2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）答案.pdf

世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：2012016 6 年全国硕士研究生入学统一考试数学年全国硕士研究生入学统一考试数学(一一)真题真题关注文都网校考研公众号领取更多考研资料一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。（1）【答案】C【解析】+1+001111=+(1)(1)(1)abababdxdxdxxxxxxx，而101adxx当1a 时收敛，而此时(1)bx不影响，+1111=1(1)(1)aba bbdxdxxxxx，而+11a bdxx当1ab时收敛，此时1(1)bx不影响，因此选择 C.（2）【答案】D【解析】对函数()f x做不定积分可得原函数，1lnlnlnxdxxxxdxxxxCx，因此选择 D.（3）【答案】A【解析】将222(1)1yxx代入微分方程可得：222224(1)()(1)1()1xxxp xxxq xx世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：而将222(1)1yxx代入微分方程可得：222224(1)()(1)1()1xxxp xxxq xx将这两个式子相加可得：2228(1)2()(1)2()xxp xxq x两个式子相减可得：2222()101xp xxx因此可得2222222()4(1)(1)4(1)(1)3(1)1xq xxxxxxxxxxx）故选择 A.（4）【答案】D【解析】01lim()lim()lim0(0)nnxf xf xfn，因此在0 x 处连续，0lim()1xfx，而0010()(0)lim()limlimnxxf xfnfxxx，而111xnn，因此111(1)nnnnxn，而左右两边的极限均为 1，因此0lim()1xfx，故在0 x 可导，选择 D.（5）【答案】C【解析】因为A与B相似，因此存在可逆矩阵P，使得1P APB，于是有：111()()()TTTTTTTTP APP APP APB，即TTAB，111111111()()P APP APP A PB，因此11AB，111111()PAAPP APP A PBB，因此11AABB，而 C 选项中，1TP A P不一定等于TB，故 C 不正确，选择 C.（6）【答案】B【解 析】二 次 型222123123121323(,)444f x xxxxxx xx xx x对 应 的 矩 阵世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：122212221A，根据|0EA可以求得特征值为，1235,1，因此二次型的规范形为222123fzzz，故可得2221232zzz，即2223122221(2)(2)(2)zzz，因此对应的曲面为双叶双曲面，选择 B.（7）【答案】B【解析】22XXpP XPP，因此选择 B，p随着的增加而增加.（8）【答案】12【解析】根据题意可知11(2,),(2,)33XBYB，因此有121242,233339EXEYDXDY，441117(0)(0)0(0,0)993339P XYP XP YP XY11112(1)(1,1),33339P XYP XY因此可得72201999EXY ，故可得相关系数为：24199429XYEXYEXEYDXDY 二、填空题，二、填空题，914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答疑纸指定位置上分，请将答案写在答疑纸指定位置上.（9）【答案】12【解析】02222ln(1sin)ln(1sin)1ln(1sin)1sin1limlimlimlim1 cos2 sin2sin22xxxxxttt dtxxxxxxxxxxxx（10）【答案】(0,1,1)y 世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：【解析】由旋度公式可得,0,1,1RQPRQProtAyyzzxxy（11）【答案】2dxdy【解析】将22(1)(,)xzyx f xz y两边分别关于,x y求导可得：21(1)2(,)(,)(1)xxzxzxf xz yx fxz yz，212(1)2(,)()(,)1yyxzyxfxz yzfxz y。将0,1xy代入原式可得1z，因此将0,1,1xyz代入关于x求导的式子可得：10 xz，因此1xz ，代入关于y求导的式子可得：20yz，因此有2yz，故可得(0,1)|2dzdxdy.（12）【答案】12【解析】根据2()arctan1xf xxax，可得：22222 222 211211()1(1)1(1)axaxaxfxxaxxax，然后求二阶导数为：2 2222 22 422(1)2(1)(1)2()(1)(1)xaxaxaxaxaxfxxax 此时(0)0f（存疑）（13）【答案】432234【解析】432100101000100141023400132014321.（14）【答案】(8.2,10.8)世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：【解析】0.0250.0250.0250.0250.95xPuuP xuxunnn，因为0.02510.8xun，所以0.0251.3un，因此可得0.0258.2xun，故可得置信区间为(8.2,10.8).三三、解答题解答题：1523 小题小题，共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。证明过程或演算步骤。（15）【答案】3253【解析】32(1 cos)22(1 cos)222222234222342222222322222coscos|38(3cos3coscos)388cos8coscos384(1 cos2)8(1 sin)sincossin3Drxdxdydrdrdddddddd 23322222222222222222sin2sin84()|8(sin)|(cossin|3sincos)2333242sin 23324(1 cos4)332sin44()|343253ddd （16）【答案】（）；（）1k【解析】（）特征方程为220rrk，由01k可知，特征方程有两个不同的实根，即世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：1,2244112krk 且1,20r，因此二阶常系数齐次线性方程的解为：1212()r xr xy xC eC e，故可得1212120012001212121212()()|(0 1)(0 1)r xr xr xr xy x dxC eC edxCCeerrCCrrCCrr 因此0()y x dx收敛.