2020年全国硕士研究生入学统一考试（数一、二、三）考研资料.pdf

微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 1 绝密启用前 2020 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题 （科目代码：301）考试时间：上午 08:30-11:30 考生注意事项 1考生必须严格遵守各项考场规则。（1）考生在考试开考 15 分钟后不得入场。（2）交卷出场时间不得早于考试结束前 30 分钟。（3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。2答题前，应该按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生编号”等信息。3答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。（1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用 2B 铅笔完成，如要改动，必须用橡皮擦干净。（2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答，字迹要清楚。4考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。题型 选择题 填空题 解答题 分值 50 分 30 分 70 分 得分 考生姓名 考生编号 一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 2 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的【1】当0 x时，下列无穷小量中最高阶的是（）.（A）201xtedt.（B）30ln 1xtdt.（C）sin20sinxt dt.（D）1 cos30sinxtdt.【2】设函数 f x在区间1,1内有定义，且 0lim0 xf x，则（）.（A）当 0lim0 xf xx时，f x在0 x 处可导.（B）当 20lim0 xf xx时，f x在0 x 处可导.（C）当 f x在0 x 处可导时，0lim0 xf xx.（D）当 f x在0 x 处可导时，20lim0 xf xx.【3】设函数,f x y在0,0处可微，0,00f，0,0,1ffxyn，非零向量 与 n 垂直，则（）.（A）22,0,0,limx yx y f x yxyn存在.（B）22,0,0,limx yx y f x yxyn存在.（C）22,0,0,limx yx y f x yxy存在.（D）22,0,0,limx yx y f x yxy存在.【4】设 R 为幂级数1nnna x的收敛半径，r 为实数，则（）.（A）当221nnna r发散时，rR.（B）当221nnna r收敛时，rR.（C）当rR时，221nnna r发散.（D）当rR时，221nnna r收敛.【5】若矩阵 A 经过初等列变换化成 B，则（）.（A）存在矩阵 P，使 PA B.（B）存在矩阵 P，使 BP A.（C）存在矩阵 P，使 PB A.（D）方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解.一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 3【6】已知2221111:xaybzclabc与直线3332322:xaybzclabc相交于一点，记向量iiiiabc，1,2,3i，则（）.（A）1可由 2，3线性表示.（B）2可由 1，3线性表示.（C）3可由 1，2线性表示.（D）1，2，3线性无关.【7】设 A、B、C 为三个随机事件，且 14P AP BP C，0P AB，112P ACP BC，则 A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为（）.（A）34.（B）23.（C）12.（D）512.【8】设12100,X XX为来自总体 X 的简单随机样本，其中1012P XP X，x表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155iiPX的近似值为（）.（A）11.（B）1.（C）10.2.（D）0.2.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上【9】011lim1ln 1xxex .【10】设221ln1xtytt，则221td ydx .【11】设 f x满足 0fxafxf x0a，0fm，0fn，则 0fx dx .【12】设函数20,xyxtfx yedt，则12,1fx y .【13】行列式011011110110aaaa .【14】设 X 服从,2 2 上的均匀分布，sinYX，则,Cov X Y .一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 4 三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上【15】（本题满分 10 分）求函数33,8f x yxyxy的极值.【16】（本题满分10分）计算曲线积分2222444LxyxyIdxdyxyxy，其中L为222xy，方向为逆时针方向.【17】（本题满分10分）设数列 na满足11a，1112nnnana.证明：当1x 时幂级数1nnna x收敛，并求其和函数.【18】（本题满分10分）设为 曲 面22zxy（2214xy）的 下 侧，f x为 连 续 函 数.计 算22Ixf xyxy dydzyf xyyx dzdxzf xyz dxdy.【19】（本题满分10分）设函数 f x在区间0,2上具有连续导数.020ff，0,2maxxMfx 试证明：（）存在0,2，使 fM；（）若对任意0,2x，fxM，则0M.一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 5【20】（本题满分11分）设二次型22121122,44f x xxx xx经过正交变换1122xyxyQ化为二次型12,g y y 2211224ayy yby，其中ab.（）求a，b的值；（）求正交矩阵 Q.【21】（本题满分11分）设 A 为2阶矩阵，,PA ，其中 是非零向量且不是 A 的特征向量.（）证明P为可逆矩阵.（）若26 0AA，求1P AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵.【22】（本题满分11分）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1与X2均服从标准正态分布，X3的概率分布为331012P XP X，31321YX XXX.