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世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：2020 考研数学二真题考研数学二真题及解析完整版及解析完整版来源：文都教育一一、选择题选择题：18 小题小题，第小题第小题 4 分分，共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中，只有一个选项只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0 x，下列无穷小量中最高阶是（）A.20e1 dxttB.30ln 1+dxttC.sin20sin dxttD.1 cos30sindxt t答案：D解析:A.2320013xxtxedtt dtB.35322002ln 15xxtdtt dtxC.sin223001sin3xxt dtt dtxD.2311 cos32200sinxxtdtt dt25122025xt52252 115 210 2xx2.11ln|1|()(1)(2)xxexf xex第二类间断点个数（）A.1B.2C.3D.4答案：C解析：0,2,1,1xxxx 为间断点世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：111110000ln|1|ln|1|ln|1|lim()limlimlim(1)(2)222xxxxxxexexexef xexxx 0 x 为可去间断点1122ln|1|lim()lim(1)(2)xxxxexf xex 2x 为第二类间断点1111ln|1|lim()lim0(1)(2)xxxxexf xex1111ln|1|lim()lim(1)(2)xxxxexf xex 1x 为第二类间断点1111ln|1|lim()lim(1)(2)xxxxexf xex 1x 为第二类间断点3.10arcsind(1)xxxxA.24B.28C.4D.8答案：A解析：10arcsind(1)xxxx令ux，则原式=1220arcsin2 d(1)uu uuu世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：120202220arcsin2d1sin 2cos dcos1224uuututtttt令4.2()ln(1),3f xxx n时，()(0)nfA.!2nnB.!2nnC.(2)!nnD.(2)!nn答案：A解析：2()02()12(1)22(2)()(1)1(2)222()ln(1),3()ln(1)()ln(1)()ln(1)(1)!(1)ln(1)(1)(2)!(1)ln(1)(1)(3)!(1)ln(1)(1)()2;(nnnnnnnnnnnnnf xxx nfxC xxCxxCxxnxxnxxnxxxx x()212()2.(1)!(1)(2)!(1)(1)(3)!(1)()22(1)(1)2(1)!(0).2nnnnnnnnnnfxxn xxxxnfn 5.关于函数0(,)00 xyxyf x yxyyx给出以下结论(0,0)1fx世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：2(0,0)1fx y(,)(0,0)lim(,)0 x yf x y00limlim(,)0yxf x y正确的个数是A.4B.3C.2D.1答案：B解析：0(0,0)(,0)(0,0)limxff xfxx00lim1xxx0 xy 时，fyx0y 时，1fx0 x 时，0fx200(0,0)(0,)(0,0)1limlimxxyyfyffx yyy 不存在.(,)(0,0)(,)(0,0)0,lim(,)lim0 x yx yxyf x yxy(,)(0,0)(,)(0,0)0,lim(,)lim0 x yx yyf x yx(,)(0,0)(,)(0,0)0,lim(,)lim0 x yx yxf x yy(,)(0,0)lim(,)0 x yf x y000,lim(,)lim0 xxxyf x yxy000,lim(,)lim0 xxyf x yx000,lim(,)limxxxf x yyy从而00limlim(,)0.yxf x y世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：6.设函数()f x在区间 2,2上可导，且()()0fxf x，则（）A.(2)1(1)ffB.(0)(1)fefC.2(1)(1)fefD.3(2)(1)fef答案：B解析：由()()0fxf x 知()10()fxf x 即(ln()0f xx 令()ln()F xf xx，则()-2,2F x 在上单增因21 ，所以(2)(1)FF即ln(2)2ln(1)1ff(1)(2)fef同理，10,(1)(0)FF 即ln(1)1ln(0)ff(0)(1)fef7.设四阶矩阵ijAa不可逆，12a的代数余子式1212340,A 为矩阵A的列向量组.*A为A的伴随矩阵.则方程组*A x 0的通解为（）.A.112233xkkk，其中123,k k k为任意常数B.112234xkkk，其中123,k k k为任意常数C.112334xkkk，其中123,k k k为任意常数.D.122334xkkk，其中123,k k k为任意常数答案：C解析：A 不可逆世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：|A|=0120A()3r A*()1r A*0A x 的基础解系有 3 个线性无关的解向量.