摸出一个球，若是红球，则将该球放回并且再加进a个红球，然后再从袋中任取一个球，如果仍是红球，则再将该球放回并且再加进a个红球，如此继续，直至摸到白球为止，则第n次才摸到白球的概率是 .【详解】【详解】设事件iA=“第i次摸到白球”，1,2,in=，则nA表示前1n次均摸到红球且第n次摸到白球，且121iiAA AA，2,in=，()nP A为所求，根据古典型概率公式 11()33aP Aa=，2121()42aP A Aa=，31233()55aP A A Aa=，2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 2 112(2)1()3(2)1nnananP AAAanan+=+，11(1)()3(1)2nnananP A AAanan+=+，1122()3(1)2nnaP A AAanan=+，或 11112()1()122nnnnnP A AAP A AAnn=+，根据乘法公式12112112()()()()()nnnnnP AP A AAAP A P A AP A A AA=1 2 31243 4 512(1)(2)nnnn nn=+.【例【例 4】设随机变量X服从参数为的 Poisson 分布，随机变量Y在0 X之间任取一个非负整数.求概率2P Y=.【详解】【详解】因为,0,1,2!iP Xieii=，于是有全概率公式得 022|iP YP YXi P Xi=12311!ikikeeiik=+21(1)2ee=112eee=【例【例 5】设X为三个同类产品中次品的个数，且32EX=，现从中任取一个产品，则该产品是次品的概率为 .【详解【详解一一】设01230123Xpppp，则12323EXppp=+，设A表示该产品为次品，由全概率公式得 33001()332iiiiEXP AP Xi P A Xip=【详解【详解二二】(3,)XBp，332EXp=，12p=第二章第二章 一维随机变一维随机变量量 重点重点题型题型一一 分布函数分布函数的判定与计算的判定与计算【例例 6】同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，则抛掷次数X的分布函数为 .2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 3【详解】设A表示“甲骰子出现 6 点”，B表示“乙骰子出现 6 点”，C表示“出现 6 点”，则 11()()1()1()()36P CP ABP ABP A P B=于是，X的分布律为11111(1),1,2,33636kP Xkk=X的分布函数为 1 0,1 0,1,()25,11,136xxkxxF xP XxP Xkxx=其中 x表示不超过x的最大整数 重点题型重点题型二二 概率密度概率密度的判定与计算的判定与计算【例【例 7】设随机变量X的密度函数和分布函数分别为()f x和()F x，当0 x 时，1()()f xF xk+=；当0 x 时，2()()f xF xk+=，其中1k，2k为常数.（）求1k，2k及()f x；（）求2P aXa的最大值，其中a为常数.【详解】【详解】（）当0 x时，由1()()f xF xk+=及()F x连续知1()()f xkF x=连续，进而()()xF xf t dt=可导，且()()F xf x=，故有1()()F xF xk+=，解得11()xF xkce=，0 x，由于11lim()lim()0 xxxF xkc e=，所以有10c=和10k=，即()0F x=，0 x.同 理，当0 x 时，()()xF xf t dt=可 导，且()()F xf x=，由2()()F xF xk+=，解 得22()xF xkc e=，由于22lim()lim()1xxxF xkc e+=，得21k=，故2()1xF xc e=，又()F x连续，所以0lim()(0)xF xF+=，得210c=，即21c=，即()1xF xe=，0 x.由上知 0,0()1,0 xxF xex=，所以 0,0()(),0 xxf xF xex=（）当0a时，20P aXaP=；当0a 时，2222()aaxaaaaP aXaf x dxe dxee=，222aadP aXaeeda=+，令20dP aXada=，解得ln2a=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 4 当0ln2a时，20dP aXada；当ln2a 时，20dP aXada；故当ln2a=时，2P aXa取最大值，且最大值为 ln22ln21ln22ln24PXee=重点题型重点题型三三 关于关于八大分布八大分布【例【例 8】设X为随机变量，,s t为正数，,m n为正整数，下列结论正确的个数为【】若X服从参数为的指数分布，则|P Xst Xs+与s无关 若X的密度函数为21,1()0,1xf xxx=则当1t 时，2|P Xt Xt与t无关 