3d400b50-ae31-11eb-9591-f919c98e5621作业答案线代4（486--518）（周洋鑫） (1)考研资料.pdf

2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫12022 年督学班高分必刷 800 题作业答案(线代)第二章 矩阵【486】解析：101220101aEA,因为21EAr，所以202101aa.【487】解析：T2rrAA，矩阵A的行阶梯形矩阵为101011001000+aA，因为 T2rrAA，所以101aa.注：24133410110110101101101100100100101001000rarrrrr+a+a+aaa A.由 T2rrAA知，任意一个三阶子式为零，于是101011010a，解得1a .【488】解析：【法【法1 1】111111111110011110101111001kkkkkAkkkkkk2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫2讨论：（i）1k 时，1111000000000000A，1rA，不符题意；（ii）1k 时，1113000110011001010101010011001kkA,因为3rA，所以3k .【法【法2 2】34rA，所以0A.由111111111111kkAkk111110010101001kkkkkkk3111010000100001kkkk3(3)(1)0,kk解得1k 或3k 当1k 时，1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1A，1rA，不符题意；所以3k .【489】解析：增广矩阵,A b的行阶梯形矩阵为121341111111111,43511011531310131rrrarabaabaa A b231111110115300425442rarabaa 因为,2A b r，所以42025403aabab .2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫3【490】解析：C为m阶矩阵,所以 rmC.rrmABCE，又 rrABCC,所以 m rmC，即 rmC.根据矩阵乘法的定义知矩阵AB是m阶矩阵，又ABCE，即ABCE，根据逆矩阵的定义知1CAB，即C可逆.或者ABCE，两边取行列式得1ABCE，所以0C，所以C可逆.（注：这里的AB不能写成A B，因为矩阵AB是m阶矩阵，存在行列式，而A为mn矩阵，B为nm矩阵，不一定是方阵，即不一定有行列式，所以本题中的AB不能拆成A B.）【491】解析：因为ABE，所以()()rrmABE又因为()(),()()rrrrABAABB，所以(),()rm rmAB由于A为mn矩阵，B为nm矩阵，故(),()rm rmAB因此(),()rm rmAB故选 A【492】解析：A和B都是非零方阵，所以1,1rrAB，ABO，所以 rrnAB，联立 1r B，所以 1rnA，rrnAB，联立 1r A，所以 1rnB，综上选 B.【493】解析：1Ar，所以 3 12r A.由ABO可知 3rrAB，即 23rB，所以 1r B.又B为三阶非零矩阵，所以 1r B，进而知 1rB.【494】解析：2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫4矩阵1235,A ，矩阵12353,与矩阵1231353,均是按列分块的矩阵，它们存在如下关系：341123512353,cc A，123432111235123531231353,cccccc A.因为初等变换不改变矩阵的秩，所以12353,=4r ，1231353,4r .【495】解析：矩阵1235,，矩阵12354,均是按列分块的矩阵，它们存在如下关系：12354123513,=,2 ，1434211235123513,2cccc .因为初等变换不改变矩阵的秩，所以123541235,=,4rr .【496】解析：初等变换秩不变，所以 rrBA，又A可逆，所以 rrnBA.【497】解析：【法1】A是mn矩阵，B是nm矩阵，则AB是m阶方阵，因()min(),()min,rrrm nABAB.当mn时，有()min(),()rrrnmABAB.故有行列式0AB，故应选（B）.【法 2】用排除法（A）mn，取1,00,0m nn m AB0000AB，0AB，（A）不成立.（C）nm，取010,1m nn m AB0AB，0AB，（C）不成立.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫5（D）nm，取110,0m nn m AB1AB，1AB，（D）不成立，故选（B）.【498】解析：A和B都是非零方阵，所以1,1rrAB，矩阵A存在一个非零1n阶子式，所以 1rnA，ABO，所以 rrnAB，联立 1r B，所以 1rnA，由夹逼准则知1rnA.【499】解析：12243311tA的 1,3 行不成比例，所以2r A，B为三阶非零矩阵，所以 1r B，ABO，所以 3rrAB，联立 1r B，所以 2r A，由夹逼准则知2rA，【法【法 1】初等行变换化行阶梯形讨论初等行变换化行阶梯形讨论1221221224308110113110770811tttA122011003t，所以3t .【法【法 2】结合方阵行列式结合方阵行列式23rA，所以0A3212210243433311301rrttA363730ttt 所以3t .【500】解析：2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫6P为三阶非零矩阵，所以 1r P，PQO，所以 3rrPQ，（注：借助分析 r Q再联立 3rrPQ 分析选项中的 r P.）