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数学(三)试题 第 1 页(共 14 页)2012 年全国硕士研究生入学统一考试 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】：【答案】：C【解析】：【解析】：221lim1xxxx，所以1x 为垂直的 22lim11xxxx，所以1y 为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2）设函数2()(1)(2)()xxnxf xeeen，其中n为正整数，则(0)f（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn【答案】：【答案】：A【解析】：【解析】：222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxxxnxxxnxfxe eeneeeneenen 所以)!1()1()0(1nfn（3）设函数)(tf连续，则二次积分rdrrfd2cos2220)(=（）（A）dyyxfyxdxxxx)(2242222022（B）dyyxfdxxxx)(22422022（C）dxyxfyxdyyy)(22411222022数学(三)试题 第 2 页(共 12 页)（D）dxyxfdyyy)(224112022【答案】：【答案】：（B）【解析】：【解析】：由22yxx解得y的下界为22xx，由222 yx解得y的上界为24x.故排除答案（C）（D）.将极坐标系下的二重积分化为X型区域的二重积分得到被积函数为)(22yxf，故选（B）.（4）已知级数11sin)1(nnnn绝对收敛，12)1(inn条件收敛，则范围为（）（A）210（B）121（C）231（D）223【答案】：（【答案】：（D）【解析】：【解析】：考察的知识点是绝对收敛和条件收敛的定义及常见的p级数的收敛性结论.11sin)1(innn绝对收敛可知23；12)1(inn条件收敛可知2，故答案为（D）（5）设1234123400110,1,1,1cccc 其中1234,c c c c为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）123,（B）124,（C）134,（D）234,【答案】：【答案】：（C）【解析】：由于【解析】：由于134113401111,011011cccc ，可知134,线性相关。故选（C）（6）设A为 3 阶 矩 阵，P为 3 阶 可 逆 矩 阵，且1112P AP，123,P ，大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214数学(三)试题 第 3 页(共 14 页)1223,Q 则1Q AQ（）（A）121（B）112（C）212（D）221【答案】：【答案】：（B）【解析】：【解析】：100110001QP，则11100110001QP，故11100100100110011101101101110100100100120012Q AQP AP 故选（B）。（7）设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间0,1上的均匀分布，则221P XY（）（A）14 （B）12 （C）8 （D）4【答案】：【答案】：（D）【解析】：【解析】：由题意得，1,01,01,0,.XYxyf x yfx fy其它221=,DP XYf x y dxdy，其中D表示单位圆在第一象限的部分，被积函数是1，故根据二重积分的几何意义，知221=4P XY，故选（D）.（8）设1234,XXXX为来自总体21,0N的简单随机样本，则统计量12342XXXX的分布（）（A）0,1N（B）1t（C）21（D）1,1F【答案】：【答案】：（B）【解析】：【解析】：从形式上，该统计量只能服从t分布。故选B。数学(三)试题 第 4 页(共 12 页)具体证明如下：1212234342222XXXXXXXX，由正态分布的性质可知，122XX与3422XX均服从标准正态分布且相互独立，可知 122342122XXtXX。二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.（9）1cossin4lim tanxxxx_。【答案】：【答案】：-2e【解析】：【解析】：41limtan11cossincossin4lim tanxxxxxxxxe41limtan1cossinxxxx=4tantan4limcossinxxxx=4tan1tantan44lim-2sin4xxxx=41tantan44lim-24xxxx=2-2=-2所以41limtan11cossincossin4lim tanxxxxxxxxe=-2e（10）设函数ln,1(),()21,1x xf xyff xxx，求dydxx=e_。大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214数学(三)试题 第 5 页(共 14 页)【答案】：【答案】：e1【解析】：【解析】：00()()(0)(0)1(0)xxdyff xfxfffffdx由()f x的表达式可知 0(1)2ff，可知edxdyx10（11）函数(,)zf x y满足2201(,)22lim0(1)xyf x yxyxy，则(0,1)dz【答案】：【答案】：2dxdy【解析】：【解析】：由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，即22(,)22(1)f x yxyoxy，所以(0,1)2zx，(0,1)1zy，故(0,1)2dzdxdy（12）由曲线4yx和直线yx及4yx在第一象限中所围图形的面积为_【答案】：【答案】：4ln2【解析】：【解析】：被积函数为 1 的二重积分来求，所以 4240244yyyySdydxdydx334ln24ln222（13）设A为 3 阶矩阵，3A,*A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则*BA _。【答案】：【答案】：-27【解析】：【解析】：由于12BE A，故*121212|3BAE A AA EE，所以，*31212|3|3|27*(1)27BAEE.（14）设,A B C是随机事件，,A C互不相容，1()2P AB,1()3P C,则()P ABC_。【答案】：【答案】：34【解析】：【解析】：由条件概率的定义，P ABCP AB CP C，其中 121133P CP C ，12P ABCP ABP ABCP ABC，由于,A C互不相容，即AC，0P AC，又 ABCAC，得0P ABC，代入得12P ABC，故34P AB C.群数学(三)试题 第 6 页(共 12 页)三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）计算22 2cos40limxxxeex【解析】：【解析】：222 2cos2 2cos2 2cos440001limlimlimxxxxxxxxeeeexx 240242240424022coslim22 124!lim()+12=lim1=12xxxxxxxxxo xxxo xx泰勒公式（16）（本题满分 10 分）计算二重积分xDe xydxdy，其中 D 是以曲线yx与1yx及 y 轴为边界的无界区域。