（）由1212()r xr xy xC eC e，(0)1,(0)1yy可得：121 12 21,21111CCC rC rrk ，解得1212CC代入可得12012111()()2111112121(1)CCy x dxrrkkkk （17）【答案】3【解析】根据2(,)(21)x yf x yxex可得：2222222(,)(21)2()()()x yyxxyxxxx yf x yxedxexe dxe dxexee dxe dxyxey又(0,)1fyy故可知()1yy，因此2(,)1x yf x yxey世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：所以2(,)1x yf x yxey，22(,)(,)()(21)(1)ttx yx yLLf x yf x yI tdxdyxedxxedyxy设22(21),1x yx yPxeQxe，则有222(21),2x yx yx yPQxeexeyx 因此PQyx，因此积分与路径无关故22122002222()(21)(1)(21)(1)tx yx yLtxyttI txedxxedyxe dxedyeteete 因为2()tI tte，所以2()1tI te，令()0I t 可得2t 而2()tIte，因此(2)10I，因此当2t 有最小值为(2)2 13I.（18）【答案】12【解析】2(1)23Ixdydzydzdxzdxdy，令21,2,3PxQy Rz 由高斯公式可知：120211 2200()(223)(21)(21)(2)2(2)212xyxyyxDDxPQRIdxdydzxdxdydzxdxdydzxyzdxdyxdzyxxxydxdyydxxxxydy 世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：（19）【答案】利用绝对收敛定义证明即可。【解析】（）证：1()nnxf x，因此有111112122111|()()|()()|211 11|()()|22 22nnnnnnnnnnnnnxxf xf xfxxxxf xf xxxxxL显然21111|2nnxx收敛，因此11()nnnxx绝对收敛.（）记11()nnnnnSxx，因此得11nnSxx，因为级数11()nnnxx收敛，因此limnnS存在，因此limnnx存在，不妨设limnnxA，1()()(0)1()1nnnnxf xf xffx，由10()2fx可得11()112nnnxfxx，两边取极限可得112AA，即2A若0A，这与112AA矛盾，若0A，与(1()1fA矛盾，因此可得02A，即0lim2nnx.（20）【答案】2a 时，无解；1a 时，有无穷多解，12121111Xkkkk；2a 且1a 时，有唯一解，31240210aaaXa【解析】世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：增广矩阵为1112211122(,)211023341112001 10A Baaaaaaaa 因此当|(2)(1)0Aaa即2a 且1a 时，有唯一解；设111221223132xxXxxxx，代入AXB，解得31240210aaaXa当2a 代入11122111220233400336001 1000330aaaa设111221223132xxXxxxx，因此可得323236,30 xx，这两个式子是矛盾的，因此方程组无解；当1a 代入11122111220233403333001 1000000aaaa，此时方程组有无穷多解，将111221223132xxXxxxx代入可得1121311222322131223222333333xxxxxxxxxx ，解得111211xx，不妨设3132,xx为自由未知量，则可得12121111Xkkkk（21）（）求99A；（）设 3 阶矩阵123(,)B 满足2BBA.记100123(,)B，将123,分别世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：表示成123,的线性组合.【答案】（）9999989910010099221 222221 222000A （）99100112(22)(22);99100212(12)(12);9899312(22)(22)【解析】（）利用相似对角化，由|0EA得到特征值为0,1,2，当0时，代入EA中，求解方程组()0EA X的解就是特征向量，即1322r 同理得到其他的两个特征向量分别为：1 对应的特征向量为2110r ，2 对应的特征向量为3120r ，设121311(,)212200Pr r r，则有1000010002P AP，因此可得99991000010002APP，根据矩阵P可以求得其逆矩阵为110022121112P因此有世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：99991999999981001009910000031100020102120102120022000021112221 222221 222000APP （）2322BBABBBAB ABAABA，因此可得10099BBA、，所以9999981009910010099123123123221222(,)(,)(,)221222000BA 因此有99100112(22)(22);99100212(12)(12);9899312(22)(22)（22）【答案】（）23,01,(,)0,xxyxf x y其他（）U与X不独立，因为1111,2222P UXP UP X（）Z的分布函数为：233220,03,012()132(1)(1),12221,2ZzzzzFzzzzz【解析】（）区域D的面积为1201()()3s Dxx dx，因此服从均匀分布，因此有世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：23,01,(,)0,xxyxf x y其他（）U与X不独立11111,0,2222121111,2222P UXP UXP XY XP UP X因此1111,2222P UXP UP X，故不独立.（）()|0 0|1 1,0,10101,1,F zP UXzP UXz UP UP UXz UP UP UXz UP UXz UP UP UP UP UP Xz XYPXz XY230,03,0121,12zP Xz XYzzzz3220,131,2(1)(1),1221,22zPXz XYzzzz因此可得233220,03,012()132(1)(1),12221,2ZzzzzFzzzzz（23）【答案】（）T的概率密度：世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：899,0()0,Txxfx其他（）109a【解析】（）根据题意，123,XXX独立同分布，因此可得12312331231()max(,),()TF tPXXXtP Xt Xt XtP Xt P Xt P XtP Xt当0t 时，()0TF t；当0t 时，2933903()()tTxtF tdx；当t时，()1TF t，因此可得概率密度函数为：899,0()0,Txxfx其他（）89099()()10tE aTaE Tatdta，根据题意，如果aT为的无偏估计，则有()E aT，因此可得910a.世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：关注文都网校考研公众号领取更多考研资料