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2014考研数学二真题答案【福利年免费资源www.fulinian.com】.pdf
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福利年免费资源www.fulinian.com 2014 考研 数学 二真题 答案 福利 免费资源 www fulinian com
数学(二)试题 第 1 页(共 10 页)2014 年全国硕士研究生入学统一考试 2014 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题 18 小题每小题 4 分,共 32 分 当 0 x时,若)(lnx21 ,11)cos(x 均是比x高阶的无穷小,则 的可能取值范围是()(A)),(2 (B)),(21 (C)),(121 (D)),(210【详解详解】xx221)(ln,是 阶无穷小,211211xx)cos(是 2阶无穷小,由题意可知121 所以 的可能取值范围是),(21,应该选(B)2下列曲线有渐近线的是(A)xxysin (B)xxysin2(C)xxy1sin (D)xxy12sin【详解详解】对于xxy1sin,可知1 xyxlim且01xxyxxsinlim)(lim,所以有斜渐近线xy 应该选(C)3设函数)(xf具有二阶导数,xfxfxg)()()(110,则在,10上()(A)当0)(xf时,)()(xgxf (B)当0)(xf时,)()(xgxf (C)当0 )(xf时,)()(xgxf (D)当0 )(xf时,)()(xgxf 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解详解 1】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断 显然xfxfxg)()()(110就是联接)(,(),(,(1100ff两点的直线方程故当0 )(xf时,曲线是凹的,也就是)()(xgxf,应该选(D)【详解详解 2】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义不熟悉的话,可令xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110,则010)()(FF,且)()(xfxF,故当 数学(二)试题 第 2 页(共 10 页)0 )(xf时,时,曲线是凹的,从而010)()()(FFxF,即0)()()(xgxfxF,也就是)()(xgxf,应该选(D)4曲线14722ttytx,上对应于1 t的点处的曲率半径是()()5010()10010 ()1010()105【详解详解】曲线在点)(,(xfx处的曲率公式 321)(yyK,曲率半径KR1 本题中422tdtdytdtdx,,所以tttdxdy21242,3222122tttdxyd,对应于1 t的点处13,yy,所以10101132)(yyK,曲率半径10101KR 应该选(C)5设函数xxfarctan)(,若)()(xfxf,则 220 xx lim()()1 ()32 ()21 ()31 【详解详解】注意(1)211xxf)(,(2))(arctan,33310 xoxxxx 时 时 由于)()(xfxf 所以可知xxxxffarctan)()(211,22)(arctanarctanxxx,3131333020220 xxoxxxxxxarxxxxxx)()(lim)(arctantanlimlim 6设),(yxu在平面有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有二阶连续偏导数,且满足02yxu及02222yuxu,则()(A)),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上;(B)),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部;大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 3 页(共 10 页)(C)),(yxu的最大值点在区域 D 的内部,最小值点在区域 D 的边界上;(D)),(yxu的最小值点在区域 D 的内部,最大值点在区域 D 的边界上【详解详解】),(yxu 在平面有界闭区域 D 上连续,所以),(yxu在 D 内必然有最大值和最小值并且如果在内部存在驻点),(00yx,也就是0yuxu,在这个点处xyuyxuByuCxuA222222,,由条件,显然02 BAC,显然),(yxu不是极值点,当然也不是最值点,所以),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上 所以应该选(A)7行列式dcdcbaba00000000等于(A)2)(bcad (B)2)(bcad (C)2222cbda (D)2222cbda【详解详解】20000000000000000)(bcaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 应该选(B)8 设321,均是三维向量,则对任意的常数lk,,向量31k,32l 线性无关是向量321,线性无关的(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)非充分非必要条件【详解详解】若向量321,线性无关,则(31k,32l)Klk),(),(3213211001,对任意的常数lk,,矩阵K的秩都等于 2,所以向量31k,32l 一定线性无关 而当000010001321,时,对任意的常数lk,,向量31k,32l 线性无关,但321,线性相关;故选择(A)数学(二)试题 第 4 页(共 10 页)二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)9 12521dxxx 【详解】【详解】11122832421212141521)(|arctan)(xxdxdxxx 10设)(xf为周期为 4 的可导奇函数,且2012,),()(xxxf,则)(7f 【详 解详 解】当20,x时,Cxxdxxxf 2122)()(,由00 )(f可 知0 C,即xxxf22)(;)(xf为周期为 4 奇函数,故1)1()1()7(fff 11设),(yxzz 是由方程4722zyxeyz确定的函数,则 2121,|dz 【详解详解】设4722zyxezyxFyz),(,1222122yzzyzyxyeFyzeFF,,当21 yx时,0 z,21zxFFxz,21zyFFyz,所以 2121,|dzdydx2121 12 曲 线L的 极 坐 标 方 程 为r,则L在 点22,),(r处 的 切 线 的 直 角 坐 标 方 程为 【详解详解】先把曲线方程化为参数方程sinsin)(coscos)(ryrx,于是在2处,20yx,,222|sincoscossin|dxdy,则L在点22,),(r处的切线方程为)(022xy,即.22xy 13一根长为 1 的细棒位于x轴的区间10,上,若其线密度122xxx)(,则该细棒的质心坐标 x 【详解详解】质心坐标201135121112210210231010dxxxdxxxxdxxdxxxx)()()()(大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 5 页(共 10 页)14设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),(的负惯性指数是 1,则a的取值范围是 【详解详解】由配方法可知 232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为 