22考研数学强化521作业答案汇总考研资料.pdf

2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521作业 1 第 1 章 函数、极限与连续 1.1 无穷小比阶无穷小比阶【1】设()1 cos20sin4xf xt dt=?，()()()22ln 10112xtg xedt+=?，则当0 x 时，()fx是()g x的（）.（A）低阶无穷小.（B）高阶无穷小.（C）同阶但非等价的无穷小.（D）等价无穷小.解析：（方法 1）定义法 ()()()()221 cos20ln 1000sin4limlim112xxxxtt dtf xg xedt+=?()()2220ln 12sin 4 1 cossinlim12121xxxxxex?+?=?+?()()()222220022144 1 cos2limlim111ln 12222xxxxxxxxxx?=?+?因此，两函数在0 x 时互为等价无穷小量，故选（D）.（方法 2）导数比阶法 当0 x 时，()()()225sin 4 1 cossin 4 1 cosfxxxxxx?=?，则()616fxx()()()222ln 12521211ln 12 212xxgxexxxx?+?=+?+?，则()616g xx 同理，答案为（D）.【2】设45()xxx?=+，sin()1xxx?=，220()(e1)dxtxt?=?，()1tan1 sinxxx?=+，当0 x 时，按照前一个是后一个的高阶无穷小量的排列次序是（）（A）,?.（B）,?,.（C）,?,.（D）,?.解析：当 0 x 时，()454xxxx?=+?()x?为x的 4 阶无穷小；()2sin16xxxxx?=?()x?为x的 2 阶无穷小；()()451 22xxexx?=?()x?为x的 6 阶无穷小；()()()333333111tansin1362241tan1 sin1tan1 sinxxo xxxo xxxxxxxxxx?+?=+笑过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 ()x?为x的 3 阶无穷小，故选（B）.【3】当0 x 时，下列无穷小中阶数最高的是（）.（A）2cosxex.（B）31 21 3xx.（C）sin cos cos2xxxx.（D）()()0ln 11xtetdt+?.解析：（A）()()22222213cos1122xexxxxxx?=+?，阶数为 2 阶；（B）()()11231213xx+?()()()()22222111112132232xxxxxxx?=+?，阶数为 2 阶；（C）?31118sin2 cos2sin44sin42443xxxxxxxx=，阶数为 3 阶；（D）导数为()ln 11xex+()()2332333111111126236xxxxxxxxx?=+?故该函数为x的 4 阶无穷小，因此答案选（D）.【4】已知函数11()sinxf xxx+=,记0lim()xaf x=.（）求a的值；（）若当0 x 时,()f xa与kx是同阶无穷小量，求常数k的值.解析：（）2222000011sin(sin)limlim=limlim1sinsinsinxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+?=?1a=.（）221000sin1()sinsinsinlimlimlimsinkkkxxxxxxf xaxxxxxxxxxxx+=()()211001 sinsinsinlimlimsinsinkkxxxxxxxxx xxxxxx+=312001sin6limlimsinkkxxxxxxxx+=,因为它们为同阶无穷小量，所以1k=.【5】确定,a b，使当0 x 时，11xaxebx+为x的3阶无穷小。解析：由题意可知：3011lim0 xxaxebxAx+=?笑过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 ()()3011lim1xxebxaxxbx+()()233301111126limxxxxxbxaxx?+?=()232333011111262limxxxxbxbxbxxaxx?+=()()233301111262limxba xb xb xxAx?+?=故1011,12202baabb+=?=?+=?.【6】讨论?，分析当0 x 时，()()21 cos sinln 1xx?+为x的几阶无穷小。解析：当0 x 时，()22111 cos sinsin22xxx，()22ln 1xx?+（1）当12?时，()()2211 cos sinln 12xxx?+?故此时x为的2阶无穷小；（2）当12?=时，()()211 cos sinln 12xx+()()244244111111sinsinsin22422xxoxxxx?=+?()224441111sinsin22244xxxxx?=+()()()444111sinsinsin2244xxxxxxx?