若X服从参数为p的几何分布，则|P Xmn Xm+与m无关 若X的分布律为1,1,2,(1)P Xkkk k=+，则2|P Xn Xn与n无关（A）1（B）2 （C）3 （D）4【详解】【详解】选（D）根据指数分布的无记忆性，P Xst XsP Xt+=与s无关；12,212212P Xt XtP XttP Xt XtP XtP Xtt=，与t无关；,P Xmn XmP Xmn XmP Xm+=(1)(1)(1)m nnmP XmnppP Xmp+=，与m无关；12,212212P Xn XnP XnnP Xn XnP XnP Xnn=，与n无关，2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 5 四个结论全部正确，选（D）.【例例 9】设随机变量X服从参数为6的泊松分布，则当P Xn=最大时，n=.【详解】【详解】随机变量X服从参数为的泊松分布，于是11P XnP Xnn=+=+，当为非正整数，n=时，P Xn=最大，事实上，111P XP X=+=+=，即得 1P XP X=+=，又 11P XP X=，即得 1P XP X=，根据上述分析可得当 n=时，P Xn=最大.6=2n=.2P X=最大.重点题型重点题型四四 求求一一维维连续型连续型随机变随机变量函数量函数的的分布分布【例【例 10】设随机变量X的概率密度为2221,0()2 ,0 xxexf xex=，求：（）2YX=的概率密度()Yfy；（）EY.【详解】【详解】（）方法一：先求Y的分布函数()YFy，当0y 时，()0YFy=；当0y 时，2()()()YXXF yP YyP XyPyXyFyFy=，故()22 0,0()111()(),0222yYyXXyfyfyfyeeyyy=+=+方法二：公式法 0,xxy=，2111()()222yYXfyfyeyy=，0,xxy=，211()()22yYXfyfyeyy=，2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 6 所以22 0,0()11,022yYyyfyeeyy=+，（）方法一：220113()422yyYEYyfy dyyeedxy+=+=方法二：0222220()()xEYEXx f x dxxx dxx edx+=+211113()(3)28244xx dx+=+=+=.【例【例 11】设随机变量X的分布函数为 1,1(),01 0,0 xF xabxxx=+，且104P X=，求：（I）常数ba,；（II）ln()YF X=的分布函数()YFy.【详解】【详解】（）由分布函数的性质得10(0)(00)04P XFFaa=.又()F x在点1x=处右连续，即(1 0)(1)FF+=，得1ab=+，解得34b=，从而 1,113(),0144 0,0 xF xxxx=+（）因为X在0,1上取值，所以13()44F XX=+，从而1()14F X，于是0ln4Y.由分布函数的定义()ln()YFyP YyPF Xy=，当0y 时，()0YFy=；当0ln4y时，134141()ln1443434yyYFyPXyP XeP Xe=+=由410134ye，且当0 x 时，()F x连续，从而41()1134yyYFyFee=当ln4y 时，()1YFy=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 7 综上所述，ln()YF X=的分布函数 0,0()1,0ln4 1,ln4yYyFyeyy=【例【例 12】设随机变量1,1XU，记0,10.51,0.51XYX=，0.5ZX=，求（）Y的概率分布；（）Z的概率密度()zfz；（）UYZ=的分布函数()UFu.【详解】【详解】（）由题设得Y概率分布为010.750.25Y.（）由分布函数的定义()0.5zF zP ZzP Xz=，当0z 时，()0zF z=；当00.5z时，()0.50.5zF zPzXzz=+=；当0.51.5z时，()0.510.250.5zF zPzXz=+；当1.5z 时，()1zF z=.所以Z的概率密度 1,00.5()()0.5,0.51.5 0,zzzfzF zz=其他 （）0,10.50.5,0.51XUYZXX=当0u 时，()0UFu=；当0.5u 时，()1UFu=；当00.5u时，()10.50.750.5UF uP UuPXuu=+=+综上所述，U的分布函数为 0,0()0.750.5,00.5 1,0.5UuF uuuu=+【例【例 13】设随机变量(1)XE，1YX=+，ZXX=，其中 X表示不超过X的最大整数.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 8（I）求Y的概率分布及6|5P YY；（II）求Z的概率密度()Zfz；（III）求 E X.