（）求二维随机变量1,X Y的分布函数，结果用标准正态分布函数 x表示：（）证明随机变量Y服从标准正态分布.【23】（本题满分11分）设某种元件的使用寿命T的分布函数为 1,00,mtetF t其他 其中，m为参数且大于零.（）求概率P Tt与|P Tst Ts，其中0s，0t；（）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为12,nt tt，若m已知，求的最大似然估计值.一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 1 绝密启用前 2020 年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）试题 （科目代码：302）考试时间：上午 08:30-11:30 考生注意事项 1考生必须严格遵守各项考场规则。（1）考生在考试开考 15 分钟后不得入场。（2）交卷出场时间不得早于考试结束前 30 分钟。（3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。2答题前，应该按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生编号”等信息。3答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。（1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用 2B 铅笔完成，如要改动，必须用橡皮擦干净。（2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答，字迹要清楚。4考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。题型 选择题 填空题 解答题 分值 50 分 30 分 70 分 得分 考生姓名 考生编号 一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 2 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上【1】当0 x时，下列无穷小量中阶最高的是（）.（A）201xtedt.（B）30ln(1)xtdt.（C）sin20sinxt dt.（D）1 cos30sinxtdt.【2】函数 11eln 1e12xxxfxx的第二类间断点的个数为（）.（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【3】10arcsin(1)xdxxx（）.（A）24.（B）28.（C）4.（D）8.【4】已知函数 2ln 1f xxx，当3n 时，0nf（）.（A）!2nn.（B）!2nn.（C）2!nn.（D）2!nn.【5】关于函数,0,0,0 xy xyf x yx yy x，给出下列结论：（1）0,01fx.（2）20,01fx y.（3）,0,0lim,0 x yfx y.（4）00limlim,0yxf x y.其中正确的个数为（）.（A）4.（B）3.（C）2.（D）1.【6】设函数 f x在区间2,2上可导，且 0fxfx，则（）.（A）211ff.（B）01fef.（C）211fef.（D）321fef.一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 3【7】设4阶矩阵ijaA不可逆，12a的代数余子式120A，1234,为矩阵 A 的列向量组，A*为 A 的伴随矩阵，则方程组*A x=0的通解为（）.（A）112233kkkx，其中123,k k k为任意常数.（B）112234kkkx，其中123,k k k为任意常数.（C）112334kkkx，其中123,k k k为任意常数.（D）122334kkkx，其中123,k k k为任意常数.【8】设A为3阶方阵，12,为A属于特征值1的线性无关的特征向量，3为 A 的属于特征值1的特征向量，则满足100010001-1P AP的可逆矩阵P为（）.（A）1323,.（B）1223,.（C）1332,.（D）1232,.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上【9】设221,ln1,xtytt则221ddtyx .【10】求1130d1dyyxx .【11】设arctansinzxyxy，则0,dz .【12】斜边长为2a 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，记重力加速度为 g，水的密度为，则该平板一侧所受到的水压力为 .【13】设 yfx满足20yyy，且 00y，01y，则 0dy xx .【14】求011011110110aaaa .一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 4 三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上【15】（本题满分10分）.求曲线11xxxyx（0 x）的斜渐近线方程.【16】（本题满分10分）.已知函数 f x连续且 0lim1xf xx，10g xf xt dt，求 gx并证明 gx在0 x 处连续.【17】（本题满分10分）求函数33,8fx yxyxy的极值.【18】（本题满分10分）设函数 f x在定义域0,上有定义，且满足 2221221xxf xx fxx，求 f x，并求曲线 yf x，12y，32y 及y轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积.【19】（本题满分10分）计算22Dxydx，其中平面区域D由1x，2x，yx及x轴围成.一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 5【20】（本题满分11分）已知 21e dxtf xt.（）证明：存在1,2，使得 22ef；（）证明：存在1,2，使得 22ln2ef.【21】（本题满分11分）设函数 f x可导，且 0fx，曲线 yfx（0 x）经过坐标原点O，点M为曲线 f x上任意一点，过点M的切线与x轴相交于点T，过点M作MP垂直于x轴于点P.已知由曲线 yf x与直线MP以及x轴所围成图形的面积与MTP的面积比恒为3：2，求满足上述条件的曲线方程.【22】（本题满分11分）二次型222123123121323,222fx xxxxxax xax xax x经可逆线性变换xy P变换为22212312312,42g y yyyyyy y.（）求a的值；（）求可逆矩阵P.