2021年全国硕士研究生入学统一考试(数一、二、三)考研资料.pdf

微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 1 绝密启用前 2021 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 （科目代码：301）考试时间：上午 08:30-11:30 考生注意事项 1考生必须严格遵守各项考场规则。（1）考生在考试开考 15 分钟后不得入场。（2）交卷出场时间不得早于考试结束前 30 分钟。（3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。2答题前，应该按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生编号”等信息。3答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。（1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用 2B 铅笔完成，如要改动，必须用橡皮擦干净。（2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答，字迹要清楚。4考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。题型 选择题 填空题 解答题 分值 50 分 30 分 70 分 得分 考生姓名 考生编号 一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 2 一、选择题：110 小题，每小题 5 分，共 50 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上【1】函数1,0()1,0 xexf xxx 在0 x 处（）.（A）连续且取得极大值.（B）连续且取得极小值.（C）可导且导数为零.（D）可导且导数不为零.【2】设函数(,)f x y可微，且2(1,)(1)xf xex x，22(,)2lnf x xxx，则(1,1)df（）.（A）dxdy.（B）dxdy.（C）dy.（D）dy.【3】设函数2sin()1xf xx在0 x 处的3次泰勒多项式为23axbxcx，则（）.（A）71,0,6abc.（B）71,0,6abc.（C）71,1,6abc .（D）71,1,6abc .【4】设函数()f x在区间0,1上连续，则10()f x dx（）.（A）1211lim22nnkkfnn.（B）121 1lim2nnkkfnn.（C）211 1lim2nnkkfnn.（D）212lim2nnkkfn n.【5】二次型222123122331(,)()()()f x xxxxxxxx的正惯性指数和负惯性指数分别为（）.（A）2，0.（B）1，1.（C）2，1.（D）1，2.【6】已知1231130,2,1,112 记11221331122,kll 若123,两两正交，则12,l l依次为（）.（A）5 1,2 2.（B）5 1,2 2.（C）51,22.（D）51,22.【7】设,A B为 n 阶实矩阵，下列不成立的是（）.（A）2()TrrAOAOA A.（B）2()TrrAABAOA.（C）2()TrrABAAOAA.（D）2()TrrAOABAA.一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 3【8】设,A B为随机事件，且0()1P B，下列命题中不成立的是（）.（A）若|P A BP A，则|P A BP A.（B）若|P A BP A，则|P A BP A.（C）若|P A BP A B，则|P A BP A.（D）若|P A ABP A AB，则 P AP B.【9】设 1122,.,nnX YXYXY为来自总体221212,;,;N 的简单随机样本，令121111,nniiiiXX YYXYnn，则（）.（A）是的无偏估计，2212Dn（）.（B）不是的无偏估计，2212Dn（）.（C）是的无偏估计，2212122Dn（）.（D）不是的无偏估计，2212122Dn（）.【10】设1216,.,XXX是来自总体(,4)N的简单随机样本，考虑假设检验问题：0:10,H 1:10,()Hx表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为11WX，其中161116iiXX，则11.5，该检验犯第二类错误的概率为（）.（A）1(0.5).（B）1(1).（C）1(1.5).（D）1(2).二、填空题：1116 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案写在答题纸指定位置上【11】2022dxxx .【12】设函数()yy x由参数方程2214(1)ttxetytet 所确定，则202td ydx .【13】欧拉方程2 40 x yxyy满足条件(1)1,(1)2yy的解为y .【14】设为 空 间 区 域22(,)|44,02x y zxyz 表 面 的 外 侧，则 曲 面 积 分22x dydzy dzdxzdxdy .【15】设()ijaA为 3 阶矩阵，ijA为代数余子式，若A的每行元素之和均为 2，且3A，则112131AAA .一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 4【16】甲、乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令,X Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则X与Y的相关系数为 .三、解答题：1722 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上【17】（本题满分 10 分）求极限20011limsin1xtxxe dtxe.【18】（本题满分12分）设1()(1,2,.)(1)nnxxu xenn n，求级数1()nnux的收敛域及和函数.【19】（本题满分12分）已知曲线22264230 xyzCxyz：，求C上的点到xOy坐标面距离的最大值.【20】（本题满分12分）设2D R是有界单连通区域，22()4DI Dxydxdy取最大值的积分区域为1D.（）求1()I D的值；（）计算22221442244xyxyDxey dxyex dyxy，其中1D是1D的正向边界.一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 5【21】（本题满分12分）已知111111aaaA=.（）求正交矩阵P，使得TAPP为对角矩阵；（）求正交矩阵C，使得2(3)aCEA.