【详解】【详解】（I）X的概率密度为,0()0,0 xexf xx=.Y的概率分布为(1)1111111 (1)(1,2,)kxkkkkP YkPXkPXkP kXke dxeeeek=+=（）故()YG p，其中11pe=.由几何分布的无记忆性得 116|51111(1)P YYP YP Yee=（II）【方法一】【方法一】（分布函数（分布函数法法）Z的分布函数为()ZFzP ZzP XXz=当0z 时，()0ZFz=；当1z 时，()1ZFz=；当01z时，100001()()(1)1zk zxkk zzkZkkkkkeFzP kXkze dxeeeee+=+=故Z的概率密度为,01()1 0,zZeezfze=其他.【方法【方法二二】（公式公式法法）在),1k k+内 zxxxk=单调递增，值域为)0,1，反函数为xzk=+，()z kZfze=，01z kzkeeee=，故Z的概率密度为,01()1 0,zZeezfze=其他.（III）【方法一】【方法一】2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 9 2310121223111211()lim2 lim2()()1 lim()11nxxxxnnnnnnnnE Xx f x dxx e dxe dxe dxne dxeeeen eeeeeeneee+=+=+=+=【方法【方法二二】由 102()11zZeeEZzfz dzze dzee+=得 21111eE XEXEZee=【方法【方法三三】1111111E XEYee=【评注评注】八大分布的无记忆性：（1）设()XG p，则对任意正整数,m n，有|P Xmn XmP Xn+=，|P Xmn XmP Xn=+=（2）设()XE，则对任意0s，0t，有|P Xst XsP Xt+=，|0P Xst XsPXt+=【例例 14】设随机变量(0,1)XN，max,0YX=.（I）求Y的分布函数()YFy，并讨论其间断点的类型；（II）求EY，DY；（III）求(,)Cov X Y.【详解详解】（I）Y的分布函数为()max,0YFyP YyPXy=当0y 时，()0YFy=；当0y 时，()()YFyP Xyy=.由于 1(00)(0)(00)02YYFF+=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 10 故0y=为()YFy的跳跃间断点.（II）由 22022200max,0max,0()()111 2222xxEYEXxx dxxx dxxxedxed+=22220222max,0max,0()()1111 ()()2222EYEXxx dxxx dxxx dxEXDXEX+=+=得 2211()22DYEYEY=（III）220(,)()max,0max,0()11 ()()22Cov X YE XYEX EYE XXxxx dxxx dxxx dx+=第第三三章章 二维随机变量二维随机变量 重点题型重点题型一一 联合联合分布分布函数函数的的计算计算【例【例 15】设随机变量()XE，2YX=，则(,)X Y的联合分布函数(,)F x y=.【详解】【详解】由联合分布函数的定义2(,),F x yP Xx YyP Xx Xy=，当0 x或0y 时，(,)0F x y=；当0yx时，0(,),01yyxF x yP XxyXyPXye dxe=当0 xy时，0(,)01xtxF x yPXxe dte=综上所述，(,)X Y的分布函数 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 11 1,0,0(,)1,0,0 0,yxexyxF x yexy y=其他【例【例 16】求(,)X Y的联合分布函数(,)F x y（1）设2,01(,)0,xyf x y=其他（2）设2,0,0,1(,)0,xyxyf x y+=其他（3）设(,)X Y服从D上的均匀分布，其中D为x轴，y轴及直线21yx=+所围的三角形区域.【详【详解解】均匀分布的概率等于面积比；（1）由联合分布函数的定义(,),F x yP Xx Yy=，当0 x或0y 时，(,)0F x y=；当01xy时，2(,)2F x yxyx=；当01x，1y 时，2(,)2F x yxx=；当01y，1x 时，2(,)F x yy=；当1x，1y 时，(,)1F x y=.综上所述，(,)X Y的联合分布函数 222 0,002,01(,)2,01,1 ,01,1 1,11xyxyxxyF x yxxxyyyxxy=或,（2）由联合分布函数的定义(,),F x yP Xx Yy=，当0 x或0y 时，(,)0F x y=；当0,0,1xyxy+时，(,)2F x yxy=；当0,0,12xyxy+时，22(,)1(1)(1)F x yxy=；2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 12 当1,01xy时，(,)(2)F x yyy=；当1,01yx时，(,)(2)F x yxx=；当1x，1y 时，(,)1F x y=.