22考研数学强化521（作业20）（答案详解)考研资料.pdf

2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 52120 第 8 章 无穷级数 8.1 常常数项数项级数审敛级数审敛【173】下列级数收敛的是（）.（A）321lnnn=（B）1e32nnnn=（C）1113sin3nnnn=（D）2321334nnnn=+解析：（A）3133lnlnnnn=，而23nn=发散，故321lnnn=发散；（B）()eee1e32332213133nnnnnnnnnn=，而1e3nn=收敛，故1e32nnnn=收敛；（C）13111111lim 3sinlim 3lim31e03333nnnnnnnnnnnnn=。故1113sin3nnnn=发散；（D）()2323134nnnnn+，故2321334nnnn=+发散.【174】设有两个数列,nnab，若lim0nna=，则（A）当1nnb=收敛时，1nnna b=收敛.（B）当1nnb=发散时，1nnna b=发散 （C）当1nnb=收敛时，221nnna b=收敛 （D）当1nnb=发散时，221nnna b=发散 解析：因为lim0nna=，所以当n 时，有1na 故当n 时，有22nnna bb，又因为1nnb=收敛，根据比较判别法可知221nnna b=收敛故选 C【175】设 na，nb为 满 足()ee1,2,nnabnan=+=的 两 个 实 数 列，已 知()01,2,nan=，且1nna=收敛，证明1nnnba=也收敛。证明证明：由于1nna=收敛，所以lim0nna=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 因0na，且()()2ln ee12nnaannnnabaan=，故2nnnbaa，于是级数1nnnba=收敛.【176】求2lim!nnnn.解析：本题易判定21!nnnn=（正项级数），由于()()()112212211!limlimlim1!nnnnnnnnnnnanannn+=+211lim 11nnnn=+e 001=。故1nna=收敛，由收敛级数的性质知2lim0!nnnn=.小课堂：本题较为巧妙，属于思维方式的拓展，旨在能给大家提供一种新的命题角度！【177】设0na，1p，且1lime11pnnnna=，若1nna=收敛，求p的取值范围为 .解析解析：()11e1nnn，所以 111lime1limlim=11ppnnnnnnnpananan=.根据比较判别法的极限形式知，由于1nna=收敛，则111pnn=收敛，故1 1p，即2p.【178】判别级数()()11131nnn+=是绝对收敛、条件收敛还是发散？解析解析：令31nna=，则0na，且()ln3ln31e11nnannn=，且11nn=发散，所以1ln3nn=发散，即()()11131nnn+=发散；又 na单调减少且()0nan，故()()11131nnn+=收敛。因此()()11131nnn+=条件收敛.8.2 幂级数基幂级数基本本概念概念【179】若1nnna x=在3x=处发散，则112nnnax=在3x=处（）。（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）无法判断 解析解析：由于1nnna x=在3x=处发散，则1nnna x=在()(),33,+均发散，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 故112nnnax=在57,22+均发散，因此112nnnax=在3x=处发散，应选（C）.【180】幂级数()111nnnxn=的收敛域为 .解析解析：令()11nnan=，则()()1+1111limlim111nnnnnnnaan+=故1R=，可知收敛区间为()1,1.又 因 为 当1x=时，级 数 为()111nnn=，由 于()()111nnnn，所 以()111nnn=发散，即1x=时原级数发散；同时，当1x=时，级数为()()()()2121111211nnnnnnnnn=+=+()222111211nnnnn=+令()21nf nn=，则()()()2221021xfxxx=，故()f x严格递减，因此()f n单减，且()lim0nf n=，所以()2211nnnn=收敛，而2211nn=也收敛，即1x=时级数收敛.综上所述，收敛域为)1,1.【181】求级数()()323118lnnnnnxnnn=+的收敛域。解析解析：令()()()3231 8lnnnnnuxxnnn=+，则()()()()()()()()113313133218lnlimlim81 ln1118nnnnnnnnnnnnnxuxxuxnnnx+=+当381x 时，1122x，故收敛区间为1 1,2 2.当12x=时，原级数为()()3114lnnnnnn=+，根据莱布尼茨判别法可知级数收敛；当12x=时，原级数为()314lnnnnn=+。