2015年数学（二）真题解析.pdf

版权所有版权所有翻印必究翻印必究1中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-96620152015 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题数学（二）试题一、一、选择题：选择题：1-8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分分1、下列反常积分收敛的是（）21()Adxx2ln()xBdxx21()lnCdxxx2()xxDdxe【答案【答案】：D D【解析【解析】：22211():limlim2lim22 2NNNNNAdxdxxNxx 222222lnln111():limlimlnlimlnln2222NNNNNxxBdxdxxNxx 22211():limlim ln lnlim ln lnln ln2lnlnNNNNNCdxdxxNxxxx 2222222221121():limlimlimNNxxNxxNNNNNxNDdxxdexee dxeeeeeee 2、函数 20sinlim 1xtttfxx在,内（）()A连续()B有可去间断点()C有跳跃间断点()D有无穷间断点【答案【答案】：B B【解析【解析】：22sinsin00sinsinlim 1=lim 1xxt xttxtxttttfxexx但是函数 fx在0 x 处没有定义，而有上述可知 fx在0 x 处的极限是存在的，所以是可去间断点，答案选 B3、设函数 1cos,00,00,0 xxfxxx，若 fx在0 x处连续，则（）()1A()01B()2C()02D2中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究【答案【答案】：A A【解析【解析】：111110000011110,cossincossin0,0010limlimlimcos000limlim0.0 xxxxxxfxxxxxxxxxxxfxfxffxfxxxxfxffxfxx由于 fx在0 x处连续，所以我们有 00limlim000 xxfxfxff所以我们有10,10.又因为0,0.所以我们有1.答案为 A4、设函数 f x在,连续，其2阶导函数 fx的图形如右图所示，则曲线 yf x的拐点个数为（）()0A()1B()2C()3D【答案【答案】：C C【解析【解析】：拐点是连续函数凹凸性的分界点，而由于函数二阶可导的（0 点除外），所以可知二阶导数大于 0，函数为凹函数，二阶导数小于 0，函数是凸函数，所以我们只需要从图像上找到在某点两端二阶导数异号就可以了。显然这样的点共有两个，有很多同学忽略了原点，这是不对的。所以答案为 C。5、设函数,f u v满足22,yfxyxyx，则11uvfu与11uvfv依次是（）1(),02A1()0,2B1(),02C1()0,2D【答案【答案】：D D【解析【解析】：版权所有版权所有翻印必究翻印必究3中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966222211111,1,110,0.1111111,1.2uvuvuuxuuvvf u vvxyyuvxvff uufvfuvvyvvvvv 6、设D是第一象限中的曲线21,41xyxy与直线,3yx yx围成的平面区域，函数,f x y在D上连续，则,Df x y dxdy（）13sin2142sin2()cos,sinAdf rrrdr1sin23142sin2()cos,sinBdf rrrdr13sin2142sin2()cos,sinCdf rrdr1sin23142sin2()cos,sinDdf rrdr【答案【答案】：B B3yxyx【解析【解析】：先做出积分图像4121xyxy可知的取值范围为43；r的取值范围为112sin2sin2r；另外需要注意极坐标和直角坐标之间的变换公式.dxdyrd dr答案是 B。7、设矩阵21111214aaA，21bdd，若集合1,2，则线性方程组xbA有无穷多个解的充分必要条件为（）4中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究(),A ad(),B ad(),C ad(),D ad【答案【答案】：D D【解析【解析】：有无穷多解，只需要系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且都小于 3.下对增广矩阵进行初等行变换。2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A badadadaadd，由()(,)3r Ar A b，故1a 或2a，同时1d 或2d。答案选（D）8、设二次型133,fx xx在正交变换xyP下的标准形为2221232yyy，其中123,e e eP，若132,ee eQ，则133,fx xx在正交变换xyQ下的标准形为（）222123()2Ayyy222123()2Byyy222123()2Cyyy222123()2Dyyy【答案【答案】：A A【解析【解析】：由题设可知222123()2TTTfx AxyP AP yyyy.且200010001TP AP.100001010QPPB200()010001TTTQ AQBP AP B所以222123()2TTTfx AxyQ AQ yyyy。答案选（A）二、二、填空题（本题共填空题（本题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2424 分分.把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上）9、设3arctan3xtytt，则221td ydx【答案【答案】：4848【解析【解析】：版权所有版权所有翻印必究翻印必究5中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966 22222222222123 13 1112 112148111tttd ydddtttdxdxdtdxdty tdytdxx ttdydydxdtydxx10、函数21ln22nn n2()2xf xx在0 x 处的n阶导数()(0)nf【答案【答案】：21 ln2nn n【解析【解析】：1220212222200()2222221(0)222ln221 ln22nnnnnxxxxnnnnnnnxxnxxfxxCxCxCn nfCn n11、设函数()f x连续，20()()xxxf t dt，若(1)1，(1)5，则(1)f【答案【答案】：2【解析【解析】：22210002010(1)()1()()()()()2(1)()1 2512xxxf t dtxxf t dtxf t dtxf t dtxf xxf t dtff12、设函数()yy x是微分方程 20yyy的解，且在0 x 处()y x取得极值3，则()y x【答案【答案】：22xxee6中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究【解析【解析】：先求解特征方程220,解得122,1.