综上所述，(,)X Y的联合分布函数 220,002,0,0,11(1)(1),0,0,12(,)(2),1,01(2),1,011,1,1xyxyxyxyxyxyxyF x yyyxyxxyxxy+=或（3）1()4S D=，故(,)X Y的联合密度为4,(,)(,)0,x yDf x y=其他(,),(,)xyF x yP Xx Yyf u v dudv=当12x 或0y 时，(,)0F x y=当102x且021yx+时，2(,)42F x yxyyy=+当102x且21xy+时，2(,)441F x yxx=+当0 x 且01y时，2(,)2F x yyy=当0 x 且1y 时，(,)1F x y=故联合分布函数为 2221 0,02142,002121(,)441,0212 2,0 1,01xyxyyyxyxF x yxxxxyyyxyxy+或且且且01且 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 13 重点题型重点题型二二 二维离散型随机变量二维离散型随机变量分布分布的计算的计算【例例 17】设随机变量,X Y均服从101113828，2X与2Y相互独立，且1104PXY+=.若max,UX Y=，min,VX Y=.（I）求(,)X Y的联合概率分布；（II）判定X与Y是否相互独立；（III）求(,)Cov U V.【详解】【详解】（I）由2X与2Y相互独立，得 220,00,0P XYP XY=22100004P XP YP XP Y=由 101,01,10,11 0,01,14PXYP XYP XYP XYP XYP XY+=+=+=+=+=得 1,01,10,11,10P XYP XYP XYP XY=故(,)X Y的联合概率分布为 Y X 1 0 1 ip 1 1 8 0 0 1 8 0 0 1 4 1 4 1 2 1 0 1 4 1 8 3 8 jp 1 8 1 2 3 8 1（II）由于 11,18P XY=11164P XP Y=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 14 故X与Y不相互独立.（III）(,)U V的联合概率分布为 V U 1 0 1 ip 1 1 8 0 0 1 8 0 0 1 4 0 1 4 1 0 1 2 1 8 5 8 jp 1 8 3 4 1 8 1 故 111(,)()(1)(1)884Cov U VE UVEU EV=+=重点题型重点题型三三 二维二维连连续续型型随机随机变量变量分分布布的计算的计算【例例 18】设二维随机变量(,)X Y的密度函数为(,)f x y，（1）令UY=，2VX=，（2）令2UY=，VX=，（3）令UX=，VXY=+，求随机变量(,)U V的联合概率密度函数.（1）令UY=，2VX=，设(,)U V的联合分布函数为(,),2,22yyG x yP Ux VyP YxXyP XYxFx=，则(,)U V的联合概率密度函数为2(,)1,22G x yyfxx y=.（2）令2UY=，VX=(,),2,2UVuFu vP Uu VvPYuXvPXv Y=,2222uuuuP YP YXvFFv=+2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 15 22,22(,)(,)UVUVuuFFvFu vfu vu vu v+=1,22ufv=.（3）令UX=，VXY=+(,),F u vP Uu VvP Xu XYv=+(,)(,)uv xDf x y dxdyf x y dy dx=(,)v uFf x y dyu=，2(,)Ff u vuu v=【例例 19】（二维（二维连续型连续型随机变量）随机变量）设随机变量(,)X Y的联合概率密度为8,01(,)0,xyyxf x y=其他，求|P YEY XEX=.【详解【详解】X的边缘概率密度为 3084,01()(,)0,xXxydyxxfxf x y dy+=其他 故 1404()45XEXxfx dxx dx+=在45X=的条件下，Y的条件概率密度为 4254,0458545 0,5Y XXfyyyfyf=其他 又 112400088(,)8315xEYyf x y dxdyxdxy dyx dx+=故 881515|0844254|155589Y XP YEY XEXP YXfydyydy=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 16 重点题型重点题型四四 关于二维正态分布关于二维正态分布【例【例 20】设(,)X Y服从二维正态分布，概率密度为2222 1021(,)210 xyf x ye+=，则P YX=【详解【详解】方法一：2221(,)2xyy xy xP YXf x y dxdyedxdy+=22252422200041111|22222rrrrderdrede+=;方法二：由题设知(,)(0,0;1,1;0)X YN,(0,2)YXN,故 102P YXP YX=;方法三:由对称性P YXP XY=，1P YXP XY+=，故12P YX=.