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1 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题一、选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.(1)设函数()f x在,内连续，其中二阶导数()fx的图形如图所示，则曲线()yf x的拐点的个数为 ()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()fx的图形可得，曲线()yf x存在两个拐点.故选（C）.(2)设211()23xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则 ()(A)3,2,1abc (B)3,2,1abc (C)3,2,1abc(D)3,2,1abc【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，212xe、13xe为二阶常系数齐次微分方程0yayby的解，所以 2,1为特征方程20rarb的根，从而(12)3a ，1 22b ，从而原方程变为 2 32xyyyce，再将特解xyxe代入得1c .故选（A）(3)若级数1nna条件收敛，则 3x与3x依次为幂级数1(1)nnnnax的()(A)收敛点，收敛点 (B)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点(D)发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为1nna条件收敛，即2x 为幂级数1(1)nnnax的条件收敛点，所以1(1)nnnax的收敛半径为 1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故1(1)nnnnax的收敛区间还是(0,2).因而3x 与3x 依次为幂级数1(1)nnnnax的收敛点，发散点.故选（B）.(4)设D是第一象限由曲线21xy，41xy 与直线yx，3yx围成的平面区域，函数,f x y在D上连续，则,Df x y dxdy ()(A)13sin2142sin2cos,sindf rrrdr (B)1sin23142sin2cos,sindf rrrdr (C)13sin2142sin2cos,sindf rrdr(D)1sin23142sin2cos,sindf rrdr 【答案】（B）大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 3【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出 D 的图形，所以(,)Df x y dxdy 1sin23142sin2(cos,sin)df rrrdr，故选（B）(5)设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要条件为 ()(A),ad (B),ad (C),ad(D),ad【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A badadadaadd，由()(,)3r Ar A b，故1a 或2a，同时1d 或2d。故选（D）(6)设二次型123,f x x x 在正交变换为xPy 下的标准形为2221232yyy，其中123,Pe e e，若132,Qee e，则123,f x x x在正交变换xQy下的标准形为 ()(A)2221232yyy xyo 4(B)2221232yyy(C)2221232yyy(D)2221232yyy【答案】(A)【解析】由xPy，故222123()2TTTfx AxyP AP yyyy.且 200010001TP AP.100001010QPPC 200()010001TTTQ AQCP AP C 所以222123()2TTTfx AxyQ AQ yyyy。选（A）(7)若 A,B 为任意两个随机事件，则 ()(A)P ABP A P B (B)P ABP A P B(C)2)()()(BPAPABP (D)2)()()(BPAPABP【答案】(C)【解析】由于,ABA ABB，按概率的基本性质，我们有()()P ABP A且()()P ABP B，从而()()()2P AP BP AB，选(C).(8)设随机变量,X Y不相关，且2,1,3EXEYDX，则2E X XY()(A)3 (B)3 (C)5 (D)5【答案】(D)大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 5【解析】22(2)(2)()()2()E X XYE XXYXE XE XYE X 2()()()()2()D XEXE XE YE X 2322 1 2 25 ，选(D).二、填空题：二、填空题：914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.(9)20lncoslim_.xxx 【答案】12【分析】此题考查00型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：2000sinln(cos)tan1coslimlimlim.222xxxxxxxxxx 方法二：2222200001ln(cos)ln(1 cos1)cos112limlimlimlim.2xxxxxxxxxxxx (10)22sin()d_.1 cosxxxx【答案】24【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.【解析】22202sin2.1 cos4xx dxxdxx (11)若函数(,)zz x y由方程cos2xexyzxx确定，则(0,1)d_.z【答案】dx【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令(,)cos2zF x y zexyzxx，则(,)1 sin,(,)zxyzF x y zyzx Fxz F x y zexy 6 又当0,1xy时1ze，即0z.所以(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)yxzzFFzzxFyF ，因而(0,1).dzdx (12)设是 由 平 面1xyz与 三 个 坐 标 平 面 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域，则(23)_.xyz dxdydz【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得 10(23)66zDxyz dxdydzzdxdydzzdzdxdy，其中zD为平面zz截空间区域所得的截面，其面积为21(1)2z.所以 112320011(23)66(1)3(2).24xyz dxdydzzdxdydzzzdzzzz dz(13)n阶行列式20021202_.00220012【答案】122n【解析】按第一行展开得 1111200212022(1)2(1)2200220012nnnnnDDD 221222(22)2222222nnnnDD 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 7 122n (14)设二维随机变量(,)x y服从正态分布)0,1,0,1,1(N，则0_.P XYY【答案】12【解析】由题设知，(1,1),(0,1)XNYN，而且XY、相互独立，从而 0(1)010,010,0P XYYPXYP XYP XY 111111 01 022222P XP YP XP Y.