=+34441111122624424xxxxx?+=?.故此时为x的4阶无穷小。小课堂：本题是道相当精辟的考题，可以帮助我们更好地掌握住等价无穷小的替换原则。等价无穷小的替换原则一般是乘除法因式可用，加减法慎用，但请注意在加减法中最低阶不可抵消时仍可以使用。比如，当0 x 时，tansinxx+中tan xx与第一项sinxx不可抵消，因此可以等价，但当0 x 时，tansinxx却不可以！当这个内容清晰之后，再回看本题，你就会更能体会本题的巧妙之处了！笑过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521作业 2 第 1 章 函数、极限与连续 1.3 函数极限计算函数极限计算【7】若0a?，有20061limlim sintan3sin6xxxtdtxxxxat?=?+?，则a=（）.（A）9.（B）18.（C）27.（D）36.解析：左式2200032limlim1162xxxtxdtataxxx+=?20212lim12xxaax=右式6lim sintan36xxx?=?令6xt?=00lim sintan3limcot32tttttt?=?=?0cot31limsin33tttt=?=故21363aa=?=，选（D）.【8】333301 costansinlim11xxxxx+=.解析：()()()033331tansin2lim111133xxxxxxx?+?()()()333303311136lim223xxxxxxxxx?+?=+()33031132lim2283xxxx?+=.【9】01lim1cosxxexxx=.笑过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 解析：()()()()20222212lim11111128224xxxxxxxx?+?()202212=lim316xxxx?=+.【10】极限01tan1arctanlimsinxxxxxxx+=.解析：原式()lnlnsin0tanarctanlim 1tan1arctan xxxxxxxeexx+=+lnlnsinlnsin(lnlnsin)001tanarctan1tanarctanlimlim22e(e1)xxxxxxxxxxxxxxxee+=01tanarctanlim2(lnlnsin)xxxxxx+=（其中lnsinexx为非零因子）3333011()()133lim2(lnlnsin)xxxo xxxo xxxx+?+?=30213lim2lnsinxxxxx+=（由于1sinxx，则ln1sinsinxxxx）201lim2sin3sinxxxxx+=.【11】0limcosxxx+=.解析：()10lim cosxxx+01limcos1xxxe+?=0111lim22xxxee+?=.【12】求极限()()022sin1limln1xxexxxxxx+.解析：当0 x 时，()22ln111xxxxx+原式()()223323011126limxxxxxxxxxx?+?=()23332301126limxxxxxxxxx?+=13=.笑过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 【13】求极限()()()2032sin3ln 1limsin31xxxxxxx+?.解析：原式()()ln 3 2sinln320ln 1limln3xxxxeexx x+=?()()ln 3 2sinln3ln3222001ln 111limlimln3ln3xxxxxxeexxx+?+?=+()20ln 32sinln311limln3ln3xxxxx+=+032sinln113limln3ln3xxx+=+032sin1113limln3ln3xxx+=+012sin1limln33ln3xxx=+5 13 ln3=.【14】()()()22011 ln 1limxxxexx+=.解析：()()22201ln 1limxxxeexxx?+?+?()()()22ln 1ln 122222220002ln 121limlimlimxxxxxxxxeeexeeeeexxx+=+=+=+()222220ln 12lim0 xxxeeeex+=+=+=.【15】求极限20011lim1sinxtxxe dtex?+?.解析：2020sinsin1limxtxxxxe dtex+?202200sinsin1limlimxtxxxxe dtxexx+=+?()()222202001112limlimxtxxxo xxxo xe dtxx?+?=+?222001112limlim122xxxxex=+=+=.笑过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 【16】()666565limxxxxx+?+=.解析：原式6611=lim11xxxx+?+?6611lim11lim11xxxxxx+?+?=+?1 11 1limlim66xxxxxx+?+?=?13=.【17】求极限()14444lim112xxxxx+?