专题5 中值定理中的解题方法（紧密）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 5 中值定理的解题方法（紧密）以下的 7 个考法，涵盖了过去 37 年考研数学的中值定理中几乎所有的重要题型吃透，高分吃透，高分！题型一、基本定理及其证明题型一、基本定理及其证明.2（一）费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、积分中值定理.2（二）泰勒中值定理.3 题型二、如何构造辅助函数？题型二、如何构造辅助函数？.3（一）观察法.3（二）公式法.4（三）微分方程反解 C 法.5 题型三、双中值问题题型三、双中值问题.5（一）未要求两个中值不同.5（二）要求两个中值不同.6 情形一：每个区间上，各产生一个中值.6 情形二：区间分段点成为了第一个中值，然后再产生第二个中值.7 题型四、泰勒中值定理的相关证明题型四、泰勒中值定理的相关证明.7（一）利用泰勒中值定理，证明含有高阶导数的问题.7（二）利用泰勒中值定理，进行误差的精确估计.8 题型五、辅助多项式法题型五、辅助多项式法.8 题型六、计算中值题型六、计算中值中参数中参数的极限的极限.8（一）具体函数中的参数.9（二）抽象函数中的参数.9 题型七、广义罗尔定理题型七、广义罗尔定理.9（一）有限区间的广义罗尔定理.9（二）无限区间的广义罗尔定理.9 配套作业配套作业.10 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 题型一题型一、基本定理及其证明基本定理及其证明（一）费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、积分中值定理（一）费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、积分中值定理 例题例题 1(教材)叙述并证明费马引理费马引理.例题例题 2(教材)叙述并证明罗尔定理罗尔定理.例题例题 3(2009 年)叙述并证明拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理（这只是当年的第 1 问，第 2 问是证明导数极限定理）注注：仿照拉格朗日中值定理的证明，我们可以轻松解决下面的问题 类题(郑华盛，一题多解 300 例)设在区间上连续，在内可导.证明：，使得.例题例题 4(2008 年)叙述并证明积分中值定理积分中值定理.注注：教材里的积分中值定理，是属于闭区间，其证明方法是用介值定理；但是此处我们用拉格朗日中值定理证明出了积分中值定理，发现 的范围可以加强到开区间.由于开区间更小、更精确，所以是一个比更强的结论.所以，我以后在讲涉及到积分中值的题目时，一律默认 在开区间内，不再重复强调.类题(2010 年)设在二阶可导，证明：，.注注：见到不同点处的函数值之和，往往可以使用介值定理，将它们合并为同一个点处的函数值.例题例题 5(教材)叙述并证明柯西中值定理柯西中值定理.注注：仿照柯西中值定理的证明，我们可以轻松解决下面的问题 类题(汤家凤，1800 题)设和在连续，可导，证明：.通过对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明，我们已经初步尝试到“构造辅助函数”的威力.如果要证明的结论是一个含有的等式时，我们往往需要构造辅助函数，然后对在区间上使用罗尔定理，得到，最后对变形、化简，即可得到欲证结论.所以，我们的核心任务之一，就是准确找到每个欲证结论所对应的辅助函数.后面我们会反复强调：构造辅助函数的关键，在于“去思考你要证的东西是怎么来的”.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（二）泰勒中值定理（二）泰勒中值定理 1.带佩亚诺余项的泰勒展开带佩亚诺余项的泰勒展开 若在处 阶可导，则对于的邻域内的任何一个，均有如下泰勒展开：其中叫做佩亚诺余项，它不够精确，只能确定出余项是的高阶无穷小，但是该余项具体有多大，用佩亚诺余项是无法精确估计的.2.