又12312324006369000ttQ，讨论：（i）6t 时，1rQ，联立 3rrPQ，解得 2r P，所以 12r P，排除 A，B.（ii）6t 时，2rQ，联立 3rrPQ，解得 1r P，由夹逼准则知 1rP，选 C.【501】解析：因为()1rA，所以()2rA，（注：【法法 1】初等行变换化行阶梯形（注：本题矩阵为含成比例元素的矩阵）【法【法 2】结合行列式.本题选择处理 2.）2(2)()0abbbabab abbba，即有02 ba或ab当ab时，()12r A，故必有ab且02 ba答案应选(C)【502】解析：,1,2,3ijijAai j，所以*TAA，两边取行列式得2AA，解得0A或1，A沿第 1 行展开得1112132221111121213130a Aa Aa AaaaA，所以10A，所以3rA，进而知3rA.【503】解析：2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫7初等变换不改变矩阵的秩，所以 rrAB.矩阵A的行阶梯形矩阵为1201000aaA，所以 2rA.(注：12132312312120101033000rrrrrraaaaa A.)矩阵B的行阶梯形矩阵为12011002aaB.因为 2rrBA，所以20a，即2a.（注：231311212011011013002rarrraaaa B.）【504】解析：因为BE，所以BE，进而知矩阵B与矩阵E是同型矩阵，是方阵，且 rrBE,所以矩阵B是满秩矩阵，进而知矩阵B是可逆矩阵.或存在可逆可逆矩阵,P Q，使得PBQE，方程两边取行列式得1P B QE，所以0B，所以B是可逆矩阵，故 2rrBAA.【505】解析：记111111aaa A，110011101B因为矩阵A与B等价，所以rrAB.2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫8由211011002aaaaa A,110011000B,所以 2rrAB.【法【法 1 1】（注：A的行阶梯形矩阵拐角元素含未知参数，讨论拐角元素是否为零）讨论：（i）10a 时，即1a 时，此时11000000aA，所以11111211araa，不符题意，舍去.（ii）10a 时，即1a 时此时211011002aaaA，因为 2rA，所以22210aaaa，解得21a .综上2a.（注：1212121211111101111011r a rrrrraaaaaaaa A23231221111011011011002rarrraaaaaaaaaa .132311110110011011011000rrrr B.）【法【法 2 2】由 2rrAB得，211111111110111011101101aaaaaaaaaa A 221111110120001aaaa，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫9解得1a 或2a，不难看出，1a 时，1rA，舍去，所以2a.【506】解析：因为矩阵A与B等价，所以由()()rrAB故当|0A时，有()rnA，从而()rnB，即|0B，故答案选 D【507】解析：ABAB，BABA，所以ABBA.选 C.（注：注：无ABAB，错矩阵乘法一般无交换律，ABBA错，无111ABAB，错.）【508】解析：2*27 BABAAA.注：交换两行，行列式前加负号，BA.【509】解析：111111123222333 AAAA AAAA，所以31122116323327 AAAA.【510】解析：因为123123123(,24,39)B 123111111(,)123123149149 A，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫10所以，1111231 22.149 BA（注：111123149是范德蒙行列式）【511】解析：根据TAAE有TTTT|()|()|()|AEAAAA EAA EAAEA|A EAA AE移项得(1|)|0AAE.因为0A，故(1|)0A，所以|0AE.【512】解析：等式两边同时右乘A，得*2ABA ABA AA，由已知3A，*A A=AAA E，则可得36ABBA，即(36)AE BA.等式两边取行列式363AE BA，而3627AE，故所求行列式为19B【513】解析：,1,2,3ijijAai j，所以*TAA，2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫11两边取行列式得2AA，解得0A或1，A沿第 1 行展开得1112132221111121213130a Aa Aa AaaaA，所以1A.【514】解析：因为*TAA，所以,1,2,3ijijAai j*TAA两边取行列式得2AA，解得0A或1，AO，不妨设110a，A沿第 1 行展开得1112132221111121213130a Aa Aa AaaaA，所以10A.【515】解析：因为*TAA，所以,1,2,3ijijAai j*TAA两边取行列式得2AA，解得0A或1，A沿第 1 行展开得11121311222211111212131330a Aa Aa AaaaaA，所以11231aA，解得1133a.选 A.【516】解析：321123211321212311232,1223,mnm .【517】解析：2236ABABA B.【518】22222333342k ABkABkABkABk a b2022 全程班高分必刷 800 题答案解析新浪微博考研数学周洋鑫12