+.解析：原式71444411lim112xxxxx+?=?+?24411lim112xxxx+?=+?令1tx=4420112limtttt+=()()2222201313112432432limtttttttt?+?+?=()22203316lim16tttt?+=【18】设()()54lim75,0axxxxb b+?+=?，则a=，b=.解析：显然51a=，则15a=.故()1545lim75xxxxb+?+=?1155557575lim1lim11xxxxxxxxx+?+?+=+?54175157limlim7555xxxbxxx+?+?=?+=+=?因此，17,55ab=.【19】()lim sin1sinxxx+?+=.解析：原式()lim cos1xxx?+?=?+，其中1xx?+1limcos1xxx?+?=+0=笑过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 【20】若()00f?=，()02022f?=，()fx?在0 x=处连续，求()()30ln 1limxf xfxx+?.解析：原式()()201ln 11lim3xfxfxxx?+?+=()()()()201ln 1lim31xfxxfxxx?+?=+()()()20ln 1lim3xxfxfxfxx?+?=()()()200ln 1limlim33xxfxfxfxxx?+?=+()()()()200ln 101limlim33xxfxxfxfxx?+?=+（其中()ln 1xx?+）()()2201120lim33xfxfx?=+()()0110lim36xff?=+()()1100101136ff?=+=.【21】设)(xf为连续函数，且2)1ln()(lim20=+xxxxfx，?=xttxtfxF0d)()(.当0 x时，221)(xxF与kbx为等价无穷小，其中常数0?b，k为某正整数.求：（）)0(f及(0)f?；（）常数bk,的值.解析：（）由题意可知：()()222012limxxf xxxxx?+?()()0112limxf xxxx?+=()()00112limlim2xxxxf xxx?+=+=故()013lim=2xf xx 则()()()00lim10lim01xxf xf xf=?=?且()()()0030lim2xf xffx?=.（）()()()()00=x t uxxF xtf xt dtxu f u du=?令()()00 xxxf u duuf u du=?笑过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 6 故()()200012lim1xxkxxf u duuf u duxbx=?()()()010limxkxf u duxf xxf xxbkx+?()()201lim1kxf xbk kx=()()3011lim11kxf xxbk kx=?=则()()3010 lim11kxfbk kx?=因此13,4kb=.【22】已知01lim arctan(1|)xxaxx+存在,求a的值.解析：()1ln 101limarctanxxxaex+?+?()1ln 10lim22xxxaeae?+=+=+()1ln 101limarctanxxxaex?+?()1ln 110lim22xxxaeae?=+=+故1eea?=.【23】?x表示不超过x的最大整数，当常数a为 时，?210ln 1limln 1xxxea xe?+?+?+?存在，此时极限结果为 .解析：?+22110002ln 1ln 1lim=lim0lim021ln 1ln 1xxxxxxxeexa xeex?+?+=+=?+?()22211110000ln 1ln 1lim=lim+limlimln 1ln 1xxxxxxxxxxxeeea xaaeaaeee?+?+=?+?故当2a=时极限存在，且此时极限为2.笑过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521作业 3 第 1 章 函数、极限与连续 1.4 概念与概念与性质性质 【24】以下说法正确的是（）（A）1lim1nnnxx+?=是数列极限limnnx?存在的充要条件（B）若nnnxzy?，且()lim0nnnyx?=，则limnnz?存在（C）若0 x 时，()(),nmf xxg xx，则()()f x g x是x的mn+阶无穷小（D）若0 x 时，()(),nmf xxg xx，则()()f xg x?是x的?min,m n阶无穷小 解析：（A）可举例nxn=，此时1lim1nnnxx+?=，但limnnx?却不存在；（B）根据夹逼准则表述，“当nnnxzy?，且lim=limnnnnxy?，则limnnz?存在”，但本命题中()lim=0nnnyx?却不一定等价于limlim0nnnnyx?=，因此命题不一定正确.可举反例，11,nnnxnzn ynnn=+满足题意，但limnnz?