【例【例 21】设随机变量1(,)0,0;1,4;2X YN，()x为标准正态分布函数(1)0.8413)=，2UXY=，2VXY=+.（I）求(,)U V的联合概率密度；（II）求22|21P YXYXY+=.【详【详解解】（I）由于1(,)0,0;1,4;2X YN，故(0,4)UN，(0,12)VN.又2121UXVY=，且214021=，故(,)U V服从二维正态分布.由(,)(2,2)40Cov U VCovXYXYDXDY=+=得0UV=，从而U与V相互独立，故(,)U V的联合概率密度为 22221832 42 12111(,)()()2 22 2 38 3vuvuUVf u vfu fveee+=（II）22|2102|102 01(1)(0)0.34132P YXYXYPUVUUP+=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 17 重点题型重点题型五五 求求二维二维连续连续型随机变量型随机变量函数函数的的分分布布【例【例 22】设随机变量1(1)XE，2(1)XE，令12min,XXX=，12max,YXX=，（）求(,)X Y的联合概率密度函数；（）求ZYX=的概率密度函数.【详解】【详解】（）当0yx时，(,),F x yP Xx YyP YyP Xx Yy=121212max,min,max,PXXyPXXxXXy=1212,P Xy XyP xXy xXy 1212,P Xy P XyP xXy xXy=22(1)()yxyeee=21 22yxx yeee=+，其它时，(,)0F x y=，故22,0(,)(,)0,x yeyxF x yf x yx y=其它.（）方法一：由于0ZYX=，当0z 时，()0ZFz=；当0z 时，0()21x zx yzZxFzP YXzdxedye+=，故,0()()0,0zZZezfzFzz=.方法二：由卷积公式()(),Zfzf x xz dx+=+()222,02,0,0,0,0,x zx zexzxexzf x xz+=其他其他；当0z 时，()0Zfz=；当0z 时，20()2x zzZfzedxe+=；故,0()0,0zZezfzz=【例例 23】设随机变量X与Y相互独立同分布，概率密度为()f x，分布函数为()F x.若()UF X=，()VF Y=，2ZUV=+.（I）求(,)U V的联合概率密度；（II）求Z的概率密度()Zfz.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 18【详解】【详解】（I）U的分布函数为()()UF uP UuP F Xu=当0u 时，()0UFu=；当1u 时，()1UFu=；当01u时，11()()()UF uPF FuuXFu=故U的概率密度为1,01()0,Uufu=其他.同理V的概率密度为1,01()0,Vvfv=其他.由X与Y相互独立，知U与V相互独立，故(,)U V的联合概率密度为 1,01,01(,)()()0,UVuvf u vfu fv=其他（II）【方法一】【方法一】（分布函数（分布函数法法）Z的分布函数为 2()2(,)Zuv zFzP ZzP UVzf u v dudv+=+=当0z 时，()0ZFz=；当3z 时，()1ZFz=.当01z时，2200()4z uzZzFzdudv=当12z时，12001()24z uZzFzdudv=当23z时，21122(3)()114z uZzzFzdudv=故Z的概率密度为 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 19 ,0121 ,12()23,232 0,Zzzzfzzz=其他【方方法二】（卷积公法二】（卷积公式式）由卷积公式得()(2,)Zfzf zv v dv+=，其中1,221,01(2,)0,vzvvf zv v+=其他.当01z时，20()2zZzfzdv=当12z时，2121()2zzZfzdv=当23z时，1123()2zZzfzdv=故Z的概率密度为 ,0121 ,12()23,232 0,Zzzzfzzz=其他【评评注注】二维连续型随机变量线性组合的卷积公式：设ZaXbY=+，则 11(),Zzaxzbyfzfxdxfy dybbaa+=【例例 24】（二维连续型随机变量（二维连续型随机变量）设随机变量(,)X Y的联合概率密度为 3,0,01(,)0,yxyyf x y=其他，ZXY=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 20（I）求Z的概率密度()Zfz；（II）求(,)Cov X Z.