2021研究生考试数学一真题及答案解析(1).pdf

2019考研数学一真题及答案一、选择题，18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，1.当x0时，若x-tanx与x*是同阶无穷小，则k=A.1.B.2C.3.D.4.州，x0，2.设函数f(x)则x=0是f(x)的xInx,x0,A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点。3.设4n是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是B.u,c-)龙三14设函数(x)=立，如果对上半平面（y0)内的任意有向光滑封闭曲线C都有P(xd+Qx,)山=0，那么函数Px)可取为1x2A.y-b3.B.y y3c11D.x-x y5.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若A2+A=2E,且A=4,则二次型xAx的规范形为A.y+B.yi+y-y.C.-yD.-2-y6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程第1页共10页12.设2为曲面r+y+4z2=4(z0)的上侧，则V4-产-42d小=13.设A=（a,2,a)为3阶矩阵.若，a2线性无关，且3=-a+2C2,则线性方程组Ax=0的通解为.14.设随机变量X的概率密度为f(x)=x-2,0 xEX-1=三、解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本题满分10分)设函数y(x)是微分方程y+y=e2满足条件y(O)=0的特解.(1)求y(x):(2)求曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点.16.(本题满分10分)设a,b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向1=-3i-4j的方向导数最大，最大值为10.(1)求a,b:(2)求曲面z=2+ax2+by2(z0)的面积.17.求曲线y=e sinx(x0)与x轴之间图形的面积.18.设a,=r-dk,作0，2（1)证明数列a,单调减少，且a,=”-。n+202(r2,3)(2)求1ima,nan-1.19.设2是锥面x2+(y-22=(1-z)2(0z1)与平面z=0围成的锥体，求2的形第3页共10页心坐标.20.设向量组4=1,2，a,=(13,2),a,=0a,3,为R的一个基，B=1,1在这个基下的坐标为（亿，c,)T(1)求a,bc(2)证明a2,a3,B为R3的一个基，并求a2,4,B到a,a2,4的过度矩阵.-2-21(K1021.已知矩阵A=2x-2与B=0-10相似00-200y(1)求x,y(2)求可可逆矩阵P，,使得PAP=B.22.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为PY=-1=p,PY=1=1-p,(0p1),令Z=XY(1)求z的概率密度.(2)p为何值时，X与Z不相关(3)X与Z是否相互独立？23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为A(x-0)2f(x,o262o2x24,X0是未知参数，A是常数，X,X2Xn来自总体X的简单随机样本。(1)求A:(2)求2的最大似然估计量第4页共10页(2)S=+产V1+(-2x)2+(-2y)2ddr+2s2x2+y-s2=V1+4x2+4y2ddx2+y2s217.解由分部积分可知et=-e-dcos x=-e-*cosx-e-*cosrdr=-e-cosx-e-dsinx=-e-x cosx-e-*sinx+e-sinz,于是1e sin rdr=-e(cosx+sin)+C.因此(2k+2)re sin rdr-】e-sin xdxk=0J2k0J(2k+1)-立(e+）专-k=0k=011em111-e-2=em-1-2=em-1十2418.第6页共10页