带拉格朗日余项的泰勒展开带拉格朗日余项的泰勒展开 若在的邻域内阶可导，则对该邻域内的任何一个，均有如下泰勒展开：其中 介于 和之间（即或），且叫做拉格朗日余项.很显然，拉格朗日余项是更精确的余项，它不仅也能表明余项是的高阶无穷小，还给出了余项的具体形式，这便于我们对余项做各种估计.当然，拉格朗日余项虽然更精确，但它所需的条件也更加苛刻，同样都是展开到佩亚诺余项只需要在处 阶可导即可，而拉格朗日余项需要在的邻域内阶可导.例题例题 6(教材)请叙述并证明带佩亚诺余项的泰勒中值定理带佩亚诺余项的泰勒中值定理.例题例题 7(教材)请叙述并证明带拉格朗日余项的泰勒中值定理带拉格朗日余项的泰勒中值定理.题型二题型二、如何构造辅助函数？、如何构造辅助函数？（一）观察法（一）观察法 请记住：构造辅助函数的关键，在于“去思考你要证的东西是怎么来的”.例题例题 8 请思考，如果欲证结论是下面的式子时，我们需要构造怎样的辅助函数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例题例题 9(方浩，10 套卷)设在可导，.证明：.注注 1：本题在构造辅助函数时，有两种不同的思维方式，第一种是想到，第二种是先去分母，然后联想到，这两种思维方式构造出的辅助函数其实是相同的.注注 2：请思考，本题有没有秒杀解法？考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 10(1995 年)设和在二阶可导，证明：(1)在内，；(2)，使得.例题例题 11(2017 年)已知二阶可导，且，证明：在至少两个根.例题例题 12(张宇，1000 题)设和在二阶可导，证明：存在，使得.（二）公式法（二）公式法 有一类题，特别受到命题人的青睐，即“证明：存在，使得”.可以这么说拿下了这一类问题，中值定理辅助函数的构造，你就彻底入门了！例题例题 13 探索形如“证明：存在，使得”的问题，应该如何构造辅助函数.例题例题 14 若欲证结论为下列的等式，请利用上题的结果，回答出每个问题应该构造什么辅助函数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)例题例题 15(汤家凤，高数辅导讲义)设在连续，可导，.证明：.例题例题 16(2013 年)设奇函数在具有二阶导数，且，证明：(1)存在，使得；(2)存在，使得.例题例题 17(1999 年)设在连续，在可导，.证明：对，均存在，使得.类题(姜晓千，压轴 150)设在上二阶可导，.证明：存在，使得.例题例题 18(凯哥，每日一题)在上阶可导，证明：存在，使得.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（三）微分方程反解（三）微分方程反解 C 法法 在草稿纸上，将欲证结论里的 改为，然后解这个微分方程，求出通解以后，反解任意常数，并将放到等号左边，则此时右边就是我们需要的辅助函数.例题例题 19(汤家凤，高数辅导讲义)设在连续，可导，.证明：，使得.题型三题型三、双中值问题双中值问题（一）未要求两个中值不同（一）未要求两个中值不同 如果欲证结论中含有两个中值 和，但是未要求，这种题非常简单，只需以下三步(1)将欲证结论中，和 里相对更复杂的那个中值单独拎出来分析，去思考它是由哪个函数用完拉格朗日中值定理以后或者由哪一对函数用完柯西中值定理以后的结果，然后将其还原；(2)将还原以后的式子，稍作变形（或者将题干条件代入），变形以后，重新使用一次中值定理，便可出现另一个中值了；(3)最后，根据等式的传递性，即可证出欲证结论.例题例题 20(方浩，通关教程)设在可导，.证明：.例题例题 21(1998 年)设在连续，可导，且.证明：，使得.例例题题 22(汤家凤，1800 题)设在连续，可导，.证明：，使得.例例题题 23(张宇，1000 题)设在二阶连续可导，.证明：.