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2016 全国研究生入学考试考研数学一解析 2016 全国研究生入学考试考研数学一解析 本试卷满分 150，考试时间 180 分钟 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上.（1）（1）若反常积分011badxxx收敛，则 1A a 且1b B1a 且1b 1C a 且1ab 1D a 且1ab【答案答案】：C【解析解析】：注意到1ax在0 x 为瑕积分，在x 为无穷限反常积分，11bx仅在x 为无穷限反常积分，所以1,1aab（2）（2）已知函数21,1()ln,1xxf xx x，则 f x一个原函数是（）21,1ln1,1xxA F xxxx BF x()=x-1()2,x 1x lnx+1()-1,x 1 C 21,1ln11,1xxF xxxx 21,1ln11,1xxD F xxxx【答案【答案】：D【解析解析】：由于原函数一定是连续，可知函数 F x在1x 连续，而 A、B、C中的函数在1x 处均不连续，故选 D。（3）（3）若22211yxx，22211yxx是微分方程 yp x yq x两个解，则 q x（）231Axx 231Bxx 21xCx 21xDx 【答案】：【答案】：A【解析】：【解析】：分别将22211yxx，22211yxx带入微分方程 yp x yq x，两式做差，可得 21xp xx.两式做和，并且将 21xp xx 带入，可得 q x 231xx（4）（4）已知函数,0()111,1x xf xxn nn，1,2,n（）A0 x 是 f x第一类间断点 B0 x 是 f x第二类间断点 C f x 在0 x 处连续但不可导 D f x在0 x 处可导【答案答案】：D【解析】：【解析】：000()limlim10 xxf xfxfxxx 000()limlim0 xxf xff xfxxx。当111xnn时，11f xnxn,由于1lim1nnn，由夹逼定理可知：0()lim1xf xfxx。故 f x在0 x 处可导，选 D。（5）（5）设,A B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）ATA与TB相似 B 1A与1B相似 C TAA与TBB相似 D1AA与1BB相似【答案答案】：C【解析】：【解析】：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得1,P APB两端取转置与逆可得：1TTTTP APB,111P A PB,111PAAPBB,可知 A、B、D均正确，故选择 C。（6）（6）设二次型22212312312231 3(,)444f x x xxxxx xx xx x，则123(,)2f x x x在空间直角坐标系下表示的二次曲面是（）大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 ()A单叶双曲面 ()B双叶双曲面()C椭球面 ()D柱面【答案答案】：()B【解析】：【解析】：求出二次型矩阵的特征值。设122212221A。2122212154221EA,从而可知二次型的正惯性指数为 1，负惯性指数为 2，从而二次型123(,)2f x x x表示双叶双曲面，故选择()B。（7）（7）设随机变量X为2(,)(0),XN 记2.pP X则（）()A p随着增加而增加 ()B p随着增加而增加 ()C p随着增加而减少 ()D p随着增加而减少【答案】：【答案】：()B【解析】：【解析】：将X标准化，22XpP XP XP 从而可知，p随着增加而增加（8）（8）随机试验E有三种两两不相容的结果123,A A A且三种结果发生的概率均为13，将试验E独立重复做两次，X表示 2 次试验中结果1A发生的次数，Y表示两次试验中结果2A发生的次数，则XY的相关系数为（）12A 13B 13C 12D 【答案答案】：A【解析解析】：可知二维离散型随机变量,X Y的联合分布律为 X Y 0 1 2 0 1/9 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 2 1/9 0 0 所以,12XYCov X YEXYEXEYDXDYDXDY 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.（9）（9）020ln 1sinlim_1 cosxxttt dtx.【答案答案】：12【解析解析】：原式为：212lim2)sin1ln(lim21)sin1ln(lim33030400 xxxxxxxdttttxxxx（10）（10）向量场A x,y,z()=x+y+z()i+xyj+zk，旋度_rotA【答案】：【答案】：()12ijkrot Ajykxyzxyzxy（11）（11）设 函 数,fu v可 微，,zz x y由 方 程221,xzyx f xz y确 定，则0,1_dz【答案答案】：0,12d zd xd y 【解析解析】：由一阶微分形式不变性，2212(1)22(,)(,)(,)zdxxdzydyxf xz y dxx fxz ydxdzx fxz y dy 将0,1,1xyz代入，20dxdzdy,所以，0,12dzdxdy （12）（12）设函数 2arctan1xf xxax，且 01f，则_a【答案答案】：12【解析解析】：33223311133f xxxo xxaxo xaxo x 01f，可知1136a，故12a 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 （13）（13）行列式100010_0014321【答案答案】：432234【解析解析】：令-1000-10=00-1432+14D 由展开定理地递推公式2433224,3,2DDDDD，故 4324234D（14）（14）设12,nX XX为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5X，参数置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则置信度为0.95的双侧置信区间为_.【答案】【答案】8.2,10.8 【解析】【解析】置信区间的中心为x，可知置信下限为8.2，故置信区间为8.2,10.8。三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）已知平面区域D=r,q()|2r 2 1+cosq(),-p2qp2，计算二重积分xdxdyD。【答案答案】：积分区域关于x轴对称，1D为x轴上方区域 3325)21615(316)221433232213(316)coscos3cos3(316cos)coscos3cos3(316cos2220432203220)cos1(2221dddrrdxdxdyxdxdyDD（16）设函数()y x满足方程20yyky，其中01k。