【22】（本题满分12分）在区间已知(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度为X，较长一段的长度为Y，令YZX.（）求X的概率密度；（）求Z的概率密度；（）求()XEY.一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 1 绝密启用前 2021 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题 （科目代码：302）考试时间：上午 08:30-11:30 考生注意事项 1考生必须严格遵守各项考场规则。（1）考生在考试开考 15 分钟后不得入场。（2）交卷出场时间不得早于考试结束前 30 分钟。（3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。2答题前，应该按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生编号”等信息。3答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。（1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用 2B 铅笔完成，如要改动，必须用橡皮擦干净。（2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答，字迹要清楚。4考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。题型 选择题 填空题 解答题 分值 50 分 30 分 70 分 得分 考生姓名 考生编号 一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 2 一、选择题：110 小题，每小题 5 分，共 50 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上【1】当0 x 时，2301xtedt是7x的（）.（A）低阶无穷小.（B）等价无穷小.（C）高阶无穷小.（D）同阶但非等价无穷小.【2】函数1,0()1,0 xexf xxx 在0 x 处（）.（A）连续且取得极大值.（B）连续且取得极小值.（C）可导且导数为零.（D）可导且导数不为零.【3】有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 2cm/s，3cm/s，当底面半径为10cm，高为 5cm 时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为（）.（A）32125/,40/cmscms.（B）32125/,40/cmscms.（C）32100/,40/cmscms.（D）32100/,40/cmscms.【4】设函数()ln(0)f xaxbx a有两个零点，则ba的取值范围是（）.（A）(,)e.（B）(0,)e.（C）10,e.（D）1,e.【5】设函数()secf xx在0 x 处的 2 次泰勒多项式为21axbx，则（）.（A）11,2ab.（B）11,2ab.（C）10,2ab.（D）10,2ab.【6】设函数(,)f x y可微，且2(1,)(1)xf xex x，22(,)2lnf x xxx，则(1,1)df（）.（A）dxdy.（B）dxdy.（C）dy.（D）dy.【7】设函数()f x在区间0,1上连续，则10()f x dx（）.（A）1211lim22nnkkfnn.（B）121 1lim2nnkkfnn.（C）211 1lim2nnkkfnn.（D）212lim2nnkkfnn.一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 3【8】二次型222123122331(,)()()()f x xxxxxxxx的正惯性指数和负惯性指数分别为（）.（A）2，0.（B）1，1.（C）2，1.（D）1，2.【9】设 3 阶矩阵123123,AB，若向量组123,可以由向量组123,线性表示，则（）.（A）x A0的解均为x B0解.（B）Tx A0的解均为Tx B0解.（C）x B0的解均为x A0解.（D）Tx B0的解均为Tx A0解.【10】已知矩阵101211125A，若存在下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵 Q，使得 PAQ 为对角矩阵，则 P、Q 分别可以取（）.（A）100101010,013001001 .（B）100100210,010321001 .（C）100101210,013321001 .（D）100123010,012131001 .二、填空题：1116 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案写在答题纸指定位置上【11】23xxdx 【12】设函数()yy x由参数方程2214(1)ttxetytet 确定，则202td ydx 【13】设函数(,)zz x y由方程(1)lnarctan(2)1xzyzxy确定，则(0,2)zx 【14】已知函数21()sinttxxf tdxdyy，则()2f 【15】微分方程有0yy的通解为 【16】多项式12121()211211xxxxf xxx中3x项的系数为 一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 4 三、解答题：1722 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上【17】（本题满分 10 分）求极限20011lim1sinxtxxe dtex.【18】（本题满分 12 分）已知()1x xf xx，求函数()f x的凹凸区间及渐近线.【19】（本题满分 12 分）设函数()f x满足2()16f xdxxxCx，L 为曲线()(49)yf xx.记 L 的弧长度为 S，L 绕 x 轴旋转一周所形成的曲面面积为 A，求 S 和 A.【20】（本题满分 12 分）设()(0)yy x x满足微分方程 66xyy，且满足310y,（）求()y x；（）设P为曲线()yy x上的一点，记P处法线在y轴上的截距为pI，为使pI最小，求P的坐标.一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 5【21】（本题满分 12 分）设 D 由曲线222220,0 xyxyxy与x轴围城，求Dxydxdy.【22】（本题满分 12 分）设矩阵2101201abA仅有两个不同的特征值，若 A 相似于对角矩阵.求常数 a，b的值，并求逆矩阵 P，使得1P AP.