三、解答题：三、解答题：1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)设函数 ln(1)sinf xxaxbxx，3()g xkx，若 fx与 g x在0 x是等价无穷小，求,a b k的值.【答案】,.abk 11123【解析】法一：原式30ln 1sinlim1xxaxbxxkx 2333330236lim1xxxxxa xo xbx xo xkx 2343301236lim1xaaba xbxxxo xkx 即10,0,123aaabk 111,23abk 法二：30ln 1sinlim1xxaxbxxkx 8 201sincos1lim13xabxbxxxkx 因为分子的极限为 0，则1a 2012 cossin1lim16xbxbxxxkx，分子的极限为 0，12b 022 sinsincos13lim16xbxbxbxxxk，13k 111,23abk (16)(本题满分 10 分)设函数 f x在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的0 xI，曲线=y f x在点00,xf x处的切线与直线0 xx及x轴所围成区域的面积恒为 4，且 02f，求 f x的表达式.【答案】f xx8()4.【解析】设 f x在点00,xf x处的切线方程为：000,yf xfxxx 令0y，得到000f xxxfx，故由题意，00142f xxx，即000142f xf xfx，可以转化为一阶微分方程，即28yy，可分离变量得到通解为：118xCy，已知 02y，得到12C，因此11182xy；即 84f xx.(17)(本题满分 10 分)大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 9 已知函数,fx yxyxy，曲线 C：223xyxy，求,f x y在曲线 C 上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为,f x y沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.,1,1xyfx yy fx yx ，故,1,1gradf x yyx，模为2211yx，此题目转化为对函数22,11g x yyx在约束条件22:3C xyxy下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对22(,)11d x yyx在约束条件22:3C xyxy下的最大值.构造函数：2222,113F x yyxxyxy 222 1202 12030 xyFxxyFyyxFxyxy ，得到12341,1,1,1,2,1,1,2MMMM.12348,0,9,9d Md Md Md M 所以最大值为93.(18)(本题满分 10 分)（I）设函数()()u x,v x可导，利用导数定义证明u x v xu x v xu x v x()()()()()()（II）设函数()()()12nu x,ux,ux可导，nf xu x u xu x12()()()()，写出()f x的求导公式.【解析】（I）0()()()()()()limhu xh v xhu x v xu x v xh 0()()()()()()()()limhu xh v xhu xh v xu xh v xu x v xh 00()()()()lim()lim()hhv xhv xu xhu xu xhv xhh ()()()()u x v xu x v x 10（II）由题意得 12()()()()nfxu x u xu x 121212()()()()()()()()()nnnux u xu xu x uxu xu x u xux (19)(本题满分 10 分)已知曲线 L 的方程为222,zxyzx起点为0,2,0A，终点为0,2,0B，计算曲线积分LdzyxdyyxzdxzyI2222)(）（【答案】22【解析】由题意假设参数方程cos2sincosxyz，:22 222(2sincos)sin2sincos(1 sin)sin d 22222sinsincos(1 sin)sind 22022 2sind2 (20)(本题满 11 分)设向量组1,23,为3R的一个基，113=2+2k，22=2，313=+1k.（I）证明向量组123为3R的一个基;（II）当 k 为何值时，存在非 0 向量在基1,23,与基123下的坐标相同，并求所有的.【答案】【解析】(I)证明：大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 11 12313213123,2+2,2,+1201,020201kkkk 2012102024021201kkkk 故123,为3R的一个基.（II）由题意知，112233112233,0kkkkkk 即 1112223330,0,1,2,3ikkkki 11312223133113223132+22+10+2+0kkkkkkkkkk 有非零解 即13213+2,+0kk 即101010020kk，得 k=0 11223121300,0kkkkkk 11131,0kkk (21)(本题满分 11 分)设矩阵02313312a A相似于矩阵12000031bB=.(I)求,a b的值；（II）求可逆矩阵P，使1P AP为对角矩阵.【解析】(I)()()311ABtr Atr Bab 12 0231201330012031 ABba 14235 abaabb(II)023100123133010123123001123AEC 12311231 1231231 C C的特征值1230,4 0时(0)0EC x的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)TT 5时(4)0EC x的基础解系为3(1,1,1)T A 的特征值1:1,1,5 AC 令123231(,)101011 P，1115P AP(22)(本题满分 11 分)设随机变量X的概率密度为 2ln2,0,0,0.xxf xx 对X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记Y为观测次数.(I)求Y的概率分布;(II)求EY 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 13【解析】(I)记p为观测值大于 3 的概率，则313228()lnxpP Xdx，从而12221171188nnnP YnCpppn()()()()，2 3,n 为Y的概率分布；(II)22212221777711288888nnnnnnnE Yn P Ynnnnn()()()()()()()()记212111()()nnS xnnxx，则2113222211nnnnnnS xnnxn xxx()()()()()，12213222111()()()()()nnnnxSxnnxxnnxxS xx，2222313222111()()()()()nnnnxS xnnxxnnxx S xx，所以212332422211()()()()()xxS xS xSxS xxx，从而7168E YS()().(23)(本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为：xf x1,1,(,)10,其他.其中为未知参数，12nx,x,x为来自该总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.【解析】(I)11112()(;)E Xxf xdxxdx，14 令()E XX，即12X，解得1121niiXXXn,为的矩估计量；(II)似然函数1()(;)niiLf x，当1ix时，11111()()nniL，则1ln()ln()Ln.从而dlnd1Ln()，关于单调增加，所以12minnXXX,为的最大似然估计量.大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214