所以原方程的通解为212xxyCeC e由题设可知 03,00.yy代入解得22xxyee13、若函数(,)zz x y由方程231xyzexyz确定，则(0,0)dz【答案【答案】：123dxdy【解析【解析】：求全微分，我们先求出偏导数，这是隐函数，直接在方程两端对 x，y 求偏导数。0000232311 30,.32230,.3xyxyxyzxyzzzzeyzxyxxxzzzexzxyyyy 则(0,0)123dzdxdy 14、设3阶矩阵A的特征值为22,2,1,BAAE，其中E为3阶单位矩阵，则行列式B【答案【答案】：21.【解析【解析】：由题设可知矩阵2A的特征值为4,4,1.所以矩阵B的特征值为3,7,1.则3 7 121.B 三、解答题三、解答题：15-23 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤.15、设函数3()ln(1)sin,()f xxaxbxx g xkx，若()f x与()g x在0 x 是等价无穷小，求,a b k值【答案【答案】：111,23abk 【解析【解析】：使用 Taylor 公式。版权所有版权所有翻印必究翻印必究7中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-9662333311ln 1;231sin.6xxxxo xxxxo x 300ln 1sin1limlimxxf xxaxbxxg xkx 2333330236limxxxxxa xo xbx xo xkx 2343301236limxaaba xbxxxo xkx所以10,0,123aaabk111,23abk 16、设0A，D是由曲线段sin(0)2yAxx及直线0,2yx所围成的平面区域，12,V V分别表示D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积，若12VV,求A的值【答案【答案】：8.A【解析【解析】：2222102220sin.4arcsin2.28.AAVAxdxyVAdyAAA17、已知函数(,)f x y满足(,)2(1),(,0)(1)xxxyxfx yyefxxe，2(0,)2fyyy，求(,)f x y的极值【答案【答案】：极小值0,11f【解析【解析】：8中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料版权所有 翻印必究先求出,.f x y对函数(,)xyfx y两端对y求不定积分，可得 21(,)2.xxfx yyy ex由于(,0)(1)xxfxxe，所以我们有 21(1),2(1)xxxxxxefx yyy exe再对函数(,)xfx y两端对x求不定积分，可得 22(,)2.xxf x yyy exey由于2(0,)2.fyyy，所以我们有 220,2xxyf x yyy exe下求(,)f x y的极值。2,2(1)0,210 xxxxyfx yyy exefx yye 解得0,1xy，而0,11,0,10,0,12.xxxyyyAfBfCf由于20,0,ACBA所以取得极小值0,11f 18、计算二重积分()Dx xy dxdy，其中222(,)2,Dx y xyyx【答案【答案】：245【解析【解析】：先做出积分区域（如右图）。由于积分区域关于 y 轴对称，所以又对称性可知。22122202()=.45xxDDx xy dxdyx dxdydxx dy19、已知函数 212111xxfxt dttdt，求()f x零点的个数【答案【答案】：2【解析【解析】：先求函数的单调区间。22121.fxxxx 可知()f x在1,2上单调递减，在1,2上单调递增。下判断函数在 1/2 处的函数值以及在正无穷，负无穷处函数的趋势。版权所有版权所有翻印必究翻印必究9中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-9661124112112222111112=1210.ft dttdtt dttt dt 2221211212112211limlim110.limlim11lim11lim2110 xxxxxxxxxxxxxxfxt dttdtfxt dttdttdtt dttt dtt dt由零点存在定理可知函数存在两个零点。20、已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为 120的物体在 20恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至 30，若要将物体的温度继续降至 21，还需要冷却多长时间？【答案】【答案】30min【解析】【解析】解：设t时刻，物体的温度为 f t，比例系数为k，由题设可知 20ftkf t，解 得 20ktf tce，由 题 设 可 知 初 始 条 件 为 0120,3030ff，代 入 可 得ln10100,30ck，则 ln103020 100tf te，故ln10302120 100te，解得60t，故还需30min。21、已知函数()f x在区间,)a 上具有2阶导数，()0,()0,0f afxfx，设ba，曲线*()yf x在点(,()b f b处的切线与x轴的交点是0(,0)x，证明：0axb【答案【答案】：【解析【解析】：证明：切线方程为()()()yfbxbf b=-+与x轴的交点为()(),0f bbfb-，则有()()0f bxbfb=-由于()0fx，可知()()0f bf a=，故()()f bbbfb-，由于()0fb，故不等式可化为()()()bfbf bafb-，则令()()()()f xxfxf xafx=-，()0f a=。()()()0fxxa fx=-，可知当xa时，()0f x。故()()()0 xfxf xafx-，即()()f bbafb-证毕。22、设矩阵101101aAaa，且30A（I）求a的值（II）若矩阵X满足22XXAAXAXAE，其中E为 3 阶单位矩阵，求X【答案【答案】（）0a；（）110111011X.【解析】【解析】解：（）由题设可知A的特征根为 0，则 30tr Aa，故0a。（）由 题 设 可 知，222,X EAAX EAEXAXEAE，则112XEAEA,即110111011X.23、设矩阵02313312 aA相似于矩阵12000031bB（1）求,a b的值；（2）求可逆矩阵P，使-1P AP为对角矩阵.【答案【答案】（）4,5ab；（）231101011P.【解析】【解析】解：（）由AB有 tr Atr B，故1ab，又由AB有23ab，解得版权所有版权所有翻印必究翻印必究11中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-9664,5ab。（）先求A的特征根，0EA，得1231,5，再求A的特征向量，当121时，0EA X解得122,1,0,3,0,1TTxx，当35时，50EA X解 得，31,1,1Tx ，令123231,101011Px x x，则1100010005P AP.