1,故必须要求 042a,所以a的取值范围是22,三、解答题 15(本题满分 10 分)求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112 【分析】先用等价无穷小代换简化分母,然后利用洛必达法则求未定型极限【详解详解】21121111111222121122112xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim 16(本题满分 10 分)已知函数)(xyy 满足微分方程yyyx122,且02 )(y,求)(xy的极大值和极小值【详解详解】解:把方程化为标准形式得到2211xdxdyy)(,这是一个可分离变量的一阶微分方程,两边分别积分可得方程通解为:Cxxyy333131,由02 )(y得32 C,即32313133xxyy 令01122yxdxdy,得1 x,且可知3222222211212)()()(yxyyxdxyd;当1 x时,可解得1 y,01y,函数取得极大值1 y;当1 x时,可解得0 y,02y,函数取得极小值0 y 数学(二)试题 第 6 页(共 10 页)17(本题满分 10 分)设平面区域004122yxyxyxD.,|),(计算 Ddxdyyxyxx)sin(22 【详解详解】由对称性可得 432112121212022222222DDDDdrrrddxdyxdxdyyxyxyxdxdyxyxydxdyxyxx sin)sin()sin()()sin()sin(18(本题满分 10 分)设 函 数)(uf具 有 二 阶 连 续 导 数,)cos(yefzx 满 足xxeyezyzxz222224)c o s(若0000)(,)(ff,求)(uf的表达式【详解详解】设yeuxcos,则)cos()(yefufzx,yeufyeufxzeufxzxxyxcos)(cos)(,)(cos2222;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)(sin)(,sin)(2222;xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)c o s(,可知 uufuf)()(4 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程 对应齐次方程的通解为:uueCeCuf2221)(其中21CC,为任意常数 对应非齐次方程特解可求得为uy41*故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221)(大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 7 页(共 10 页)将初始条件0000)(,)(ff代入,可得16116121CC,所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122)(19(本题满分 10 分)设函数)(),(xgxf在区间ba.上连续,且)(xf单调增加,10)(xg,证明:(1)baxaxdttgxa,)(0;(2)badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(【详解详解】(1)证明:因为10)(xg,所以baxdtdttgdxxaxaxa,)(10 即baxaxdttgxa,)(0(2)令 xadttgaaxaduufduugufxF)()()()()(,则可知0)(aF,且 xadttgafxgxgxfxF)()()()()(,因为,)(axdttgxa 0且)(xf单调增加,所以)()()(xfaxafdttgafxa 从而 0)()()()()()()()()(xfxgxgxfdttgafxgxgxfxFxa,bax,也是)(xF在ba,单调增加,则0)()(aFbF,即得到 badttgaadxxgxfdxxfba)()()()(20(本题满分 11 分)设函数101,)(xxxxf,定义函数列)()(xfxf 1,)()(xffxf12,),()(,xffxfnn1 设nS是曲线)(xfyn,直线01yx,所围图形的面积求极限nnnSlim【详解详解】xxxxxxxfxfxfxxxf21111111121)()()(,)(,,)(xxxf313,数学(二)试题 第 8 页(共 10 页)利用数学归纳法可得.)(nxxxfn1)ln()()(nnndxnxndxnxxdxxfSnn11111111101010,111nnnSnnn)ln(limlim 21(本题满分 11 分)已知函数),(yxf满足)(12yyf,且yyyyyfln)()(),(212,求曲线0),(yxf所成的图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积【详解详解】由于函数),(yxf满足)(12yyf,所以)(),(xCyyyxf22,其中)(xC为待定的连续函数 又因为yyyyyfln)()(),(212,从而可知yyyCln)()(21,得到xxyyxCyyyxfln)()(),(212222 令0),(yxf,可得xxyln)()(212且当1 y时,2121xx,曲线0),(yxf所成的图形绕直线1 y旋转所成的旋转体的体积为)ln(ln)()(45222121212dxxxdxyV 22(本题满分 11 分)设矩阵A=1-23-401-11120-3,E 为三阶单位矩阵(1)求方程组0 AX的一个基础解系;(2)求满足EAB 的所有矩阵 B【详解详解】(1)对系数矩阵 A 进行初等行变换如下:310020101001310011104321134011104321302111104321A,得到方程组0 AX同解方程组 大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 9 页(共 10 页)43424132xxxxxx 得到0 AX的一个基础解系13211 (2)显然 B 矩阵是一个34 矩阵,设444333222111zyxzyxzyxzyxB 对矩阵)(AE进行进行初等行变换如下:141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE 由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为 1321011214321cxxxx,1321043624321cyyyy,1321011134321czzzz,即满足EAB 的所有矩阵为 321321321321313431212321162ccccccccccccB 其中321ccc,为任意常数 23(本题满分 11 分)证明n阶矩阵111111111与n00200100相似 数学(二)试题 第 10 页(共 10 页)【详解详解】证明:设 A 111111111,Bn00200100 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下:1111111111 nnAE)(,所以 A 的n个特征值为0321nn,;而且 A 是实对称矩阵,所以一定可以对角化且00 A;1002010 nnnBE)(所以 B 的n个特征值也为0321nn,;对于1 n重特征值0,由于矩阵BBE)(0的秩显然为 1,所以矩阵 B 对应1 n重特征值0的特征向量应该有1 n个线性无关,进一步矩阵 B 存在n个线性无关的特征向量,即矩阵 B 一定可以对角化,且00 B 从而可知n阶矩阵111111111与n00200100相似 大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214

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