因为()()334441ln3lnlnnnnnnnnn=+，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 由于21lnnnn=发散，因此()314lnnnnn=+发散。综上得收敛域为1 1,2 2.【182】求幂级数()()1132nnnnxn=+的收敛域 解析：令()()132nnnan=+，则()()()()()()1112321 323limlimlim323213nnnnnnnnnnnnaan+=+，所以幂级数的收敛半径3R=.当3x=时，原幂级数化为()()1332nnnnn=+，由于()()()3132nnnnnn+，11nn=发散，故当 3x=时原幂级数发散；当3x=时，原级数化为()()()()()()11312113232nnnnnnnnnnnnn=+。根据莱布尼茨判别法，()111nnn=级数收敛；令()()232nnnnbn=+，由于0nb，且()()()()()()11112123223limlimlim21321232323nnnnnnnnnnnnnnbbn+=+。由比值判别法知1nnb=收敛，故收敛域为)3,3.【183】证明下列结论：（1）给定数列 na，则limnna存在的充要条件是级数()11nnnaa=收敛；（2）设1111ln23nxnn=+，证明极限limnnx存在.解析解析：（1）()11nnnaa=收敛的充要条件为limnnS存在，且()()()()102110limlim=limnnnnnnnSaaaaaaaa=+其中，limnnS存在的充要条件为limnna存在，即结论成立.（2）考虑级数()12211ln 1nnnnxxnn=+的敛散性.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 22222111111111ln 1222oonnnnnnnnn+=+=+.因此级数()12nnnxx=绝对收敛，故limnnx存在.8.3 幂级数求和与展开幂级数求和与展开【184】求幂级数11nnnxn=+的收敛域与和函数。解析：（收敛域）由题意可知：=1，故收敛半径为R=1,当1x=时级数发散，则收敛域为()1,1.（和函数）()111111nnnnnnnS xxxxnn=+，()00S=当0 x 时，()11011111111=1111nnnnnnS xxxxxnxxn+=+令()11111nnSxxn+=+，()100S=则()110111,111nnnnSxxxxx=故()()()110110ln 11xSxdtSxxt=+=故和函数为()()11ln 1,1001,10,0.xxxS xxxx+=或【185】求()()3011!nnnnxn=+的收敛区间与和函数。解析解析：令()()311!nnnan=+，则()()()3312!limlim1!1nnnnnanann+=+，于是，原级数的收敛区间为(),+.因为()()()()()()233111 111!1!1!1!nnnnnnnnn+=+()()()()111111!1!2!1!n nnnnnn+=+，所以()()()()330111!1!nnnnnnnxxnn=+()()()()()222122!1!nnnnnnxxxnnn=+()()()()202312!nnnnnnxxxxxnnxn=+()2211ee1e122xxxxxxxxx=+一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 6 ()211e10 xxxxx=+.综上所述，和函数()211e1,0,0,0.xxxS xxxx+=【186】求幂级数22044321nnnnxn=+的收敛域及和函数.解析：因为21()lim()nnnuxxux+=，所以当21x 时收敛.当1x=时，222004434432121nnnnnnnxnn=+=+发散，所以收敛域为(1,1).设()222220002124432()(21)212121nnnnnnnnnS xxxnxnnn=+=+，令()2212002()21,(),21nnnnS xnxSxxn=+=+其中，()22+1100()21=nnnnS xnxx=+()22222011=(11)11nnxxxxxxx=+=令21202(),21nnxSxxn+=+则22202()2(11),1nnxSxxxx=所以，()22021dln(11)11xxxSxtxtx+=.因此，当0 x 时，211()ln1xSxxx+=.当0 x=时，12(0)1,(0)2SS=，则(0)3S=.所以222111ln,(1,0)(0,1)()(1)10 xxxS xxxxx+=.【187】求幂级数()()211112nnnxxn=+的和函数()f x及其极值。