【详解】【详解】（I）【方法一】【方法一】（分布函数（分布函数法法）Z的分布函数为()(,)Zxy zFzP ZzP XYzf x y dxdy=当0z时，()0ZFz=；当1z 时，()1ZFz=；当01z时，31122()1 31 3()32yzZzzyFzydydxyz dyzz=故Z的概率密度为3(1),01()0,Zzzfz=其他.【方方法二】（卷积公法二】（卷积公式式）由卷积公式得1(),Zzfzfy dyyy+=，其中23,0,01,0,yzyyzfyy=其他，故Z的概率密度为 1133(1),01()0,zZydyzzyfz=其他（II）由 11222250001()()(,)36yE XZE X Yx yf x y dxdyy dyx dxy dy+=11300033(,)328yEXxf x y dxdyydyxdxy dy+=112400033()(,)3210yEZE XYxyf x y dxdyy dyxdxy dy+=或 103()3(1)10ZEZzfz dzzz dz+=得 13(,)()240Cov X ZE XZEX EZ=【评评注注】二维连续型随机变量积、商的卷积公式：2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 21（1）设ZXY=，则 11(),Zzzfzfxdxfy dyxxyy+=（2）设YZX=，则()(,)Zfzx f x xz dx+=；设XZY=，则()(,)Zfzy f yz y dy+=.【例【例 25】设随机变量(0,1)iXN，1,2,3,4i=且1234,XXXX相互独立，令，2212YXX=+，22221234ZXXXX=+，（I）求Y的概率密度()Yfy；（II）求Z的概率密度()Zfz.【详解】【详解】（I）因1X与2X独立且同服从标准正态分布(0,1)N，故12(,)XX的联合分布密度为 22122121(,)2xxf x xe+=，当0y 时，()0YFy=；当0y 时，2212()YFyP YyP XXy=+2212221221212xxxxyedx dx+=222200112ryydredre=Y的分布函数为21,0()0,0yYeyFyy=；于是Y的概率密度为21,0()2 0,0yYeyfyy=.（II）由于1234,XXXX相互独立同分布，故2212XX+与2234XX+也相互独立同分布，记2212YXX=+，2234UXX=+，则随机变量Y与U相互独立都服从参数为1 2的指数分布，根据独立随机变量之和的卷积公式，ZYU=+的概率密度为 0()(,)()()zZUYfzf u zu dufu fzu du+=，当0z 时，()0Zfz=；当0z 时，222011()224uz uzzZzfzeedue=，于是Z的概率密度2,0()4 0,0zZzezfzz=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 22 重点题型重点题型七七 求求一离散一一离散一连续连续随机变量随机变量函数函数的的分分布布【例例 26】设随机变量X与Y相互独立，(1)XE，11,2YB.若ZXY=.（I）求Z的概率密度()Zfz；（II）求E Z，D Z.【详解【详解】（I）Z的分布函数为 (),01,11 01112ZFzP ZzP XYzP Xz YP XzYP Xz P YP XzP YP XzP Xz=+=+=+当1z 时，()0ZFz=；当10z 时，111()1(1)22zZFzP Xze=+=当0z 时，1111()(11)(2)22zzzzZFzeeee =+=故Z的概率密度为 11 0,11(),1021(),02zZzzzfzezeez =+（II）由 01110010011()()2211111111 (1)2222222zzzZzzzE Zz fz dzzedzz eedzzeze dzze dzeeeee+=+=+=+=+022212110022210011()()221111113 (22)122222zzzZzzzEZz fz dzz edzzeedzzzez e dzz e dzeeee+=+=+=+=或 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 23 22222113()()()11422EZE XYD XYE XYDXDYEXEY=+=+=+=得 222511()4D ZEZE Zee=【例【例 27】设随机变量12,X Y Y相互独立，11,2XB，12,Y Y均服从区间0,1上的均匀分布.若 1XYU=，2(1)VX Y=，ZUV=+.（I）求Z的概率密度()Zfz；（II）求U与V的相关系数.UV【详解】【详解】（I）Z的分布函数为 12212121()(1),0,1011 2ZFzP ZzP UVzP XYX YzP Yz XP Yz XP Yz P XP Yz P XP YzP Yz=+=+=+=+=+当0z时，()0ZFz=；当1z 时，()1ZFz=；当01z时，()ZFzz=，故Z的概率密度为1,01()0,Zzfz=其他.