*|0A AA EA 的每一列都是*0A x 的解又120A 134,线性无关*0A x 的通解为112334xkkk8.设A为 3 阶矩阵，12,为A属于特征值 1 的线性无关的特征向量，3为A的属于特征值-1 的特征向量，则满足1100010001P AP的可逆矩阵P可为（）.A.1323(,)B.1223(,)C.1333(,)D.1232(,)答案：D解析：1122,AA33A 1100010001P APP的 1，3 两列为 1 的线性无关的特征向量122,P的第 2 列为A的属于-1 的特征向量3.世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：1232(,)P 二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.9.设221ln1xtytt，则212td ydx_.解析：2221d1d11dddd1tyyttttxtxtt1t2222ddd1ddddddddd1yytytttxtxxtt231tt 2212tdydx 10.11301ydyxdx_.解析：11301ydyxdx22130013001320111xxdxxdyxdxdyxx dx世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：11332013320321(1)(1)31 2(1)3 32219xd xx11.设arctansin()zxyxy，则(0,)|dz_.解析:dddzzzxyxx2(0,)1cos(),11 sin()zzyxyxxyxyx2(0,)1cos(),11 sin()zzxxyyxyxyy(0,)(1)ddzxyx12.斜边长为 2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为，则该平板一侧所受的水压力为_解析：建立直角坐标系，如图所示0202303=2()d2d122313aaaFgxaxxgaxxxagxxga13.设()yy x满足20yyy，且(0)0,(0)1yy，则0()dy xx_解析：特征方程2210 121 12()()xy xCC x e世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：000()d()2()d()2()(0)2(0)1y xxy xy xxy xy xyy 14.行列式011011110110aaaa_解析：2224201101101101111011011000011110111111000021214.00aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 三三、解答题解答题：1523 小题小题，共共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明解答写出文字说明、证证明过程或演算步骤明过程或演算步骤.15.（本题满分 10 分）求曲线1(0)(1)xxxyxx的斜渐近线方程.解析：1limlim(1)xxxxyxxxxlim(1)xxxxxlnln(1)elimexxxxx(lnln(1)lim exxxx世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：1 1ln1lim exxxx 1ln 11lim exxx111lim eexxx 1lim(e)xyx11lime(1)xxxxxx1lime(1)xxxxxxln11limeexxxxxln111limee1xxxxx1lim eln11xxxxx1011ln111limettttt1201ln1limetttt1120ln(1)1limee2tttt曲线的斜渐近线方程为111ee2yx16.（本题满分 10 分）已知函数()f x连续且100()lim1,()(),()xf xg xf xt dtg xx求并证明()0g xx 在处连续.世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：解析：因为0()lim1xf xx0(0)lim()0 xff x所以10(0)(0)0gfdt因为1001()()()xg xf xt dtxtuf u dux当0 x 时，02()()()xxf xf u dug xx当0 x 时，02000()()(0)1()1(0)limlimlim022xxxxf u dug xgf xgxxx02(),0()1,02xf u duxxg xx又因为2000()lim()lim()xxxxf xg xf u dux020()()11lim122xxf u duf xxx()0g xx在处连续17.（本题满分 10 分）求二元函数33(,)8f x yxyxy的极值解析：求一阶导可得22324fxyxfyxy令100601012fxxxfyyy可得求二阶导可得2222226148fffxyxx yy 当0,00.1.0 xyABC 时.世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：20ACB故不是极值.当11612xy时1.1.4.ABC 2110.10,6 12ACBA 故且极小值极小值33111111,866 1261212216f 18.已知222122()()1xxf xx fxx，求()f x，并求直线12y，32y 与函数()f x所围图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。