专题6 作业答案（微分不等式）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 6 微分不等式的解题方法（作业答案）配套作业配套作业 作业作业 1(1996 年)证明：，其中.解解：即证时，时，令，故只需证明时，且时，即可.时，故单调递减；时，故单调递增.故，故单调递增.又由于，故时，且时，成立，证毕！作业作业 2(1995 年)设，且，请用两种方法证明：.解解 1：由于可导且，得，.又，故，证毕！解解 2：由于可导且，得，.令，易得，.故单调递增，又，得在单调递减，在单调递增.故，即，证毕！作业作业 3(李永乐，复习全书)设，证明：，当且仅当时等号成立.解解：本题主打一个搞心态，方法很简单，但就是难算！两边取对数，等价于证明：.令，.，但此时看不出的正负，故再次求导.，仍看不出的正负，故令，则，故递减，故时，故.故，仅在取等号.综上，有，当且仅当时等号成立.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 4 证明：，其中.解解：令，故等价于证明即可.不妨假设，并注意到，故只需证明即可.由拉格朗日中值定理，要证，只需证明即可.注意到，故只需证明单调递增即可！而时，故单调递增，证毕！作业作业 5(凯哥，每日一题)设，证：时，.解解：本题难度较大.故单调递增，故.两边乘以，得，即 故单调递增，故，故.这与我们最终要证的结论非常相近了！由均值不等式，故，故只需再证明即可.令，故递增，故时.故成立.综上，.