注注 1：这个方法研究到现在，相信大家已经融会贯通了，甚至摩拳擦掌的准备去秒杀辅导书中的同类题.但是在我看来，这种题是有但是在我看来，这种题是有 bug 的的因为题中没有限定这些中值必须不同，那么，看好了：例题 20 中，若取，则欲证结论变成，令，即可证出结论；例题 21 中，若取，则结论退化为在上的拉格朗日中值定理，显然成立，证毕；例题 22 中，若取，恒成立，证毕；例题 23 中，若取，代入得.结合，对左边拉格朗日即可.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 注注 2：看了注 1 的新解法以后，总会有人觉得不可思议，甚至心里会有这种疑惑“题干没说这些中值可以相等啊，你凭什么让它们相等，你这不是相当于把题目都改了吗？”(1)首先，题目没说这些中值可以相等，也没说必须不等，题目只是让你证明“存在这样的一些中值，使得等式成立”即可。也就是说，我如果令这些中值相等以后，发现结论也可以成立，那么我不仅证明了这样的中值是存在的，而且证明了它们“在相等的前提下也能存在”，这是一个更强的结论！打个比方，比如某题让你证明某方程有解，结果你直接把解等于几求出来了，那不也是证出来了吗？同理，如果你能够证明出这些中值不仅存在，而且还互不相等，那么也是证明了更强的结论！(2)其次，就算使用参考答案给出的“标准解法”，也没有证出这些中值一定不相同！因为两次中值定理都是在同一个区间上使用的，所以且，这样得到的中值本来就可能相等。所以，如果你认为我的新解法是错的，那你所谓的标准解法其实也是错的！当然，这样的新解法也有一个弊端，那就是既然令中值相等以后，结论增强了，那么很有可能增强后的结论你证不出来了！所以，秒杀方法有风险.（二）要求两个中值不同（二）要求两个中值不同 情形一情形一：每个区间上，各产生一个中值每个区间上，各产生一个中值 如果题目中还明确要求了，那么就不能在同一个区间使用两次中值定理了（否则 可能等于）所以，我们的解决方法就是引入一个分割点，将区间拆分成和，然后在区间和上各使用一次中值定理，使得，由于两个区间没有交集，那么自然就保证了.很显然，这种题型中，分段点的选取是核心，我们一般都采用“待定法”去倒推！该思想完全适用于 3 个中值甚至 个中值的题目.例题例题 24(2010 年)已知在连续，可导，且.证明：，使得.例题例题 25(徐兵，证明题 500 例)设在连续，可导，.证明：(1)，使得；(2)且，使得.类题(徐兵，证明题 500 例)在可导，.证明：.（本题证明方法完全类似，留做作业）例题例题 26(2005 年)设在连续，可导，.证明：(1)，使得；(2)且，使得.类题(竞赛)设在连续，在可导，.证明：(1)存在，使得；(2)存在两个不同的点，使得.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例例题题 27(张宇，1000 题)设在连续，可导.证明：且，使得.情形二情形二：区间分段点成为了第一个中值，然后再产生第二个中值区间分段点成为了第一个中值，然后再产生第二个中值 例题例题 28(李艳芳，900 题)证明：在区间内存在三个不同的点，使得 类题(竞赛)在连续，证明：存在互异的三个数，使得 题型四题型四、泰勒中值定理泰勒中值定理的的相关相关证明证明（一）利用泰勒中值定理，证明（一）利用泰勒中值定理，证明含有高阶导数的问题含有高阶导数的问题 如果要证明的结论中出现了 处的高阶导，那么除了反复使用罗尔定理以外，还可以尝试泰勒展开.一般而言，当欲证结论中出现了 处的高阶导时，就可以考虑使用带拉格朗日余项的泰勒展开了.在具体操作中，最重要的就是选取恰当的展开点和被展开点（即和）.观察，就不难发现，如果题干中给出了同一点的函数值、一阶导、二阶导等信息，那么就可以将这个点选作，这样就能充分利用条件中的信息了.所以，我们可以总结出选取 和的总原则总原则“选取题干中导数信息多的点作为选取题干中导数信息多的点作为；而那些只知道函数值信息，不知道导数信息的点作为；而那些只知道函数值信息，不知道导数信息的点作为”当然，有时也会选取其它的展开方式，如将两端点均在中点处展开、将中点分别在两个端点处展开、两端点处相互展开、端点在极值点处展开、端点在任意点处展开，等等 总之，需要具体情况具体分析，不能一概而论，但应先遵循“总原则”.