【解析】：【解析】：由题意知，区域1(,)|01,Dx yxxyx，如图所示所以 1100limxxxxxDe xydxdydxe xydyy O1 x大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214数学(三)试题 第 7 页(共 14 页)112001001120001120001001100001lim21lim221lim21lim1221lim1221lim12211lim12(1)22xxxxxxxxxxxxxxxxxxe xydxxe xdxxe dxe x dxee xe xdxxdee xe dxee （17）（本题满分 10 分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为 10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为 x（件）和（y 件），且这两种产品的边际成本分别为220 x（万元/件）与y6（万元/件）。1）求生产甲乙两种产品的总成本函数),(yxC(万元)2）当总产量为 50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。3）求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。【解析】：【解析】：1）设成本函数为(,)C x y，由题意有：(,)202xxCx y，对 x 积分得，2(,)20()4xC x yxD y，再对 y 求导有，(,)()6yCx yD yy，再对 y 积分有，21()62D yyyc所以，221(,)20642xC x yxyyc又(0,0)10000C，故10000c，所以221(,)2061000042xC x yxyy2）若50 xy，则50(050)yxx，代入到成本函数中，有数学(三)试题 第 8 页(共 12 页)2221()206(50)(50)1000042336115504xC xxxxxx所以，令3()3602C xx，得24,26xy，这时总成本最小(24,26)11118C 3）总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32xC，表示在要求总产量为 50 件时，在甲产品为 24 件，这时要改变一个单位的产量，成本会发生 32 万元的改变。（18）（本题满分 10 分）证明：21lncos1(11)12xxxxxx 【解析】：【解析】：令 21lncos112xxf xxxx，可得 2222112lnsin11112lnsin1111lnsin11xxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx当01x时，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故 0fx，而 00f，即得21lncos1012xxxxx 所以21lncos112xxxxx。当10 x，有1ln01xx，22111xx，所以221sin01xxxx，故 0fx，即得21lncos1012xxxxx 可知，21lncos1(11)12xxxxxx （19）（本题满分 10 分）已知函数)(xf满足方程0)(2)()(xfxfxf及xexfxf2)()(1）求)(xf的表达式大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214数学(三)试题 第 9 页(共 14 页)2）求曲线dttfxfyx022)()(的拐点【解析】：【解析】：1）特征方程为022rr，特征根为2,121rr，齐次微分方程()()2()0fxfxf x的通解为xxeCeCxf221)(.再由()()2xfxf xe得21222xxxCeC ee，可知121,0CC。故()xf xe2）曲线方程为220 xxtyeedt，则2201 2xxtyxeedt，222022 1 2xxtyxxeedt令0y 得0 x。为了说明0 x 是0y 唯一的解，我们来讨论y在0 x 和0 x 时的符号。当0 x 时，222020,2 1 20 xxtxxeedt，可知 0y；当0 x 时，222020,2 1 20 xxtxxeedt，可知0y。可知0 x 是0y 唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线dttfxfyx022)()(在0 x 左右两边的凹凸性相反，可知0,0点是曲线dttfxfyx022)()(唯一的拐点。（20）（本题满分 10 分）设100010001001aaAaa，1100b（I）计算行列式A；（II）当实数a为何值时，方程组Ax有无穷多解，并求其通解.【解析】【解析】：（）4 141001000010101(1)10100100101001aaaaaaaaaaa （）2324210011001100101010101010100100010001000100010011001010100100001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有410a及20aa，可知1a 。数学(三)试题 第 10 页(共 12 页)此时，原线性方程组增广矩阵为11001011010011000000，进一步化为行最简形得10010010110011000000可知导出组的基础解系为1111 ，非齐次方程的特解为0100，故其通解为10111010k （21）（本题满分 10 分）已知1010111001Aaa，二次型123(,)()TTf x x xxA A x的秩为 2（I）求实数a的值；（II）求正交变换xQy将f化为标准形.【解析】：【解析】：1）由()()2Tr A Ar A可得，10101110110aaa 2）1123232221231223202,02222422444TTxfx A Axx x xxxxxxx xx x则矩阵202022224B202022260224EB 解得B矩阵的特征值为：1230;2;6对于110,0EB X解得对应的特征向量为：1111大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214数学(三)试题 第 11 页(共 14 页)对于222,0EB X解得对应的特征向量为：2110 对于336,0EB X解得对应的特征向量为：3112 将123,单位化可得：111131，211120，311162 123,Q （22）（本题满分 10 分）设二维离散型随机变量(,)X Y的概率分布为 YX0 1 2 0 140 141 0 130 2 1120 112（）求2P XY；（）求Cov(,)XY Y.【解析】：【解析】：X 0 1 2 P 1/2 1/3 1/6 Y 0 1 2 P 1/3 1/3 1/3 XY 0 1 2 4 P 7/12 1/3 0 1/12 数学(三)试题 第 12 页(共 12 页)（1）1120,02,1044P XYP XYP XY（2）cov,cov,cov,XY YX YY Ycov,X YEXYEXEY，其中22222545,1,1,13399EXEXEYEYDXEXEX 2252133DYEYEY,23EXY 所以，cov,0X Y，2cov,3Y YDY，2cov,3XY Y,0XY.（23）（本题满分 10 分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min,max,VX YUX Y.求（1）随机变量V的概率密度；（2）E UV.【解析】：【解析】：（1）X概率密度为,0,0,.xexf x其它分布函数为 1,0,0,.xexF x 其它X和Y同分布.由min,VX Y，min,1,VFvP VvPX YvP Xv Yv，而,X Y独立，故上式等于 221,0,1110,.vevP Xv P YvF v 其它故 22,0,0,.vVVevfvFv其它（2）同理，U的概率密度为：2 1,0,0,.uuUeeufu其它032 12uuEUuee du，20122vEVv edv，所以 31222E UVE UE V.大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214