2000年数学三真题答案解析.pdf

12000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】1221zyyffgxyx【详解】根据复合函数的求导公式，有1221zyfyfgxyx(2)【答案】4e【详解】被积函数的分母中含有2xxee，且当x 时，2xxee，即被积函数属于无穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷.22222211111xxxxxxxxdxdxedxdeeeeeeeeee221111xxdeeee22111xxeedeeee11arctanxeee1()24e4e(3)【答案】24【详解】方法】方法 1：ABAB、有相同的特征值：1 1 1 12 3 4 5.，由矩阵1B是矩阵B的逆矩阵，他们所有特征值具有倒数的关系，得1B有特征值2 3 4 5,由B特征局矩阵为EB，1BE得特征矩阵为111EBEEB可以看出B与1BE的特征值相差 1，所以1BE有特征值1 2 3 4,.由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所有特征值的和等于矩阵主对角元素之和，知4111 2 3 424iiBE.方法方法 2：AB即存在可逆阵P，使得1P APB.两边求逆得111BP A P.又A有四个不同的特征值，存在可逆矩阵Q，使关注公众号【考研题库】保存更多高清资料21Q AQ，其中12131415 上式两边求逆得1112345Q A Q ，111AQQ从而有1111111112131244151BEP A PEPAE PQQEQE Q(4)【答案】1,3.【详 解】在 给 定 概 率 密 度 条 件 下，有 性 质2112().xxP xXxf x dx因 此，()kP Xkf x dx(或11().kP XkP Xkf x dx )因为0,1x时，1()3f x；3,6x时，2()9f x 都是定值，因为213P Xk，所以k最可能的取值区间是包含在0,6区间之内的1,3区间，否则是不可能的.当13k时，22()(63).93kP Xkf x dx(或者，当13k时，11()(1 0),33kP Xkf x dx1211.33P XkP Xk )所以，答案应该填13k或1,3.(5)【答案】8.9【详解】由于题中Y是离散型随机变量，其所取值的概率分别为0,0P XP X和关注公众号【考研题库】保存更多高清资料30P X.又由于X是均匀分布，所以可以直接得出这些概率，从而实现由X的概率计算过渡到Y的概率.0(1)110;33P YP X 000;P YP X20210.33P YP X因此121()11,333E Y 2221212()111,3333E Y 所以2218()()()1.99D YE YE Y 二、选择题二、选择题(1)【答案】D【详解】用排除法.例 1：设22221()22xxf xxx,满足条件2222211limlim0222xxxxxxx,并且22221lim1,122xxxxx,由夹逼准则知，lim()1xf x，则选项()A与()C错误.例 2：设6262442()11xxxxf xxx,满足条件626224442limlim0111xxxxxxxxxx,但是由于6224()1xxf xxx,有lim()xf x，极限不存在，故不选()B,所以选()D.因为最终结论是“()D：不一定存在”,所以只能举例说明“可以这样”“可以那样”，无法给出相应的证明.(2)【答案】B【详解】方法方法 1：排除法，用找反例的方式()A：2()f xx,满足(0)0(0)0ff 且,但2()f xx在0 x 处可导；()C：()1f xx,满足(0)10,(0)10ff ,但()1f xx当1,1x,在关注公众号【考研题库】保存更多高清资料40 x 处可导；(D)：()1f xx ,满足(0)10,(0)10,ff 但()1f xx当1,1x，在0 x 处可导；方法方法 2：推理法.由()B的条件()0f a,则()()()()()limlimlim,xaxaxaf xf af xf xf axaxaxa所以()()()()limlim()xaxaf xf af xf afaxaxa(1)()()()()limlim().xaxaf xf af xf afaxaxa(2)可见，()f x在xa处可导的充要条件是()()fafa，所以()0fa，即()0fa所以当()0fa时必不可导，选()B.(3)【答案】(C)【详解】因为112 3 4T，是非齐次方程组的解向量所以我们有1Ab，故1是AXb的一个特解又 34r A,n(未知量的个数)，故AXb的基础解系由一个非零解组成.即基础解系的个数为 1.因为123220Abbb,故1122024132624835 是对应齐次方程组的基础解系，故AXb的通解为1231213224354cc.(4)【答案】(A)【详解】若是方程组():0IAX 的解，即0A，两边左乘TA，得0TA A，即也是方程组():0TIIA AX 的解，即()I的解也是()II的解.