却不存在；（C）根据等价无穷小替换原则，乘法因子可等价，因此命题正确；（D）可举反例，若0 x 时，31sin6xxx为x的 3 阶无穷小，比x和sin x的 1 阶大.【25】以下说法正确的是（）（A）序列?na的子序列?2na和?21na+收敛，则?na收敛；（B）如果lim0nnna b?=，则两个数列?,nnab中至少有一个为无穷小量（C）对于数列?na与前n项和nS，若?nS为有界数列，则?na也为有界数列；（D）序列?na收敛，则序列?na收敛.其逆命题也成立；解析：（A）错误，必须要求子序列?2na和?21na+收敛于同一个值，例如数列1,0,1,0中?2na和?21na+均收敛，但是?na却是发散的.（B）错误，可举反例：1,0,0,1,nnnnabnn?=?为奇数为奇数为偶数为偶数，此时lim0nnna b?=，但limnna?与limnnb?均不存在.（C）正确.由于?nS为有界数列，则存在正数M，使得所有nS满足nSM?，因此112nnnnnaSSSSM=?+?，故?na也为有界数列.（D）错误.limlimnnnnaAaA?=?=正确，但却不能回推.【26】设,nnncba均为非负数列，且0lim=?nna，1lim=?nnb，?=?nnclim，必有 2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 （A）nnba?对任意n成立 （B）nncb?对任意n成立（C）极限nnnca?lim不存在 （D）极限nnncb?lim不存在 解析：由题意可知：limlimlimnnnnnnabc?根据保号性性质可知：当n?时，nnnabc?，故（A）（B）错在“任意”二字；对于（C）而言0?为未定式极限，结果不确定，故不正确；limlimnnnnnb cc?=?（非零因子先算），故极限nnncb?lim不存在，（D）选项正确.【27】设数列 nx收敛，则（A）当limsin0nnx?=时，lim0nnx?=（B）当lim()0nnnxx?+=时，lim0nnx?=（C）当2lim()0nnnxx?+=时，lim0nnx?=（D）当lim(sin)0nnnxx?+=时，lim0nnx?=.解析：由于数列 nx收敛，不妨设设limnnxA?=对于（A），limsin0sin0nnxA?=?=，此时()AkkZ?=?，故不正确；对于（B），当limnnxA?=时，必有limnnxA?=，故lim()00nnnxxAA?+=?+=，此时0A=或1，故不正确；对于（C），22lim()00nnnxxAA?+=?+=，此时0A=或1，故不正确；对于（D），lim(sin)0sin0nnnxxAA?+=?+=，此时0A=，故选（D）.2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521作业 4 第 1 章 函数、极限与连续 1.4 数列极限计算数列极限计算 【28】求222111lim 11123nn?=.解析：原式111111lim 1111112233nnn?=+?111111lim1111112323nnn?=+?1 2 313 41lim2 3 42 3nnnnn?+?=?11lim22nnn?+=【29】设1x，求()()()()242lim 1111nnxxxx?+=.解析：原式()()()()221111lim1nnxxxxx?+=1211lim11nnxxx+?=【30】n232limcoscosc22oscos2nxxxx?=.解析：原式23coscosc2oscossin2limi222n2snnnnxxxxxx?=23111coscoscoscossin22222m2in2lisnnnnxxxxxx?=111cossinsin2=lim=limsis2 222i2nnnnnnnnxxxxx?1sinsinl2im2nnnxxxx?=.【31】n11lim2(12)nnkk?=?+?=.解：原式()()nnn11111=lim=limlim 1111nnnnnkkk kk kn?=?=?+?n1lim11nnee?+?=.2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 【32】32212 1 coslim1nnnnnn?+=.解析：原式342=1 1211lim1nnnnn?+?21 12lim=1112nnnn?=?.【33】已知极限2021(1)lim0kknnncn?=?=?，其中,c k均为常数，则c=，k=.解析：（方法一）2021202120211111(1)limlimlimkkkkknnnnnknnnncnnn?=则12021,kkc=，解得2022,2022kc=.（方法二）将(1)kn 进行二项式定理展开，则 112211221202120212021()limlimlim0kkkkkkkkkkknnnnnC nC nC nC nkncnnn?+=?=?故 2022,2022kc=.【34】求极限lim()2nnnnab?+=.0,0()ab?解析：原式lim12nnnabne?+?=1111lim2nnnabne?+?=11lnln111lim112abnnneenne?