解析解析：设()()21112nnnxf xn=+，则()()212111nnnxfxxx=+，故()()()()2201d0ln 1012xtf xtfxft=+=+，由于()01f=，则()()()211ln 112f xxx=+.令()0fx=，求得唯一驻点0 x=，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 7 又因为()()22211xfxx=+，()010f=，可见()f x在0 x=处取得极大值，且极大值()01f=.【188】（1）验证函数()()()369313!6!9!3!nxxxxy xxn=+满足微分方程，exyyy+=。（2）利用（1）的结果求幂级数()313!nnxn=的和函数。解析解析（1）因为()()369313!6!9!3!nxxxxy xn=+，()()258312!5!8!31!nxxxxyxn=+，()()47324!7!32!nxxxyxxn=+，则exyyy+=。（2）与exyyy+=对应的齐次微分方程为0yyy+=，其特征方程为210+=，特征值为1,213i22=，因此齐次微分方程的通解为 21233ecossin22xYCxCx=+。设非齐次微分方程的特解为exyA=，将y代入方程exyyy+=得13A=，于是1e3xy=，故方程通解为 212331ecossine223xxyYyCxCx=+=+。当0 x=时，有()()112101,313100,223yCyCC=+=+由此得123C=，20C=，于是幂级数()313!nnxn=的和函数为()2231ecose323xxy xx=+，x+.【189】设na是 曲 线nyx=与()11,2,nyxn+=所 围 区 域 的 面 积，记11nnSa=，2211nnSa=，求1S与2S的值。解析解析：由题意可知：()110dnnnaxxx+=()()1111212nnnn=+，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 8 则()211221nann=+.由于()()21112nannn=+，所以1nna=收敛；由于()212112214nannn=+，而2114nn=收敛，所以级数211nna=收敛.则()()1111limlim12nnnnnakSaSkk=+111111lim233412nnn=+111lim222nn=+，()()()12211112111111112212211nnnnnnnnSannnnnn+=+()01111nnn=+由于()()+101ln 1+1nnnxxn=+，收敛域为(1,1，故()21211111ln2221nnnSnnn=+.【190】设函数()21arctan,0,1,0,xx xf xxx+=将函数()fx展开成x的幂级数，并求级数()21114nnn=的和.解析：当0 x 时，()()210111arctan21nnnxf xxxxxxn+=+=+()()2220121nnnnxxn+=+，11x；当1x=时，()()()22200112121nnnnnnxxnn+=+=+也收敛，故()()()22201,1,1,021nnnnf xxxxxn+=+；由于()()()2121121111111 422121nnnnnxnnxxnnn+=+，其中()()21211011arctan2121nnnnnnxxxnn+=+；()2111arctan21nnnxxxn+=+；一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 9 故()()121112arctanarctan1 424nxnxxxn=+=.【191】设012aaa，为等差数列，()00a.（1）求级数0nnna x=的收敛域；（2）求02nnna=的和.解析：（1）易知等差数列()010naan aa=+，则 ()()()0101010limlim11nnnnan aaaaanaa+=+，级数0nnna x=收敛半径为1；当1x=时，对于()01nnna=，()lim10nnna发散；1x=同理 故级数0nnna x=的收敛域为()1,1；（2）()10101000222nnnnnxxnnnaa xan aax=+，其中00011nnaxax=；()()()()1010102001nnnnaaxaanxaaxxx=；故()1010124222nonnaaaaa=+=.【192】设 na满足条件：()()0123,1,102nnaaan nan=，()S x是幂级数 0nnna x=的和函数.（I）证明()()=0SxS x；（II）求()S x的表达式.解析：（I）()0nnnS xa x=，则()11nnnSxna x=()()2222201nnnnnnnnnSxn na xaxa x=；故，()()0SxS x=得证.（II）特征方程为210=，121,1=，可知通解为()12eexxS xCC=+；又()003Sa=，()101Sa=，于是122,1CC=故表达式为()2eexxS x=+.一笑而过 考研数学