2009年数学三真题答案解析.pdf

-1-2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sinxxf xx的可去间断点的个数为(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.【答案】C.【解析】3sinxxf xx则当x取任何整数时，f x均无意义故 f x的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30 xx的解1,2,30,1x3200321132111 31limlimsincos1 32limlimsincos1 32limlimsincosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx故可去间断点为 3 个，即0,1（2）当0 x 时，()sinf xxax与2()ln(1)g xxbx是等价无穷小，则(A)1a，16b .（B）1a，16b.(C)1a ，16b .（D）1a ，16b.【答案】A.【解析】2()sin,()(1)f xxax g xx lnbx为等价无穷小，则222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxf xxaxxaxaaxaaxg xxbxxbxbxbx 洛洛关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-2-230sinlim166xaaxabbaxa 36ab 故排除(B)、(C).另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0 x 故1.a 排除(D).所以本题选(A).（3）使不等式1sinlnxtdtxt成立的x的范围是(A)(0,1).(B)(1,)2.(C)(,)2.(D)(,).【答案】A.【解析】原问题可转化为求111sinsin1()lnxxxttf xdtxdtdtttt11sin11 sin0 xxttdtdttt成立时x的取值范围，由1 sin0tt，0,1t时，知当0,1x时，()0f x.故应选(A).（4）设函数 yf x在区间1,3上的图形为1()f x-2O23x-11则函数 0 xF xf t dt的图形为(A)()f xO23x1-2-11(B)()f xO23x1-2-11关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-3-(C)()f xO23x1-11(D)()f xO23x1-2-11【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yf x的图形可见，其图像与x轴及y轴、0 xx所围的图形的代数面积为所求函数()F x，从而可得出几个方面的特征：0,1x时，()0F x，且单调递减.1,2x时，()F x单调递增.2,3x时，()F x为常函数.1,0 x 时，()0F x 为线性函数，单调递增.由于 F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设,A B均为 2 阶矩阵，*,A B分别为,A B的伴随矩阵，若|2,|3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为(A)*32OBAO.(B)*23OBAO.(C)*32OABO.(D)*23OABO.【答案】B.【解析】根据CCC E，若111,CC CCCC分块矩阵OABO的行列式2 212 36OAA BBO （），即分块矩阵可逆关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-4-1111661OBBOAOA OAOBBOBOBOAOAOA1236132OBOBAOAO故答案为(B).（6）设,A P均为 3 阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且100010002TP AP，若1231223(,),(,)PQ ，则TQ AQ为(A)210110002.(B)110120002.(C)200010002.(D)100020002.【答案】A.【解析】122312312312100(,)(,)110(,)(1)001QE ，即：12121212122112(1)(1)(1)(1)(1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002TTTTQPEQ AQPEA PEEP AP EEE（7）设事件A与事件 B 互不相容，则(A)()0P AB.(B)()()()P ABP A P B.(C)()1()P AP B.(D)()1P AB.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-5-【答案】D.【解析】因为,A B互不相容，所以()0P AB(A)()()1()P ABP ABP AB，因为()P AB不一定等于 1，所以(A)不正确.(B)当(),()P A P B不为 0 时，(B)不成立，故排除.(C)只有当,A B互为对立事件的时候才成立，故排除.(D)()()1()1P ABP ABP AB，故(D)正确.（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布(0,1)N，Y的概率分布为1012P YP Y，记()zF Z为随机变量ZXY的分布函数，则函数()zF Z的间断点个数为（）(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】B.【解析】()()(0)(0)(1)(1)ZFzP XYzP XYz YP YP XYz YP Y1(0)(1)21(00)(1)2P XYz YP XYz YP Xz YP Xz Y,X Y独立1()(0)()2ZFzP xzP xz（1）若0z，则1()()2ZFzz（2）当0z，则1()(1()2ZFzz0z为间断点，故选(B).二、填空题：二、填空题：914 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）cos320lim11xxeex.【答案】32e.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-6-【解析】coscos1332200(1)limlim1111xxxxeeeexx02(1cos)lim13xexx20212lim13xexx32e.（10）设()yxzxe，则(1,0)zx.【答案】2ln2 1.【解析】由xyzxe，故,01xz xxln(1)ln(1)1ln(1)1xxxxxdzxxeexdxx代入1x 得，ln21,01ln22ln2 12zex.（11）幂级数21(1)nnnnexn 的收敛半径为.【答案】1e.【解析】由题意知，210nnnean 111122122111()11111nnnnnnnnnneeeanne nanenee 所以，该幂级数的收敛半径为1e（12）设某产品的需求函数为()QQ P,其对应价格P的弹性0.2p，则当需求量为10000 件时，价格增加 1 元会使产品收益增加元.【答案】8000.【解析】所求即为QPQ PQ因为0.2pQ PQ，所以0.2Q PQ 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-7-所以0.20.8QPQQQ 将10000Q 代入有8000QP.（13）设(1,1,1)T,(1,0,)Tk，若矩阵T相似于300000000，则k.【答案】2.【解析】T相似于300000000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T的特征值为3，0，0.而T 为矩阵T的对角元素之和，1300k，2k.(14)设1X，2X,nX为来自二项分布总体(,)B n p的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差，记统计量2TXS，则ET.