+?=()1lnlnln2ababeeab+=【35】1lim1nnn en?+?=.解析：原式1=lim1xxx ex+?+?1ln 1=lim1xxxeex?+?+?1ln 111=lim1xxxeex?+?+?11ln 1=lim1xxxex+?+?()011ln 1=limtttet+()222001ln 112=lim=lim2ttttteeett+=【36】()22limsinnnn?+=.解析：22limsinnnnn?+?22limsinnnnnn?=?+?2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 22sinlimnnnnn?=?+?2=sin12?=.【37】已知()()()()222222lim 1,02lim2,012nnnnxxxnf xnnnxnnnn?+?=?+=?+?，求()f x dx?.解析：当0 x?时，()()22222limlim22nnnx xnx xnxnnf xeee?+?=;当0 x=时，()()2211112lim2lim1nnnnkknf xnnkkn?=+?+?()1201211dxx=+?.故(),01,0 xxexf xex?=?=?，则()xf x dxeC=+?.【38】12222lim1112nnnnnnnnn?+?+?+?=.解析：记1212222=11112nknnnnnnkInnnnnk=+?则 11221kknnnnnkkInn=?+?由于101121limlim2211kknnnxnnnkkndxnnn?=+?，101121limlim22kknnnxnnnkkdxnn?=?根据夹逼准则，则原式102xdx=?=1ln2.【39】()()()1221limnnn nnnn?+=.解析：()()()1221limnnnn nnnn?+121lim111nnnnnn?=+?101limln 1nnkknne?=?+?=111limln 1nnkknne?=?+?=()10ln 12ln2 14x dxeee+?=.【40】!limnnnn?=.2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 解析：()()121limnnnn nnn?1 2limnnnn nn?=?11limlnnnkknne?=?=10ln1xdxee?=【41】求()()1lim 1n xnnf xe+?=+,则()fx有（）个不可导点.（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.解析：()?111,1max 1,1xxxf xeex+?=?.当1x=时，()()()()()1111 11limlim011xxf xffxx?=()()()()()11111111limlimlim1111xxxxf xfexfxxx+?=+故()fx有 1 个不可导点，选（B）.【42】设函数()fx为周期为()0T T的连续正值周期函数，试证()()0011limxTxf t dtf t dtxT+?=?.证明：0,xnN+?使得()1nTxnT?+故 ()()()()1000nTxnTf t dtf t dtf t dt+?则 ()()()()()10001111nTxnTf t dtf t dtf t dtnTxnT+?因此 ()()()()000111TxTnnf t dtf t dtf t dtnTxnT+?由于 ()()()001lim1TTnnf t dtf t dtnTT?=+?()()0011limTTnnf t dtf t dtnTT?+=?故 ()()0011limxTnf t dtf t dtxT+?=?.【43】求0sinlimxxt dtx+?.解：当x +?时，nN+?使()1nxn?+则 ()1000sinsinsinnxnt dtt dtt dt?+?故 ()000sinsin1sinxnt dtt dtnt dt?+?()02sin1xnt dtn?+?2()()0121sin1xnnt dtnxn?+?+?2 2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 故 012limsin.xxt dtx?+?=?【44】（1）证明不等式()2ln 1,2xxxx+()x0；（2）计算22212lim 111nnnnn+?+?.证明：（1）设()()ln 1,0.f xxx x=+则()()110011xfxxxx?=+此时()fx单调递减，故()()00f xf=，即()ln 1xx+；又设()()2ln 12xg xxx?=+?，则()()2110 011xgxxxxx?=+=+此时()fx单调递增，故()()00g xg=，即()2ln 1.2xxx+（2）由（1）结论可知：22212ln 111nnnn?+?22212ln 1ln 1ln 1nnnn?=+?22212nnnn?+()2112n nn+=，22212ln 111nnnn?+?22212ln 1ln 1ln 1nnnn?