1987数学三真题答案解析（试卷四）.pdf

一、判断题（每小题答对得一、判断题（每小题答对得 2 分，答错得分，答错得-1 分，不答得分，不答得 0 分，全题最低分，全题最低 0 分）分）(1)10limxxe（）(2)4sin0 xxdx（）(3)若级数1nna与1nnb均发散，则级数1()nnnab必发散 （）(4)假设D是矩阵A的r阶子式，且含D的一切1r 阶子式都等于 0，那么矩阵A的一切1r 阶子式都等于 0（）(5)连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于 0（）二、选择题（每小题二、选择题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分分.）(1)下列函数在其定义域内连续的是(A)（A）()lnsinf xxx（B）c0ossin0()xxxxf x（C）100010()xxxxxf x（D）0001()xxxf x(2)若函数 f(x)在区间(,)a b内可导，12,x x是区间内任意两点，且12xx，则至少存一点，使得（C）(A)()()()(),f bf afbaab.(B)111()()()(),f bf xfbxxb.(C)212112()()()(),f xf xfxxxx.(D)222()()()(),f xf afxaax.(3)下列广义积分收敛的是（C）（A）dxxxeln（B）exxdxln（C）exxdx2()ln（D）exxdxln(4)设 A 是 n 阶方阵，其秩 r n，那么在 A 的 n 个行向量中(A)(A)必有 r 个行向量线性无关(B)任意 r 个行向量线性无关1987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答数学试题参考解答数数 学（试卷）学（试卷）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(C)任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组(D)任意一个行向量都可以由其它 r 个行向量线性表示(5)若二事件A和B同时出现的概率P(A B)=0,则(C)(A)A 和 B 互不相容（互斥）(B)AB 是不可能事件(C)AB 未必是不可能事件(D)P(A)=0 或 P(B)=0三、计算下列各题（每小题三、计算下列各题（每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分）(1)求极限xxxxe10(1)lim.解：解：因1ln(1)(1)xxexxxxee，而ln(1)xxxexex（当0 x），故 000ln(1)limlimlim1xxxxxxxexeexx，从而 10lim(1)xxxxee.(2)已知1111ln22xxy，求y.解：解：22ln(11)ln(11)yxx，2222222 12 1ln1111xxxxyxx 212xx.(3)已知xyxyazrctg，求dz.解：解：222()()()()()()1()1()xyxy dxdyxy dxdydxyxydzxyxyxyxy22ydxxdyxy(4)求不定积分dxex21.解：解：令21xt，有2121(21 1)xtttttxedxe tdttee dtteecxec 四、（本题满分四、（本题满分 10 分）分）考虑函数sinyx(0/2)x，问：(1)t 取何值时，图中阴影部分的面积1s与2s之和12sss最小？(2)t 取何值时，12sss最大？解：解：因10sinsinsincos1tsttxdxttt，关注公众号【考研题库】保存更多高清资料22sin()sincossinsin22tsxdxtttttt，故122 sin2cossin12ssstttt,(0)2t.令0s，得s在(0,)2内的驻点4t.而()214s，()122s，(0)1s，因此4t时，s最小；0t 时，s最大.五、（本题满分五、（本题满分 6 分）分）将函数321()2xxf x展成x的级数，并指出收敛区间.解：解：因111111()(2)(1)121212f xxxxxxx，而011nnxx，(1,1)x，且0011()2212nnnnnxxx，(2,2)x，故1100111()(1)222nnnnnnnnf xxxx，其收敛区间为(1,1).六、（本题满分六、（本题满分 5 分）分）计算二重积分2xDe dxdy，其中D是第一象限中由直线yx和3yx围成的封闭区域.解：解：联立yx和3yx，可解得两曲线交点的横坐标 0 x 和1x，于是 222311300()12xxxxDxee dxdydxe dyxx e dx 七、（本题满分七、（本题满分 6 分）分）已知某商品的需求量 x 对价格 P 的弹性为 33p，而市场对商品的最大需求量为 1（万件），求需求函数.解：解：由弹性的定义，有33p dxpx dp，即23dxp dpx，于是有 3pxce，c为待定常数.由题意 0p 时，1x，故1c，因此3pxe.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料八、（本题满分八、（本题满分 8 分）分）解线性方程组773313343423411234313412xxxxxxxxxxxxx【123431820160 xxkxx，k 为任意常数】解：解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，有2143410103101130120831101000167073300000故原方程组与下方程组同解：132343826xxxxx ，令30 x，可得原方程组的特解(3,8,0,6)T.又显然原方程组的导出组与下方程组同解：1323420 xxxxx，令31x，可得导出组的基础解系(1,2,1,0)T.因此原方程组的通解为：1234(,)(3,8,0,6)(1,2,1,0)TTx x x xk，其中k为任意常数.九、（本题满分九、（本题满分 7 分）分）设矩阵A和B满足2ABAB，求矩阵B，其中A 423110123.解：解：因2ABAB，故2ABBA，即(2)AE BA，故1(2)BAEA3862962129十、（本题满分十、（本题满分 6 分）分）求矩阵A 312014101的实特征值及对应的特征向量.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料解：解：令0EA，即2(1)(45)0,可见矩阵A只有一个实特征值1.易见，线性方程组()0EA X的基础解系为(0,2,1)T，故A对应于实特征值1的特征向量为(0,2,1)Tk，（其中k为非零任意常数）.十一、（每小题十一、（每小题 4 分，满分分，满分 8 分）分）(1)已知随机变量 X 的概率分布为(1)0.2,(2)0.3,(3)0.5P XP XP X，试写出X的分布函数()F x.解：解：X的分布函数为()F x 0,0.2,0.5,1,323121xxxx.(2)已知随机变量 Y 的概率密度为000()2222yyef yayay,求随机变量YZ1的数学期望EZ.解：解：222222220011112()()222yyaayEZEf y dyedyedyYyy aaa.十二、（本题满分十二、（本题满分 8 分）分）设有两箱同种零件.第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品；第二箱内装有 30 件，其中18 件一等品.现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求:(1)先取出的零件是一等品的概率p；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q.解：解：设iB 取出的零件为第i箱中的，jA 第j次取出的是一等品，,1,2i j，显然12,B B为正概完备事件组，故全概公式得(1)11112121 101 182()()()()()2 502 305pP AP B P A BP B P A B；(2)12112121221 10 91 18 17276()()()()()2 50 492 30 291421P AAP B P AA BP B P AA B，于是，由贝叶斯公式得q 12211()690()0.48557()1421P A AqP A AP A.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料