【答案】2np【解析】由222()(1)ETE XSEXESnpnppnp.三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 9 分）求二元函数22(,)2lnf x yxyyy的极值.【解析】2(,)2(2)0 xfx yxy，2(,)2ln10yfx yx yy，故10,xye.2212(2),2,4xxyyxyfyfxfxyy .则12(0,)12(2)xxefe，1(0,)0 xyef，1(0,)yyefe.0 xxf 而2()0 xyxxyyfff 二元函数存在极小值11(0,)fee.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-8-（16）（本题满分 10 分）计算不定积分1ln(1)xdxx(0)x.【解析】令1xtx得22212,1(1)tdtxdxtt 22211ln(1)ln(1)1ln(1)11111xdxt dxttdtttt而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dtdttttttttCt所以21ln(1)111ln(1)ln1412(1)111ln(1)ln(1).221xttdxCxtttxxxxxCxxx（17）（本题满分 10 分）计算二重积分()Dxy dxdy，其中22(,)(1)(1)2,Dx yxyyx.【解析】由22(1)(1)2xy得2(sincos)r，32(sincos)4()(cossin)04Dxy dxdydrrrdr332(sincos)14(cossin)034rd2384(cossin)(sincos)(sincos)34d关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-9-3384(cossin)(sincos)34d3344438814(sincos)(sincos)(sincos)3344d83.（18）（本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x在,ab上连续，在,ab上可导，则,ab，得证()()()f bf afba.（）证明：若函数()f x在0 x 处连续，在0,(0)内可导，且0lim()xfxA，则(0)f存在，且(0)fA.【解析】（）作辅助函数()()()()()()f bf axf xf axaba，易验证()x满足：()()ab；()x在 闭 区 间,a b上 连 续，在 开 区 间,a b内 可 导，且()()()()f bf axfxba.根据罗尔定理，可得在,a b内至少有一点，使()0，即()f()()0,()()()()f bf af bf afbaba（）任取0(0,)x，则函数()f x满足：在闭区间00,x上连续，开区间00,x内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在000,0,xx，使得000()(0)0 xf xffx*又由于 0limxfxA，对上式（*式）两边取00 x时的极限可得：0000000000()00limlim()lim()0 xxxxxf xffffAx故(0)f存在，且(0)fA.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-10-（19）（本题满分 10 分）设曲线()yf x，其中()f x是可导函数，且()0f x.已知曲线()yf x与直线0,1yx及(1)xt t所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程.【解析】旋转体的体积为22()()11xxttVfdxfdx曲边梯形的面积为：()1xtsfdx，则由题可知22()()()()1111xxxxttttVtsfdxtfdxfdxtfdx两边对 t 求导可得22()()()()()()11txtttxttffdxtfftffdx继续求导可得2()()()()()f t f tf ttf tf t，化简可得1(2()()2()12dtf tt f tf ttdyy，解之得1223tc yy 在式 中 令1t，则2(1)(1)0,()0,(1)1fff tf，代 入1223tcyy得111,(2)33ctyy.所以该曲线方程为：1230yxy.（20）（本题满分 11 分）设111A=111042,1112.（）求满足21A，231A的所有向量2，3.（）对（）中的任意向量2,3，证明1,2,3线性无关.【解析】（）解方程21A关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-11-1111111111111,111100000211042202110000A()2r A 故有一个自由变量，令32x，由0Ax 解得，211,1xx 求特解，令120 xx，得31x 故21101021k ，其中1k为任意常数解方程231A2220220440A 21111022012,2201000044020000A 故有两个自由变量，令231,0 xx，由20A x 得11x 令230,1xx，由20A x 得10 x 求得特解21200故3231102100010kk，其中23,k k为任意常数（）证明：由于关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-12-12121 212122111121112(21)()2()(21)222210kkkkk kkkk kkkk102故123,线性无关.（21）（本题满分 11 分）设二次型2221231231323(,)(1)22f x x xaxaxaxx xx x.（）求二次型f的矩阵的所有特征值.（）若二次型f的规范形为2211yy，求a的值.【解析】（）0101111aAaa0110|01()1111111aaaEAaaaa222()()(1)1 0()()()(1)2()2219()(1 2)24()(2)(1)aaaaaaaaaaaaaaaaa123,2,1aaa.（）若规范形为2212yy，说明有两个特征值为正，一个为 0.则1)若10a，则220 ，31，不符题意2)若20，即2a，则120，330，符合3)若30，即1a ，则110 ，230 ，不符题意综上所述，故2a（22）（本题满分 11 分）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-13-设二维随机变量(,)X Y的概率密度为0(,)0 xeyxf x y其他（）求条件概率密度()Y Xfy x（）求条件概率11PXY 【解析】（）由0(,)0 xyxef x y 其它得其边缘密度函数0()0 xxxxfxe dyxex 故|(,)1(|)0()y xxf x yfy xyxfxx 即|1(|)0y xyxfy xx 其它（）1,11|11P XYP XYP Y而111000111,1(,)1 2xxxxyP XYf x y dxdydxe dyxe dxe()|,0 xxyYyfye dxeeyy 111011|110yyP Ye dyeee 111 221|111eeP XYee .（23）（本题满分 11 分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.求10P XZ.求二维随机变量(,)X Y的概率分布.【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个关注公众号【考研题库】保存更多高清资料-14-红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球12113324(10)9CP XZCC.（）X，Y 取值范围为 0，1，2，故1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20CCCCP XYP XYCCCCCCCP XYP XYCCCCCCP XYP XYCCCCP XYCCP XYP XYXY01201/41/61/3611/31/9021/900关注公众号【考研题库】保存更多高清资料