=+?224242411 121 41222nnnnnnnn?+?()()()231121212n nnnnn+=由于()2111lim22nn nn?+=，且()()()2311211lim2122nn nnnnn?+?=?得 222121limln 1112nnnnn?+=?故 1222212lim 111nnennn?+=?.小课堂：本题需要使用到高中数学公式：222(1)(21)1236n nnn+=.【45】设数列?nx满足：110,1,1,2,3nxnxexn+?=（1）证明数列?nx的极限存在，并求出极限；（2）求11limnxnnnxx+?.2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 6 解析:（1）（有界性）当1n=时，有10 x?成立；假设0kx?，则11110kxkkexx+=+?，成立，因此，()+0nxnN?.（单调性）由题意可知11nxnex+=，根据拉格朗日中值定理可知：()10+1+10nxnneeexe x?+=，其中+10nx?.由0?知1e?，从而1nnxx+?，即数列?nx单调减少.（求极限）根据单调有界准则知极限存在，设limnnxA?=，则1AeA=,故0A=.（2）由题意可知：()1ln 1nnxx+=+，故极限11limnxnnnxx+?是1?型未定式，故 原式=21221ln(1)ln(1)1121limlimlim1lim12.nnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxeeeee+?+?=2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521作业 5 第 1 章 函数、极限与连续 1.5 连续与间断连续与间断【46】函数2221()11xxf xxx=+的无穷间断点数为（）.（A）0（B）1 （C）2（D）3 解析：由题意可知：函数无定义点为0 x=，1x=，1x=.（1）220001lim()limlim11(1)xxxx xf xxx x+=+=+，220001lim()limlim11(1)xxxx xf xxx x+=+=+，所以0 x=为第一类间断点（2）21112lim()lim(1)2xxx xf xx x+=+，所以1x=为第一类间断点（3）2111lim()lim(1)xxx xf xx x+=?+，所以1x=为第二类间断点故选（B）【47】函数11(ee)tan()(ee)xxxf xx+=在,上的第一类间断点是x=（）.（A）0.（B）1.（C）2.（D）2.解析：由题可知在?上无定义点为0,1,22xxxx=.由于111001(1 e)tanlim()lim1(1 e)xxxxxf xx+=，1100(ee)tanlim()lim1(ee)xxxxxf xx+=，因此0 x=为跳跃间断点；又因为122lim()lim()lim()xxxf xf xf x=?，则1,22xxx=为无穷间断点，故选（A）.【48】设1111(),1)sin(1)2f xxxxx=+?试补充定义(1)f使得()f x在 1,21上连续 解析：由题意可知，欲使得函数在1,12上连续，只需1lim()(1)xf xf=.2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 因此，111111111lim()limlimsin(1)sin(1)xxxf xxxxxx?=+=+?，令1xt=故1001111sint1lim()limlimsinttsintxtttf xt?+?=+=+=?，则令1(1)f=，可使得()f x在 1,21上连续 【49】已知函数2121()lim1nnnxf xx+?=+，则1x=是（），1x=是（）.（A）连续点，第一类间断点.（B）连续点，连续点.（C）第一类间断点，第一类间断点.（D）第一类间断点，连续点.解析：（1）当1x?时，21210 1()lim1101nnnxf xx+?=+；（2）当1x?时，2121()lim1nnnxf xxx+?=+.（3）(1)1f=；(1)0f=.故1x=是连续点，1x=是第一类间断点，选（A）.【50】已知()()lim0nnnnnxxfxxxx?=?+，则()fx有（）个间断点.（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.解析：当01x?时，()0,nnxxn?，则()1fx=；当1x?时，(),0 nnxxn?，则()1fx=；当1x=时，则()0fx=.故()fx在1x=?处存在跳跃间断点，在0 x=处存在可去间断点，故选（C）.【51】已知函数tanxyx=，求该函数的所有间断点，并且判别间断点的类型.解析：依题意无定义点为,2xk?=+,(0,1,2)xkk?=?（1）0,(0,1,2)2xkk?=+=?时，0lim0tanxxxx=，此时为可去间断点；（2）0,(1,2)xkk?=?时，0limtanxxxx=?