专题3 导数定义中的解题方法（留白）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 3 导数定义中的解题方法（留白）以下的 6 个考法，涵盖了过去 37 年考研数学的导数定义中几乎所有的重要考法吃透，高分吃透，高分！一、复杂函数在具体一点处的导数一、复杂函数在具体一点处的导数.2 二、抽象函数可导性的判断二、抽象函数可导性的判断.2 三、证明一个函数可导三、证明一个函数可导.4 四、分段函数在分段点的导数四、分段函数在分段点的导数.4 五、抽象函数的极限能洛必达吗？能洛几次？五、抽象函数的极限能洛必达吗？能洛几次？.6 六、导函数本身具有的独特性质六、导函数本身具有的独特性质.6（一）导函数没有第一类间断点和无穷间断点.6（二）导数极限定理.7（三）导数零点定理（达布定理）.7 六、绝对值函数的可导性六、绝对值函数的可导性.8 配套作业配套作业.9 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、复杂函数在具体一点处的导数一、复杂函数在具体一点处的导数 例题例题 1(2012 年)设，则()类题(李艳芳，900 题改编)，则 .二、抽象函数可导性的判断二、抽象函数可导性的判断 例题例题 2(2001 年)设，则在点可导的充要条件为()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 类题(李艳芳，900 题)设，则在点可导的充要条件为()注注：以上两题，如果已知存在，那么 D 选项的极限就都可以拆开，并且可凑成导数定义.例题例题 3(1996 年)设在内有定义，时有，则必是的()类题(汤家凤，1800 题)设在的邻域内有定义，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 三三、证明一个函数可导、证明一个函数可导 例题例题 4(徐兵，证明题 500 例)设函数，在有定义，且同时满足以下两个条件：(1)；(2).证明：可导，且.四四、分段函数在分段点的导数分段函数在分段点的导数 例题例题 4(李正元，复习全书)设在具有一阶连续的导数，存在.若，求并证明在连续.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 5(李正元，复习全书)，求并讨论是否存在？例题例题 6(2016 年)已知函数，则()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 五五、抽象函数的极限能洛必达、抽象函数的极限能洛必达吗？能洛吗？能洛几次？几次？例题例题 7(张宇，1000 题)已知二阶可导，下列说法中，正确的个数是()六六、导函数本身具有的独特性质、导函数本身具有的独特性质（一）导函数没有第一类间断点和无穷间断点（一）导函数没有第一类间断点和无穷间断点 例题例题 8（导函数的间断点）若在区间 上处处可导，且导函数为.(1)请举例：可以有振荡间断点；(2)请证明：不存在第一类间断点和无穷间断点.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 类题(李永乐，复习全书)设在的某邻域内定义，在的某去心邻域可导，则()（二）导数极限定理（二）导数极限定理 例题例题 9（导数极限定理，2009 年）证明下列“导数极限定理”设在连续、在的去心邻域可导，且，则存在，且.注注：类似的，还有“单侧导数极限定理”.（三）导数零点定理（达布定理）（三）导数零点定理（达布定理）例题例题 10（导数零点定理）证明：导函数即使不连续，仍然满足“零点定理”，即 设在区间可导，且，则，使得.重要推论：若在区间 上可导，且，则必有或，故单调！考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 11（导数介值定理）证明：导函数即使不连续，仍然满足“介值定理”，即 设在可导，为介于和之间的任意实数，则，使得.重要推论：若在区间 上可导，且，则必有或.六六、绝对值函数的、绝对值函数的可导性可导性 例题例题 12(李永乐，660 题)设在处可导，则在点处不可导的充分必要条件是()例题例题 13(1998 年)函数的不可导点的个数是()注注：绝对值函数，本质上也可以看成是分段函数，其分段点也就是绝对值里的函数的零点.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）9 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 类题(李永乐，660 题)函数在上不可导点的个数为()配套作业配套作业 作业作业 1(李林，880 题)，则 .作业作业 2(李永乐，330 题)设在的某邻域有定义，则极限存在 是在处可导的 条件.作业作业 3(李艳芳，900 题)，则使得连续的最高阶数 等于 .考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）10 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 4 函数的不可导点是 .作业作业 5(汤家凤，1800 题)设存在，求 作业作业 6 设，其中连续.(1)讨论在点处的连续性与可导性；(2)求.