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2012考研数学二真题答案【福利年免费资源www.fulinian.com】.pdf
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福利年免费资源www.fulinian.com 2012 考研 数学 二真题 答案 福利 免费资源 www fulinian com
数学(二)试题 第 1 页(共 11 页)2012 年全国硕士研究生入学统一考试 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题解析 一、选择题:一、选择题:18 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.(1)曲线221xxyx渐近线的条数为()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】:【答案】:C【解析】:【解析】:221lim1xxxx,所以1x 为垂直的 22lim11xxxx,所以1y 为水平的,没有斜渐近线 故两条选C(2)设函数2()(1)(2)()xxnxf xeeen,其中n为正整数,则(0)f(A)1(1)(1)!nn(B)(1)(1)!nn(C)1(1)!nn(D)(1)!nn【答案】:【答案】:A【解析】:【解析】:222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxxxnxxxnxfxe eeneeeneenen 所以)!1()1()0(1nfn(3)设 an0(n=1,2,),Sn=a1+a2+an,则数列(sn)有界是数列(an)收敛的(A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.(C)必要非充分条件.(D)既非充分也非必要条件.数学(二)试题 第 2 页(共 11 页)【答案】:【答案】:(B)(4)设Ik=ex20kp sinxdx(k=1,2,3),则有()(A)I1 I2 I3.(B)I3 I2 I1.(C)I2 I3 I1,(D)I2 I10,(,)f x yy0,f(x1,y1)x2,y1 x2,y1y2.(C)x1 x2,y1 y2.(D)x1 y2.【答案】:【答案】:(D)【解析】:【解析】:(,)0f x yx,(,)0f x yy表示函数(,)f x y关于变量x是单调递增的,关于变量y是单调递减的。因此,当1212,xxyy必有1122(,)(,)f x yf xy,故选 D(6)设区域 D 由曲线,1,2,sinyxxy围成,则)(15 dxdyyx)(2)(2)()(DCBA【答案】:【答案】:(D)【解析】:【解析】:由二重积分的区域对称性,dyyxdxdxdyyxx1sin522511 大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 3 页(共 11 页)(7)设1234123400110,1,1,1cccc 其中1234,c c c c为任意常数,则下列向量组线性相关的是()(A)123,(B)124,(C)134,(D)234,【答案】:【答案】:(C)【解析】:【解析】:由于134113401111,011011cccc ,可知134,线性相关。故选(C)(8)设A为 3 阶 矩 阵,P为 3 阶 可 逆 矩 阵,且1112P AP,123,P ,1223,Q 则1Q AQ()(A)121 (B)112(C)212 (D)221【答案】:【答案】:(B)【解析】:【解析】:100110001QP,则11100110001QP,故11100100100110011101101101110100100100120012Q AQP AP 故选(B)。二、填空题:二、填空题:9 14 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 24 分,请将答案写在答题纸分,请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.(9)设()yy x是由方程21yxye 所确定的隐函数,则022xdxyd_。【答案】:【答案】:1 数学(二)试题 第 4 页(共 11 页)(10)计算22222111lim12xnnnnn_。【答案】:【答案】:4【解析】:【解析】:原式11220111limarctan.141nnidxxnxin(11)设1lnzfxy,其中函数()f u可微,则2zzxyxy_。【答案】:【答案】:0.【解析】:【解析】:因为211,zzffxxyy,所以20.zzxyxy(12)微分方程2(3)0ydxxydy满足条件|xy=1 的解为_。【答案】:【答案】:2xy【解析】:【解析】:21(3)03dxydxxydyyxdyy13dxxydyy为一阶线性微分方程,所以 112133dydyyyxey edyCy dyCy31()yCy 又因为1y 时1x,解得0C,故2xy.大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 5 页(共 11 页)(13)曲线2(0)yxx x上曲率为22的点的坐标是_。【答案】:【答案】:1,0【解析】:将【解析】:将21,2yxy”代入曲率计算公式,有 32 3/222|22(1)21(21)yKyx 整理有2(21)1x,解得01x 或,又0 x,所以1x ,这时0y,故该点坐标为1,0(14)设A为 3 阶矩阵,3A,*A为A的伴随矩阵,若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则*BA _。【答案】:【答案】:-27【解析】:【解析】:由于12BE A,故*121212|3BAE A AA EE,所以,*31212|3|3|27*(1)27BAEE.三、解答题:三、解答题:1523 小题,共小题,共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数11()sin,xf xxx,记0lim()xaf x(1)求a的值(2)若当0 x 时,()f xa是kx的同阶无穷小,求k【解析】:(【解析】:(1)200011sinlim()lim(1)lim1 1sinxxxxxf xxxx,即1a (2),当0 x 时,由11sin()()1sinsinxxf xaf xxxxx 又因为,当0 x 时,sinxx与316x等价,故1()6f xax,即1k (16)(本题满分 10 分)求函数f x,y()=xe-x2+y22的极值。数学(二)试题 第 6 页(共 11 页)【解析】:【解析】:22,2xyf x yxe,先求函数的驻点.0),(,01),(2yyxfxyxfyx,解得函数为驻点为(-1,0)(1,0).在点(1,0)处ef1)0,1(为),(yxf的极大值;在点(-1,0)处ef1-)0,1-(为),(yxf的极小值。