一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 1 绝密启用前 2021 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题 （科目代码：303）考试时间：上午 08:30-11:30 考生注意事项 1考生必须严格遵守各项考场规则。（1）考生在考试开考 15 分钟后不得入场。（2）交卷出场时间不得早于考试结束前 30 分钟。（3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。2答题前，应该按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生编号”等信息。3答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。（1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用 2B 铅笔完成，如要改动，必须用橡皮擦干净。（2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答，字迹要清楚。4考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。题型 选择题 填空题 解答题 分值 50 分 30 分 70 分 得分 考生姓名 考生编号 一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 2 一、选择题：110 小题，每小题 5 分，共 50 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上【1】当0 x 时，2301xtedt是7x的（）.（A）低阶无穷小.（B）等价无穷小.（C）高阶无穷小.（D）同阶但非等价无穷小.【2】函数1,0()1,0 xexf xxx 在0 x 处（）.（A）连续且取得极大值.（B）连续且取得极小值.（C）可导且导数为零.（D）可导且导数不为零.【3】函数()ln(0)f xaxbx a有两个零点，则ba的取值范围是（）.（A）(,)e.（B）(0,)e.（C）10,e.（D）1,e.【4】设函数(,)f x y可微，且2(1,)(1)xf xex x，22(,)2lnf x xxx，则(1,1)df（）.（A）dxdy.（B）dxdy.（C）dy.（D）dy.【5】二次型222123122331(,)()()()f x xxxxxxxx的正惯性指数和负惯性指数分别为（）.（A）2，0.（B）1，1.（C）2，1.（D）1，2.【6】设1234,A为 4 阶正交矩阵，若矩阵T1T2T31,1,1k B表示任意常数，则线性方程组xA 的通解为x（）.（A）2341k.（B）1342k.（C）1243k.（D）1234k.一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 3【7】已知矩阵101211125A，若存在下三角可逆矩阵 P 和上三角可逆矩阵 Q，使得PAQ 为对角矩阵，则 P、Q 分别取（）.（A）100101010,013001001 .（B）100100210,010321001 .（C）100101210,013321001 .（D）100123010,012131001 .【8】设,A B为随机事件，且0()1P B，下列命题中为假命题的是（）.（A）若(|)()P A BP A，则(|)()P A BP A.（B）若(|)()P A BP A，则(|)()P A BP A.（C）若(|)(|)P A BP A B，则(|)()P A BP A.（D）若(|)(|)P A ABP A AB，则()()P AP B.【9】设1122(,),(,),(,)nnX YX YX Y为来自总体221212(,;,;)N 的简单随机样本，令121111,nniiiiXX YYXYnn，则（）.（A）2212(),()EDn.（B）2212122(),()EDn.（C）2212(),()EDn.（D）2212122(),()EDn.【10】设总体 X 的概率分布为111,2324P XP XP X，利用来自总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得的最大似然估计值为（）.（A）14.（B）38.（C）12.（D）58.二、填空题：1116 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案写在答题纸指定位置上【11】若cos,xye1xdydx .【12】525|9|xdxx .一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 4【13】设平面区域 D 由曲线sin 01yxxx与 x 轴围成，则 D 绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为 .【14】差分方程ytt的通解yt .【15】多项式12121()211211xxxxf xxx中3x项的系数为 .【16】甲、乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色放入乙盒中，再从乙盒中任取一个球，令 X，Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 X 与 Y 的相关系数为 .三、解答题：1722 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上【17】（本题满分 10 分）已知101lim arctan(1|)xxaxx存在，求 a 的值.【18】（本题满分 12 分）求函数222(1)(,)2ln|2xyf x yxx的极值.【19】（本题满分 12 分）设有界区域 D 是圆221xy和直线yx以及 x 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分2()22e()d dx yDxyx y.一笑而过 考研数学2021 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 5【20】（本题满分 12 分）设 n 为正整数，()nyyx是微分方程(1)0 xyny满足1(1)(1)nyn n的解.（）求()nyx；（）求级数1()nnyx的收敛域及和函数.【21】（本题满分 12 分）设矩阵2101201abA仅有两个不同的特征值，若 A 相似于对角矩阵求,a b的值，求可逆矩阵 P，使得1 P AP.【22】（本题满分 12 分）在区间（0，2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为 X，较长一段的长度记为 Y，令YZX.（）求 X 的概率密度；（）求 Z 的概率密度；（）求()XEY.一笑而过 考研数学