（II）由1 2(1)0UVXX YY=，得 1212(,)()()(1)11111 (1)1222216Cov U VE UVEU EVE XY EX YEX EY EXEY=又 222222111112222()()()()()1111115 421222248DUD XYE XYE XYEXEYEXEY=+=同理548DV=，故U与V的相关系数为(,)35UVCov U VDUDV=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 24 第第四四章章 数字特征数字特征 重点题型重点题型一一 期望与期望与方差的计算方差的计算【例【例 28】将 3 只球放入 4 只盒子中去，设每只球落入各个盒子都是等可能的，则有球的盒子数X的数学期望EX=.【详解】【详解】设1,0,iiXi=第 只盒子有球第 只盒子无球，1,2,3,4i=，则330133144iX，41iiXX=，故3344 14iEXEX=.【例【例 29】设每次试验的成功率为(01)pp，不断进行独立重复试验，直到首次成功为止，令随机变量1,1,Y=试验进行的次数为奇数试验进行的次数为偶数，则Y的数学期望为 .【详解】【详解】设X表示取得首次成功所需进行的试验次数，则X服从几何分布，即 1nP Xnpq=，1,2,n=，其中1qp=，而22211111nnpP YP Xpqqq=+取奇数，1111qP YP Yq=+，故11112qpEYP YP Yqp=+.【例【例 30】设连续型随机变量X的分布函数为()F x，()YF X=，则2()E Y为【】（A）13 （B）12 （C）112 （D）19【详解】【详解】选（A），方法一：1 0,0()()(),01 1,1YyFyP YyP F XyP XFyyy=0,0,011,1yyyy=，从而0,1YU，222111()1223EYDYEY=+=+=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 25 方法二：设()XXfx，则2211()()()33XEYFx fx dxF x+=.【例【例 31】设连续型随机变量X的概率密度函数为2141(),xxf xe+=则27(9)2EXX=【详解【详解一一】2222122241()222227771(9)9()92221171171299()()22221977111199942422xxxttEXXxx f x dxxxedxtxxx edxttedttttedttt+=+=+=+22222222211111 192291912222919152222ttttttttedtt edttedtedttdetdeedtedt+=+=+=+=+=+=【详解【详解二二】22121124211(),122xxxf xee+=1 1,2 2XN()()222777117(9)9995224244EXXEXEXDXEX=+=+=【例【例 32】设随机变量X与Y相互独立同正态分布2(0,)N，则max,EXY=.【详解】【详解】由于X和Y独立同分布，X和Y的联合概率密度222221(,)2xyf x ye+=222222222222220022220022200max,max,(,)4max,(,)148244222xyxyyyxyyyytEXYxyf x y dxdyx y f x y dxdydyxedydyxedxxdyededyedye+=2td=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 26【例【例 33】(1)设()XP，则3EX=；(2)设()XG p，则3EX=.【详解】【详解】(1)()()()()()()()3222332323233(1)(2)32(1)(2)32(1)(2)3()32!33233(3)!(3)!kkkkkkE XE X XXXXE X XXE XE Xek kkD XEXE Xkeekk=+=+=+=+=+=+（2）()()()()()()()322211222122242321(1)(2)32(1)(2)32(1)(2)(1)3()32111(1)332111661661(1)332kkkkkkE XE X XXXXE X XXE XE Xk kkppD XEXE Xppppppppppppppppppp=+=+=+=+=+=+=+【例【例 34】设随机落在曲线22yxx=与x轴所围闭区域内的点的分布是均匀分布，以(,)X Y表示落点的坐标.（）求落点到y轴的距离的概率密度和分布函数；（）求落点到坐标原点距离的平方的数学期望.【详解】【详解】（）设曲线22yxx=与x轴所围闭区域为D，则D的面积为2204(2)3DSxx dx=.因为(,)X Y服从二维均匀分布，故其联合概率密度为3,(,)(,)40,x yDf x y=其他，由于区域D在第一象限内，故落点