22考研数学强化521（作业15）（答案详解)考研资料.pdf

2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 52115 第 4 章 常微分方程 4.1 线性微分方程线性微分方程通解通解结构结构【111】设二阶常系数线性非齐次方程()2exyaybycxd+=+有特解()222e1 exxyx=+，求该微分方程的通解，并求出常数a，b，c，d.解析解析：由题意可知通解为：22212xxxyC eC ex e=+=+，其中1,2=为特征值，则特征方程为()()2120320=+=+=，因此，齐次方程为320yyy+=，故3a=，2b=.将()22exy xx=代入可得()232exyyycxd+=+可得()()()2222222e4823e222eexxxxxxxxxcxd+=+。化简得22xcxd+=+，所以2c=，2d=，即有 3a=，2b=，2c=，2d=.【112】求2cosyyxx+=+的通解。解析解析：0yy+=的通解为12cossinYCxCx=+.由于211coscos222yyxxxx+=+=+，（1）设12yyx+=+的特解为1yaxb=+，代入解得112yx=+；（2）设1cos22yyx+=的特解为2cos2sin2yAxBx=+，代入解得21cos26yx=.故原方程的通解为 121211cossincos226yYyyCxCxxx=+=+.【113】具有特解1xye=，22xyxe=，33xye=的三阶线性常系数齐次微分方程是（）.（A）0=+yyyy （B）0=+yyyy（C）06116=+yyyy （D）022=+yyyy 解析：由题意可知：三阶线性常系数齐次方程通解为()123xxyCC x eC e=+可得特征值为1231,1=故特征方程为：()()()32111=0+10+=因此，该微分方程为0=+yyyy，选（B）.4.2 微分方程综合微分方程综合题题 【114】已知曲线()()0,0yf xxy=连续且单调递增，现从其上任意一点A作x轴与y轴的垂线，垂足分别是B和C。若由直线AC，y轴和曲线本身包围的图形的面积等一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 于矩形OBAC的面积的13，求曲线的方程。解析解析：当()f x单调增加时，在曲线上任取点()(),A a f a。由题意得()()()01d3af af xxaf a=，化简得()()03d2af xxaf a=。两边对a求导得()()()322f af aafa=+,化简得2ddfafa=，则()f aC a=，于是所求曲线方程为yCx=（C为任意常数）。【115】设函数()f x在)1,+上连续，若由曲线()yf x=，直线1x=，()1xt t=与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为()()()213V tt f tf=，试求()yf x=所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229xy=的解。解析解析：由题意()()()()221d13tV tfxxt f tf=，即()()()2213d1tfxxt f tf=。两边对t求导，得()()()2232fttf tt ft=+，改写为2232x yyxy=，即 2d32dyyyxxx=。令()yu xx=，则2dd32ddyuuxuuxx=+=，化简整理得()d31duxu ux=。当0,1u 时，()d3d1uxu ux=。积分得()331uCxyxCx y Cu=R。又229xy=，所以1C=。故所求的解为3yxx y=。【116】求一连接()0,0O，()1,1A两点的向上凸的连续曲线，使其上任意一点(),P x y到O的直线OP与该曲线所围区域的面积为3x。解析解析：设曲线方程为()yy x=，则由题意可得()301d2xy xxxxy=+,两边关于x求导，得26xyyx=,此方程的通解为()11dde6 ed6xxxxyCxxx Cx=.由()11y=，得7C=，故所求曲线方程为 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 ()76yxx=.【117】设()f x在(),+上连续，且满足()()()222222242d dxytf txyfxyx yt+=+，求()f x。解析解析：()()()22222222300d dddtxytxyfxyx yr f rr+=()302dtr f rr=。代入原式得()()3404dtf tr f rrt=+。两边求导得()()3344ftt f tt=+，()00f=。故()33444d4d33e4 edee4t dttttttf tttCtC=+=+44411eeetttCC=。又()00f=，所以1C=。故()()41e1xf x=。【118】设函数()f x具有连续的一阶导数，且满足()()()2220dxf xxtfttx=+。求()f x的表达式。解析：()()()22200ddxxf xxfttt fttx=+。两边关于x求导，得()()()()()()2202d2202xfxx fxxfttxx fxx f xfx=+=+。又()00f=，故有()()22fxxf xx=。从而()222 d2 de2 ede2 edx xx xxxf xxxCxxC=+=+222ee1exxxCC=+=+。由()00f=，得1C=，所以()2e1xf x=。【119】设()()()F xf x g x=，其中函数()f x，()g x在(),+内满足以下条件：()()fxg x=，()()gxf x=，且()00f=，()()2exf xg x+=。（1）求()F x所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x的表达式。解析解析：（1）由()()()()()()()22Fxfx g xf x gxgxfx=+=+()()()()22g xf xf x g x=+()24e2xF x=因此()F x满足的一阶微分方程为()()224exFxF x+=.（2）()2d2d224e4 eede4e dxxxxxF xxCxC=+=+2422eeeexxxxCC=+=+()()()0000Ffg=，所以1C=，故()22eexxF x=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 【120】设函数()fx连续，()0f 存在，并对于任意,x yR，()()()()()1 4f xfyf xyf x fy+=，且()102f=，求()fx。解析：令0 xy=则()00f=()()()0limxf xxf xfxx+=()()()()()01 4limxf xfxf xf x fxx+=()()()()2014lim1 4xfxfxxf xfx+=()()()()()200014lim1 4xfxffxxf x fx+=()()()()21401 40fxff x f+=故()()()2014fxffx=+解得()arctan2 f xxC=+当0 x=时，0y=，则0C=故()1tan2f xx=.【121】（数一数二做）设()f xy=是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(),x y处的曲率为211y+，且此曲线上点()0,1处切线方程为1yx=+，求该曲线方程，并求函数()yy x=的极值。解析解析：曲线上凸，故0y；曲率为()232111yyy=+，即211yy=+。令()yp x=，则()ypx=,方程变为 211pp=+，即2dd1pxp=+.积分得1arctan pCx=.又在()0,1处切线方程为1yx=+，故有()01y=，()01y=,代入上式，得14C=，因此tan4yx=.再积分得2ln cos4yxC=+,又()01y=，所以2ln212C=+，故所求曲线方程为 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 ln2lncos142yx=+，3,4 4x。因为cos14x，且当4x=时，cos14x=，所以当4x=时函数取得极大值11ln22y=+。【122】（数一、二）设函数()yf x=由参数方程22,1(),xtttyt=+=所确定，且()2234 1d ydxt=+，其中()t具有二阶导数，曲线()yt=与22132tuyedue=+在1t=处相切，求函数()t.解析：由题意可知：()22tdydxt=+，()()()()()()()()22322221122224 1ttttttd ydxttt+=+又因为()2234 1d ydxt=+，则()()()()()3134 14 1ttttt+=+，整理得()()()()213 1tttt+=+即 ()()()13 11tttt=+令()ut=，则有()13 11uutt=+，故()()()1111113 113dtdtttuet edtCttC+=+=+则 ()()()3211123132CtttC dtttC tC+=+=+由曲线()yt=与22132tuyedue=+在1t=处相切，可得()312e=，()21e=.此时，可确定113Ce=，22C=.因此，()3211322ttttee=+，1t .一笑而过 考研数学