（1）证明：反常积分0()y x dx收敛（2）若y 0()=1,y 0()=1，求0()y x dx的值【解析】：【解析】：（1）20yyky的特征方程为2+2+0k，所以12244=11,112kkk 由于01k，所以120,0，所以 111112k xk xy xCeC e 所以 12+12000 xxy x dxCedxCedx 又因为120,0，所以+0y x dx收敛（2）由（1）可知+120=1111CCy x dxkk，由于 01,01yy，所以1212111111CCCkCk 故+1203=1111CCy x dxkkk（17）设函数,f x y满足2,21x yf x yxex，且0,1fyy，tL是从点0,0到点1,t大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 的光滑曲线，计算曲线积分,tLf x yf x yI tdxdyxy，并求 I t的最小值。【答案答案】：由于2,21x yf x yxex，所以 2,x yf x yxey，由于0,1fyy，所以 0,=1fyyy，所以2,1x yf x yxey 由于,f x yf x ydxdydf x yxy，故 1,20,0,tttLf x yf x yI tdxdyf x yetxy 2 tI tet，21tIte，令 0,It 得2t 当2t 时，可知 0It，I t单调递减；当2t 时，可知 0It，I t单调递增；所以 I t在2t 时取得最小值，23I（18）设有界区域由曲面222xyz与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分2123Ixdydzydzdxzdxdy。【解析】：【解析】：由 Gauss 公式可得 10222=2232231212VVx yzIxdxdydzxdxdydzdzxdxdy （19）已知函数 f x可导，且 101,02ffx，设数列 nx满足11,2,nnxf xn，证明（1）级数11nnnxx绝对收敛；（2）limnnx存在且0lim2nnx。【解析】：【解析】：证明：（1）由 Lagrange 中值定理可知 111nnnnnnnxxf xf xfxx，其中n在nx与1nx之间。由于 102fx，所以1112nnnnxxxx，同理可知，121112nnnxxxx 注意到211112nnxx收敛，所以11nnnxx绝对收敛。（2）由于11nnnxx收敛，所以部分和数列112111nnnnnnSxxxxxxxx收敛，也即11limnnxx存在，所以limnnx存在。设limnnxa，则1limlimnnnnxf x，所以 af a。令 g xf xx，010g，12220202020202gffff，所以 g x在0,2上有一根，又 10gxfx，则 g x在,内唯一的根在0,2上。故01a，也即0lim2nnx。（20）设矩阵1112221,11112AaBaaa，当a为何值时，方程AXB无解，有唯一解，有无穷多解？在有解时，求解此方程。【解析解析】：（1）当0A 时，可知方程0AX 有唯一解 12Aaa即当1a 且2a 时方程有唯一解 1112211122210023441112001 10A Baaaaaaaa 令12220,12aa 所以方程组1Ax可解的1111,122Taa 方程组2Ax可解的2442,022Taaaa 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 所以12,X （2）当1a 时，方程AxB有无穷多解 方程组1Ax可解的111124,33Tk kk为常数 方程组2Ax可解的22221,-1-,Tk kk为常数 所以12,TX （3）当2a 时，方程AxB无解（21）(本题满分 11 分)已知矩阵000032110A.（1）求99A.（2）设三阶矩阵),(321B满足BAB 2，记),(321100B，将321,分别表示为321,的线性组合。【解析】：【解析】：（1）2112303200EA，可知A的特征值为：0,1,2。3100112230011000000A，则0的特征向量为322 111110220001001000AE，则1的特征向量为110 11021122210001002000AE，则2的特征向量为120 令311212200P，则1012P AP ,1AP P,则有 9999989999110010099991003110221 22222121212221 22220021000112APP（2）2BBA可知 10099BBA，即 99999810010099123123221 222221 222000，则991001122222，991002121 21 2，98993122222（22）(本题满分 11 分)设二维随机变量),(YX在区域2(,)|01,Dx yxxyx服从均匀分布，令YXYXU01（1）写出),(YX的概率密度.（2）问U与X是否相互独立，说明理由。（3）求XUZ的分布函数)(ZF.【解析】：【解析】：（1）D的面积31)(102dxxxS，则),(YX的概率密度其他0),(3),(Dyxyxf.（2）其他，010)(33),()(22xxxdydyyxfxfxxX xXXxxxxxdttfxF1110200)()(323 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 当0U 时，2300320111xP Xxxxxx，可知X与U有关，故不独立。（3）)(zUXPzZPzF 0|211|1210|01|1UzXPUzXPUzYXPUPUzUXPUP 其中323220000|03201,|143011111xxP Xx UxxxP Xx Uxxxxx 故322011|14(1)3(1)1212zP XzUzzzz 2300|0320111zP Xz Uzzzz.从而233220,0132,012()114(1)3(1),12221,2zzzzF zzzzz（23）设总体X的概率密度为233,0;0,xxfxelse，其中0,为未知参数，123,XXX为来自总体X的简单随机样本，123max,X,TXX。（1）求T的概率密度；（2）确定a，使得aT为的无偏估计.【解析】：【解析】：（1）T的分布函数为,)(321xXxXxXPxTPxFT 331)(xFxXPii （)(xF为X的分布函数）.则T的概率密度为82990()3()()0TxxfxF xf x其他.(2)1099)(099dxxdxxxfETT，则109)(aaETaTE，可知910a.大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214