，此时为无穷间断点；（3）00 x=时，0lim1tanxxxx=，此时为可去间断点.2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521作业 6 第 2 章 一元函数微分学 2.1 导数导数与微分与微分定义定义【52】已知函数()f x在0 x=处可导，且(0)0f=，则2330()2()limxx f xf xx=（）.（A）2(0)f?.（B）(0)f?.（C）(0)f?.（D）0.解析：2330()2()limxx f xf xx=330()()lim2xf xf xxx?330()(0)()(0)lim2xf xff xfxx?=?(0)2(0)(0)fff?=.故应选（B）.【53】讨论()fx可导性（1）()()()()22123f xxxx=（2）()222sinf xxx?=小课堂：若()g x在点0 x处连续，()fx=()0g x xx在点0 x可导?()00g x=解析：（1）()()()()22231f xxxx=仅需讨论在1x=处的可导性，其中()()()()2223,10g xxxg=?，因此()fx在1x=处不可导.（2）()()()2sinf xx xx?=+仅需讨论在,x?=处的可导性，()2sinf xx xx?=+，其中()()2sin,0g xx xg?=+=，故x?=处可导；()2sinf xx xx?=+，其中()()2sin,0g xx xg?=，故x?=处可导.因此()fx处处可导.【54】设 函 数()f x在 点0 x可 导，且0020(sin3)(ln(1)lim11xxf xxf xxe+=，则()0fx?=.解析：?00000(ln(1)()(sin3)()lim22xf xxf xf xxf xxx?+?00000ln(1)()(sin3)()sin3ln(1)limsin32ln(1)2xf xxf xf xxf xxxxxxx?+=?+?+?00031()()2()122fxfxfx?=+=，故01()2fx?=.【55】设()()11cos,110,xxxf xx?=?在1x=处可导，其中?为常数，则?的取值范2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 围是（）.（A）1?.（B）1?.（C）0?.（D）?.解析：易知()()()111lim01xf xffx+?=，若使得函数()fx在1x=处可导，则必须满足()()()11111cos011111limlimcos0111xxxxfxxx?+?=，故10?+?，答案选（A）.【56】已知()1sin,00,0nxxf xxx?=?=?（n为自然数），判定在什么条件下：（1）()fx在0 x=处连续；（2）()0f?存在；（3）()fx在0 x=处导函数连续.解析：（1）若使()fx在0 x=处连续，则需01limsin0nxxx=故0n?;（2）若使()fx在0 x=处可导，则需()1001sin10limlimsinnnxxxxfxxx?=存在，故1n?，此时()00f?=;（3）当0 x?时，()1211sincosnnfxnxxxx?=，若使()fx?在0 x=处连续，仅需12011limsincos0nnxnxxxx?=?，故2n?.【57】设函数()fx在0 x=的某邻域内具有二阶导数，且()130lim 1xxf xxex?+=?，求()0f，()0f?，()0f?，并求极限()10lim 1xxf xx?+?.解析：由题意可知 ()()011lim130lim 1xf xxxxxxf xxeex?+?+=?可得()()2001lim3lim2xxf xf xxxxx?+=?=?则()()0lim00 xf xf=；同时()()()20000limlim00 xxf xf xfxxx?=?=且()()()()()2000011limlimlim0222xxxf xfxfxffxxx?=，从而()04f?=，同时()()2011lim20lim 1exf xxxxf xex?+=?.2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 【58】设函数()fx在()0,+?上有定义，且对任意的(),0,x y?+?，都有 ()()()f xyf xfy+=+若()1f?存在，求()fx?，()0,x?+?.解析：由题意可知：当0,0 xy=时，()00f=；且()()()()()()()00011111limlimlimxxxfxfffxffxfxxx?+?+?=?（存在）于是()()()()()()()()000limlimlim1xxxf xxf xf xfxf xfxfxfxxx?+?+?=?.【59】设函数()f u可导，()sinyfx=当自变量x在x?=处取得增量0.1x?=时，相应函数的增量y?的线性主部为0.2，则()0f?=解析：由题意可知：(sin)cosdyfxx dx?=?(sin)cosfxxx?=?将,0.1,0.2xxdy?=?=代入得：()()0.20(1)(0.1)02ff?=?=