聚焦解三角形中的“误区警示”.pdf

肖 萌 下面聚焦解三角形中的误区,并给出剖析和警示,希望对同学们的学习有所帮助。误区1:三角形中忽视角的取值范围例1 在A B C中,若a2b2=t a nAt a nB,则A B C的形状一定是()。A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形错解:由正弦定理得s i n2As i n2B=t a nAt a nB,所以s i n2As i n2B=s i nAc o sAc o sBs i nB。因 为 在A B C中s i nA0,s i nB0,所 以s i nAc o sA=s i nBc o sB,即s i n2A=s i n2B,所以2A=2B,即A=B,故A B C是等腰三角形。应选B。剖析:由s i n 2A=s i n 2B,可得2A=2B,忽视了三角形中角的取值范围为(0,)和三角函数的 性 质。由 正 弦 定 理 得s i n2As i n2B=s i nAc o sAc o sBs i nB,所 以s i nAc o sA=s i nBc o sB,即s i n 2A=s i n 2B。所以2A=2k+2B(kZ)或2A=2k+-2B(kZ)。因为0A,0B,所以0 2A 2,0 2B 2。由正弦函数在(0,2)上的性质知,2A=2B或2A=-2B,所以A=B或A=2-B。故A B C为等腰三角形或直角三角形。应选D。警示:在A B C中,A,B,C(0,),且A+B+C=,合理挖掘这些隐含条件,可以避免出错。误区2:忽视正弦定理变形式的应用例2 在A B C中,A=6 0,b=1,SA B C=3,求a+b+cs i nA+s i nB+s i nC的值。错解:因为A=6 0,b=1,SA B C=3,又SA B C=12b cs i nA,所以3=12cs i n6 0,解得c=4。由余弦定理得a=b2+c2-2b cc o sA=1+1 6-8 c o s 6 0=1 3。由正弦定理得s i nC=63 9,s i nB=32 3 9。所以a+b+cs i nA+s i nB+s i nC=1 3+1+432+32 3 9+63 9=5+1 332+1 52 3 9。剖析:上述解法没有正确应用正弦定理的变形式a+b+cs i nA+s i nB+s i nC=2R。由A=6 0,b=1,SA B C=3,可得c=4,a=1 3。由正弦定理得2R=as i nA=1 3s i n 6 0=2 3 93,所以a+b+cs i nA+s i nB+s i nC=2R=2 3 93。警 示:在A B C中,as i nA=bs i nB=cs i nC=2R,揭示了边与边所对角的正弦值的比值等于其三角形外接圆的直径。利用比例性质可得其变形式为a+b+cs i nA+s i nB+s i nC=2R。利用正弦定理及变形式,可实现边角互化和简化求解三角形问题。误区3:三 角 形A B C中 忽 视A+B+C=的隐含条件例3 在A B C中,已 知s i nA=35,c o sB=51 3,求c o sC的值。错解:在A B C中,由c o sB=51 3,可 得03 易错题归类剖析 高一数学 2 0 2 4年3月s i nB=1 21 3。因为s i nA=35,所以c o sA=45。故c o sC=c o s-(A+B)=-c o s(A+B)=-c o sAc o sB+s i nAs i nB=1 66 5或5 66 5。剖析:上述错解忽视了“A+B+C=”这一隐含条件。利用同角关系求出c o sA=45,需结合A+B+C=缩小角的范围。在A B C中,由c o sB=51 3,可 得s i nB=1 21 3,且B为锐角。因为51 312,所 以3B2。因 为s i nA=35且123532,所以6A3或2 3A5 6。又A+B+C=,所以6A3,所以c o sA=45。故c o sC=c o s-(A+B)=-c o s(A+B)=-c o sAc o sB+s i nAs i nB=1 66 5。警示:三角形中的求角问题,应把握其隐含条件(如内角之和为1 8 0,大边对大角等)和函数值对角的限制,要尽量缩小角的范围,只有这样才能避免多解和漏解。误区4:忽视题设条件中角的制约关系例4 在A B C中,3 s i nA+4 c o sB=6,3 c o sA+4 s i nB=1,则 角C的 大 小为()。A.6 B.5 6C.6或5 6 D.3或2 3错解:由3 s i nA+4 c o sB=6,3 c o sA+4 s i nB=1,两式平方相加得s i n(A+B)=12,所以s i nC=12,所以C=6或C=5 6。应选C。剖析:上 述 错 解 忽 视 等 式3 c o sA+4 s i nB=1对c o sA的限制,即忽视隐含条件c o sA 0,可得c o sA13。因为133,所以C5 6,故C=6。应选A。警示:三角形中常隐含角与角之间的制约关系,如题中条件c o sA13就比较隐蔽,不易发现,容易忽视。误区5:忽视三角形中正弦函数的单调性例5 在A B C中,B=3 0,A B=2 3,A C=2,求A B C的面积。错解:由 正 弦 定 理 知A Bs i nC=A Cs i nB,即2 3s i nC=2s i n 3 0,所 以s i nC=32,所 以C=6 0,则A=9 0,所以S=12A BA C=23。剖析:正弦函数在区间(0,)内不是单调函数。由s i nC=32,可 得C=6 0 或C=1 2 0。上述解法漏掉了C=1 2 0。根据正弦定理知A Bs i nC=A Cs i nB,即2 3s i nC=2s i n 3 0,所以s i nC=32,所以C=6 0 或C=1 2 0,所以A=3 0 或A=9 0。故A B C的面积S=12 2 3 2 s i n3 0 =3或S=12 2 3 2=2 3。警示:已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角,则解的情况可能是无解,一解或两解,这时要依据三角形中大边对大角进行适当的取舍。作者单位:山东省郓城县实验中学(责任编辑 郭正华)13易错题归类剖析 高一数学 2 0 2 4年3月