【23】（本题满分11分）设A为2阶矩阵，P=,A，其中 是非零向量且不是A的特征向量.（）证明矩阵P可逆；（）若62A A0，求-1P AP，并判断A是否相似于对角矩阵.一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 1 绝密启用前 2020 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学（三）试题 （科目代码：303）考试时间：上午 08:30-11:30 考生注意事项 1考生必须严格遵守各项考场规则。（1）考生在考试开考 15 分钟后不得入场。（2）交卷出场时间不得早于考试结束前 30 分钟。（3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。2答题前，应该按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生编号”等信息。3答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。（1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用 2B 铅笔完成，如要改动，必须用橡皮擦干净。（2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答，字迹要清楚。4考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。题型 选择题 填空题 解答题 分值 50 分 30 分 70 分 得分 考生姓名 考生编号 一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 2 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.【1】设 limxaf xabxa，则 sinsinlimxaf xaxa（）.（A）sinba.（B）cosba.（C）sinbf a.（D）cosbf a.【2】函数 11ln 112xxexf xex的第二类间断点个数为（）.（A）1 个.（B）2 个.（C）3 个.（D）4 个.【3】设奇函数 f x在,上有连续导数，则（）.（A）0cosxf tftdt是奇函数.（B）0cosxf tftdt是偶函数.（C）0cosxftf tdt是奇函数.（D）0cosxftf tdt是偶函数.【4】已知幂级数12nnnnax的收敛区间为2,6，则211nnnax的收敛区间为（）.（A）2,6.（B）3,1.（C）5,3.（D）17,15.【5】设4阶矩阵ijaA不可逆，12a的代数余子式120A，1234,为矩阵 A 的列向量组，A*为 A 的伴随矩阵，则方程组*A x=0的通解为（）.（A）112233kkkx.（B）112234kkkx.（C）112334kkkx.（D）122334kkkx.【6】设 A 为3阶方阵，12,为 A 属于特征值1的线性无关的特征向量，3为 A 的属于特征值-1的特征向量，则满足100010001-1P AP的可逆矩阵 P 为（）.（A）1323,.（B）1223,.（C）1332,.（D）1232,.【7】设 A、B、C 为三个随机事件，且 14P AP BP C，0P AB，P AC 112P BC，则A，B，C恰好发生一个的概率为（）.（A）34.（B）23.（C）12.（D）512.一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 3【8】若二维随机变量,X Y服从正态分布10,0;1,4;2N，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X独立的是（）.（A）55XY.（B）55XY.（C）33XY.（D）33XY.二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸指定位置上【9】设arctansinzxyxy，则(0,)dz .【10】已知曲线满足2e0 xyxy，求曲线在点0,1处的切线方程 .【11】设某厂家某产品的产量为Q，单价为P，厂商成本函数为 10013C QQ，需求函数为 80023Q PP，则厂家获得最大利润时的产量为 .【12】设平面区域D=21,0121xx yyxx，则D绕y轴旋转所成旋转体的体积为 .【13】行列式011011110110aaaa .【14】随机变量X的概率分布为12kP Xk，1,2,kY表示X被3除的余数，则EY .三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【15】（本题满分10分）设a，b为常数，若11nen与abn在n 时是等价无穷小，求a，b的值.【16】（本题满分10分）求函数33,8fx yxyxy的极值.一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 4【17】（本题满分10分）设函数 yfx满足250yyy，且有 01f，01f .（）求 f x的表达式；（）设 nnaf x dx，求1nna.【18】（本题满分10分）设区域22,|1,0Dx yxyy，连续函数,fx y满足 2,1,Df x yyxxf x y dxdy，计算,Dxf x y dxdy.【19】（本题满分10分）设函数 f x在0,2上具有连续导数.020ff，0,2maxxMf x.试证明：（）存在0,2使 fM；（）若对任意0,2x，fxM，则0M.【20】（本题满分11分）设 二 次 型22121122,44f x xxx xx经 正 交 变 换1122xyxyQ化 为 二 次 型22121122,4g y yayy yby，其中ab.（）求a，b的值；（）求正交矩阵 Q.一笑而过 考研数学2020 年全国硕士研究生入学统一考试 微博关注 考研数学周洋鑫 及时掌握考研数学最新干货资讯 5【21】（本题满分11分）设 A 为2阶矩阵，P=,A，其中 是非零向量且不是 A 的特征向量.（）证明 P 为可逆矩阵；（）62A A0，求-1P AP并判断 A 是否相似于对角矩阵.【22】（本题满分11分）二 维 随 机 变 量,X Y在 区 域2,|01Dx yyx上 服 从 均 匀 分 布，且11,00,0XYZXY，21,00,0XYZXY求：（）求二维随机变量12,Z Z的概率分布；（）求1Z与2Z的相关系数.【23】（本题满分11分）设某元件的使用寿命T的分布函数为 1,00,mtetF t其他，其中，m 为参数且均大于零.（）求概率P Tt与|P Tst Ts，其中0s，0t；（）任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们寿命分别为12,nt tt，若 m 已知，求的最大似然估计.一笑而过 考研数学