例题例题 29(1999 年)设在上具有三阶连续导数，.证明：存在，使得.注注：由导数介值定理可知，这里的“三阶连续可导”可弱化为“三阶可导”，结论仍然成立.例题例题 30(余丙森，1000 题)设在二阶可导，.证明：.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 31(汤家凤，高数辅导讲义)设在的邻域内 4 阶可导，点 是该邻域内异于的点，且，.证明：.注注：从这个例子可以看出，如果题干中没有告诉任何具体点的导数信息，那么可以观察欲证结论，同样也能得出 和应该如何选取.这种思想还可以解决下面这道类题，它们的方法一模一样.例题例题 32(汤家凤，高数辅导讲义)在笔直的道路上，一辆汽车从启动到刹停用单位时间走完了单位路程.证明：至少有一个时间点，其加速度的绝对值不小于 4.注注：对于这种端点处的函数、导数信息都已知的题目，初学者可能会选择“两端点处相互展开”的方法，但是这样不够精确.为了得到更精确的估计，通常是将中点在端点处展开，充分利用“对称美”.例题例题 33(1996 年)设在二阶可导，.证明：恒成立.类题(李正元，复习全书)设在三阶可导，且，恒成立，其中为非负常数.证明：在有界.（二）利用泰勒中值定理，进行误差的精确估计（二）利用泰勒中值定理，进行误差的精确估计 例题例题 34(蒲和平，竞赛教程)证明：.题型五题型五、辅助多项式法辅助多项式法 例题例题 35(凯哥，每日一题)设在二阶可导，.证明：存在，使得.例题例题 36(2019 年)设在二阶可导，.证明：存在，使得.题型题型六六、计算中值计算中值 中参数中参数的极限的极限 预备知识预备知识：若，则 还可以写成，其中.这种写法的好处是，能很方便的通过 的取值，看出 在区间内的具体位置.比如，当时，表示 在 和 的中点处；当时，表示 在 和 的三等分点处（且靠近）.而有一类题，就是计算 这种题的思想，就是想办法将参数 从中“剥离”出来.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）9 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（一）具体函数中的参数（一）具体函数中的参数 例题例题37(汤家凤，高数辅导讲义)设，求.（二）抽象函数中的参数（二）抽象函数中的参数 例题例题 38(2001 年)设在内具有二阶连续导数，且，证明：(1)对于内的任意，存在唯一的，使得成立；(2).例题例题 39(徐兵，证明题 500 例)设函数有阶的连续导数，且满足以下的展开式 其中，且.证明.题型题型七七、广义罗尔定理、广义罗尔定理（一）有限区间的广义罗尔定理（一）有限区间的广义罗尔定理 例题例题 40(定理)设在可导，且，则存在，使得（二）无限区间的广义罗尔定理（二）无限区间的广义罗尔定理 例题例题 41(定理)设函数在可导，且，则存在，使得.例题例题 42(李林，880 题)设在连续，在可导，且.证明：存在，使得.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）10 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 配套作业配套作业 作业作业 1(教材)请分别叙述带佩亚诺余项和拉格朗日余项的泰勒中值定理，并进行证明.作业作业 2(武忠祥，十七堂课)在二阶可导，.证明：.作业作业 3(汤家凤，1800 题)设在上连续，在内可导，且同号.证明：，使得.作业作业 4(李艳芳，900 题)设，在连续，可导，且.证明：，使得.作业作业 5(徐兵，证明题 500 例)在可导，.证明：.作业作业 6(李正元，复习全书)已知在三阶连续可导.证明：，.作业作业 7(张宇，1000 题)在可导，且.证明：存在，使得.