解析：222122()1xxf xx fxx 222211211122111xxxff xxxxxx22x 得2()1xf xx222321223132213 3134412131244xVdxx世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：19.（本题满分 10 分）平面 D 由直线1,2,xxyxx 与轴围成，计算22.Dxydxdyx解析：积分区域如图：22d dDxyx yx24cos10cosddcosrr rr2cos2401cos11dcos2r420113d2coscos3440033secdsec dtan22 244003sectantan sec d2 24032(sec-1)sec2d 3440032secdsec d2 4340032secdln|sectan|2 34032secdln212 所以34021secdln2122 22321d dln21222Dxyx yx世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：32ln21420.（本题满分 11 分）设函数21().xtf xe dt证：存在2(1,2),()(2);fe（2）证：存在2(1,2),(2)ln2.fe 证明（1）构造辅助函数21()()(2)(2)xtF xf x xxe dt显然(1)0,(2)0,()1,2(1,2),FFF x又在连续,上可导由罗尔定理知(1,2),()0F 使得又因为2221()(2)()(2)xtxxF xe dtxef xxe所以2()(2).fe令()lng xx由柯西中值定理得(1,2)使得22(2)(1)(2)1(2)(1)ln2nfffeegg即2(2)ln2fe21.（本题满分 11 分）设曲线()yf x可导，且()0(0)fxx，()f x的图象过原点 O曲线上任意一点 M 的切线与 X 轴交于 T，MPx轴，曲线(),yf x MP x轴围成的面积与MTP面积比为 3：2，求曲线方程.解析：设切点M坐标为(,)x y，则过M的切线方程为()Yyy Xx令0Y 得yXxy由题意得世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：0()d3122xf ttyyy整理并求导得2320yyy令yp ddpypy 代入上式得2d320dpyppy解得231pC y即231yC y 123ddyC xy13123+yC x C由(0)0y得20.C 1313yC x3yCx22.（本题满分 11 分）设 二 次 型222123123121323(,)222f x x xxxxax xax xax x经 可 逆 线 性 变 换112233xyxP yxy得22212312312,42g y yyyyyy y.（1）求a的值；（2）求可逆矩阵 P.解析：（1）令123(,)f x x x的矩阵111aaAaaaa123(,)f y yy的矩阵110110004B世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：A 与 B 合同.则()().r Ar B由于|0B，故()3r B，故|0A.而21|1(21)(1)01aaAaaaaaa解得12a 或1a.当1a 时，()1.r A 而()2.r B 故舍去所以12a .（2）当12a 时，利用配方法把123(,)f x x x化为规范形.22212312312132322231223232231223(,)13332244213()224f x x xxxxx xx xx xxxxxxx xxxxxx令31122233311223()2zxxxzxxzx即令11112233022001P1ZPX，则2212312(,)f x x xzz利用配方法把123(,)f y yy化为规范形.2222212312123123(,)24()4f y yyyyy yyyyy世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：令11223322zyyzyzy即令22110002.010PZP Y则2212312(,)f y yyzz.故12PXPY即112XP PY.所以112.PP P由于11211131102010023010001PP故1122123340133010PP P23.（本题满分 11 分）设A为 2 阶矩阵，(,)PA，其中是非零向量且不是A的特征向量.(1)证明P为可逆矩阵.(2)若260AA，求1P AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵.解析：(1)0.A且故.A与线性无关则(,)2rA则 P 可逆.(2)法一：由已知有2AAb 世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：于是2(,)(,)(,6)APAAAAAA10606(,),1111AP APP故有可逆0663201111A可得 与相似，又（）（）123,2 A可得的特征值也为-3，2 于是 A 可相似对角化方法二1P AP同方法一由260AA下面是证明 A 可相似对角化设2(6)0(3)(2)0AAEAEAE由20(6)0AAE x得有非零解故|(3)(2)|0AE AE得|3|0|2|0AEAE或若|(3)|0(2)02AEAEA则有故与题意矛盾|3|0|2|0AEAE故同理可得于是 A 的特征值为1232.A 有 2 个不同特征值故A相似对角化