精瞄问题设计,靶向素养提升——以“角的平分线的性质”的问题链教学为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 9 月（中旬）教学实践27投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 9 月（中旬）图4OBDCPAFE追问：如果只用无刻度直尺和圆规，如何作出这个角的平分线？生6：如图5所示，作OC=OD，OF=OE，且C，F两点均在OA上，D，E两点均在OB上，连接CE，DF交于点P，作射线OP，则OP即为所求.图5OBDCPAFE生7：如图6所示，作OC=OD，且点C在OA上，点D在OB上，任作CE交OB于点E，作蚁ODF=蚁OCE交OA于点F，CE和DF交于点P，作射线OP，则OP即为所求.图6OBDCPAFE生8：我是逆向思考的，我先画出角的平分线，然后研究角平分线带来的结论，想到了一种作法.如图7所示，作OC=OD，且点C在OA上，点D在OB上，再分别以C，D为圆心，大于12CD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线OP，则OP即为所求.图7OBDCPA生9：我先画出角的平分线和OB边的一条平行线，然后就有了灵感.如 图 8所 示，在 OA 上 取 点 C，作蚁ACD=蚁AOB（两角在OA同侧），作CO=CP交CD于点P，作射线OP，则OP即为所求.图8OBE2CPAD教学说明 本环节约10分钟袁学生主动参与活动袁先自主思考袁再小组讨论袁教师则巡视并指导尧倾听并启发袁最后学生踊跃展示.3.行探索之途袁贯通一条线问题3：在蚁AOB的平分线上任取一点P，分别作点P到OA，OB的垂线段PM，PN，你有什么发现？学生作图后一致认为PM=PN.追问：能证明你的发现吗？生10：我是用刻度尺度量的.如图9所示，度量可知P1M1=P1N1，P2M2=P2N2，P3M3=P3N3.图9OBP2M1AM2M3N1P3P1N2N3生11：我是用翻折法说理的.把蚁AOB沿着它的角平分线翻折，角的两边能够完全重合（在同一条直线上），依据“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，可得PM=PN.生12：我是用全等法证明的.如图10所示，可由“AAS”证得吟POM艺吟PON，于是得到PM=PN.图10OBNMPA学生探究后得出角的平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”.问题4：在角的内部找点，使得该点到角两边的距离相等（尽可能多找一些点）.追问：类比前面的探究，你能提出什么问题？你能证明吗？学生多找一些点后自然而然提出问题“证明这样的点都在角的平分线上”，然后进入分析问题和解决问题的过程中.学生把习得的基本活动经验付诸实践，呈现了量角器度量、翻折法说理和全等法证明（HL）3种方法.学生在总结结论时，对“角的内部”进行了思辨，直到一位学生举出反例才使得所有同学平息争论，最后学生一致得出角的平分线的性质定理的逆定理“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”.教学说明 本环节约20分钟袁学生主动参与活动袁在探索中发现袁然后举手抢答.证明时袁学生先自主思考袁再小组讨论袁 最后争相展示.教师组织学生展示并相互评价尧激烈辩论.4.以应用为标袁联结知识网问题5：如图11所示，吟ABC的角平分线BM和CN交于点P.你能得出哪些结论？图11ACPBNM学生得出多种不同类型的结论.如蚁BPC=90毅+12蚁A；点P到三角形三边的距离相等；点P在蚁BAC的平分线上；三角形的三条角平分线交于一点.教学说明 本环节约10分钟袁学生主动参与活动袁 自主思考后举手回答袁教师倾听并启发袁规范其说理过程袁板书关键证明步骤.5.借知识输出袁建筑素养域问题6：你学到了什么？（知识、方法和思想等）学生积极分享学到的知识和独特的领悟.有学生总结出几何定理（下转第 43 页）教学实践28投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 9 月（中旬）教研在线43