(17)(本题满分 10 分)过点(0,1)点作曲线 L:xyln的切线,切点为 A,又 L 与 x 轴交于 B 点,区域 D 由 L 与直线 AB 围成,求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。【解析】:【解析】:设切点坐标为00,lnA xx,斜率为01x,所以设切线方程为0001lnyxxxx,又因为该切线过(0,1)B,所以20 xe,故切线方程为:211yxe 切线与x轴交点为2,0Be (1)所求面积为212111ln2)1(21ln222122122eeedxxxexxexdxSee(2)所求体积为1321341)2ln2ln()1(43ln22222122eeexxxxxexdxVe Y=lnx B(0,1)x y A 大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 7 页(共 11 页)22222222212211221122212ln38ln2ln3842 ln238221333eeeeeVeexdxexxxdxeexxdxeee (18)(本题满分 10 分)计算二重积分Dxyd,其中区域 D 为曲线0cos1r与极轴围成。【解析】:【解析】:Drdrrrdxyd0cos10sincos 04)cos1(cossin41d 22cos)12cos2(2cos2sin16820d 2020911cossin16cossin32tdtttdtt 5838 1516(19)(本题满分 11 分)已知函数)(xf满足方程0)(2)()(xfxfxf及xexfxf2)()(1)求表达式)(xf 2)求曲线dttfxfyx022)()(的拐点【解析】:【解析】:1)特征方程为022rr,特征根为2,121rr,齐次微分方程()()2()0fxfxf x的通解为xxeCeCxf221)(.再由()()2xfxf xe得21222xxxCeC ee,可知121,0CC。故()xf xe 2)曲线方程为220 xxtyeedt,则2201 2xxtyxeedt,222022 1 2xxtyxxeedt 令0y 得0 x。为了说明0 x 是0y 唯一的解,我们来讨论y在0 x 和0 x 时的符号。当0 x 时,222020,2 1 20 xxtxxeedt,可知 0y;当0 x 时,数学(二)试题 第 8 页(共 11 页)222020,2 1 20 xxtxxeedt,可知0y。可知0 x 是0y 唯一的解。同时,由上述讨论可知曲线dttfxfyx022)()(在0 x 左右两边的凹凸性相反,可知0,0点是曲线dttfxfyx022)()(唯一的拐点。(20)(本题满分 10 分)证明:)11(,21cos11ln2xxxxxx【解析】:【解析】:令 21lncos112xxf xxxx,可得 2222112lnsin11112lnsin1111lnsin11xxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 当01x时,有1ln01xx,22111xx,所以221sin01xxxx,故 0fx,而 00f,即得21lncos1012xxxxx 所以21lncos112xxxxx。当10 x,有1ln01xx,22111xx,所以221sin01xxxx,故 0fx,即得21lncos1012xxxxx 可知,)11(,21cos11ln2xxxxxx(21)(本题满分 11 分)(1)证明方程)1(1.1的整数nxxxnn,在区间1,21内有且仅有一个实根;(2)记(1)中的实根为nx,证明nnxlim存在,并求此极限。大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 9 页(共 11 页)【解 析】:【解 析】:(1)由 题 意 得:令1()1nnf xxxx,则(1)0f,再 由11(1()1122()1()012212nnf ,由零点定理得在1(,1)2肯定有解0 x,假设在此区间还有另外一根1x,所以1100011nnnnnnnxxxxxx,由归纳法得到10 xx,即唯一性得证(2)假设根为nx,即1()1 0nnnnnnf xxxx,所以(1)1()10,(1)12nnnnnnxxf xxx,由于111110nnnnnxxx,可知111110nnnnnxxx,由于110nnnnnxxx,可知1nnxx。又由于112nx,也即 nx是单调的。则由单调有界收敛定理可知 nx收敛,假设limnnxa,可知211axx。当n时,(1)1lim()lim110,lim112nnnnnnnnnnxxaf xxxa 得(22)(本题满分 11 分)设100010001001aaAaa,1100b()求A()已知线性方程组Axb有无穷多解,求a,并求Axb的通解。【解析】【解析】:()4 141001000010101(1)10100100101001aaaaaaaaaaa ()2324210011001100101010101010100100010001000100010011001010100100001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 数学(二)试题 第 10 页(共 11 页)可知当要使得原线性方程组有无穷多解,则有410a及20aa,可知1a 。此时,原线性方程组增广矩阵为11001011010011000000,进一步化为行最简形得10010010110011000000 可知导出组的基础解系为1111 ,非齐次方程的特解为0100,故其通解为10111010k (23)(本题满分 11 分)已知,二次型xAAxxxxfTT)(),(321的秩为 2。1)求a的值 2)求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准型。【解析】:【解析】:1)由()()2Tr A Ar A可得,10101110110aaa 2)1123232221231223202,02222422444TTxfx A Axx x xxxxxxx xx x 则矩阵202022224B 202022260224EB 解得B矩阵的特征值为:1230;2;6 对于110,0EB X解得对应的特征向量为:1111 大型考试资源分享网站百度搜索:华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售:公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号:582622214 数学(二)试题 第 11 页(共 11 页)对于222,0EB X解得对应的特征向量为:2110 对于336,0EB X解得对应的特征向量为:3112 将123,单位化可得:111131,211120,311162 123,Q 于是得到正交矩阵 62-031-612131612131Q 在正交变换yxQ 下,二次型的标准形为232262yyf.

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