若是 方 程 组():0TIIA AX 的 解，即0TA A，两 边 左 乘T得关注公众号【考研题库】保存更多高清资料50TTTA AAA.A是一个向量，设12TAb,b,b，则210nTiiAAb.故有0ib，1 2i,n从而有0A，即也是方程组():0IAX 的解.(5)【答案】C【详解】随机变量(1)(2)(3)(4),TTTT为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于0t，此时必定两个显示较高的温度大于等于0t，即(4)(3)0.TTt所以说断电事件就是(3)0Tt三三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程，对于二阶常系数非齐次线性微分方程得求解，首先需要求出对应的齐次微分方程的通解，再求出非齐次方程的特解，再利用线性方程解的解构，从而得到对应方程的通解.本题对应的齐次微分方程为20yy，其特征方程为220rr，特征根为120,2rr.于是齐次方程的通解为212.xYCC e由于2是特征方程的单根，所以设2xyAxe求得22222;44xxxxyAeAxeyAeAxe代入原方程，得222224424xxxxxAeAxeAeAxee，即222xxAee约去2xe，再比较等式左、右两边，得121,2AA故得特解212xyxe，非齐次方程的通解为22121.2xxyYyCC exe再由初始条件(0)1y，得：121CC(1)由(0)1y，得22222122200111221222xxxxxxxCCexeCeexeC(2)联立(1)与(2)得1231,44CC则满足初始条件的通解为关注公众号【考研题库】保存更多高清资料62311()442xyx e.四四【详解】画出积分区域D.由被积函数的形式以及积分区域形状,易见采用极坐标更为方便.将 曲 线22yaax 化 为：222()()xyaaya，极 坐 标 方 程 为2 sin(0)ra，再D区 域是 由曲 线22(0)yaaxa 和 直线yx 围 成的 区域，于 是04，极半径02 sinra，则22202 sin2222204.44aDxyrIdddraxyar令2 sinrat，有0r 时0t；2 sinra 时，t.20204sin42 cos2 costIdaatdtat022044sindatdt02042(1 cos2)dat dt0240sin222tadtdt02412(sin2)2ad 022412cos224a 221()162a五五【定理】简单极值问题(无条件极值)：设(,)zf x y在开区域D内可偏导，又根据实际关注公众号【考研题库】保存更多高清资料7问题可知，它在D内有最大值或最小值，于是只需在0,0ffxy的点中找到(,)f x y的最大值点或最小值点【详解】记总利润函数为L，总收益函数为R，则总利润总收益总成本1122(25)LRCpQp QQ1122122()5pQp QQQ112212(182)(12)2()5Q QQ QQQ2211221218212225QQQQQQ221212216105QQQQ 其中，120,0QQ，12QQQ为销售总量.(1)令1212416 0210 0LLQQQQ，解得1245QQ，.而1118 2PQ,2212,PQ故相应地1210,7.pp在120,0QQ的范围内驻点唯一，且实际问题在120,0QQ范围内必有最大值，故在1245QQ，处L为最大值.22max2 4516 4 10 5552()L 万元.(2)若两地的销售单价无差别,即12pp,于是1218212QQ,得1226QQ,在此约束条件下求L的最值，以下用两个方法：方法方法 1：若求函数(,)zf x y在条件(,)0 x y的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法：先构造辅助函数(,)(,)(,)F x yf x yx y，然后解方程组00(,)0FfxxxFfyyyFx y所有满足此方程组的解(,)x y中的(,)x y是(,)zf x y在条件(,)0 x y的可能极值点，在可能极值点中求得最大值点或最小值点.故用拉格朗日乘数法，其中1212(,)260Q QQQ，构造函数2212121212(,)216105(26),F Q QQQQQQQ 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料8令112212416202100260FQQFQQFQQ 解 得1254QQ，在120,0QQ的 范 围 内 驻 点 唯 一,且 实 际 问 题 在120,0QQ范围内必有最大值,故在1245QQ，处L为最大值.得22max2 5416 5 10 4549()L 万元.方法方法 2：由1226QQ代入221212216105LQQQQ 消去一个变量得211660101LQQ 这样就变成了简单极值问题(无条件极值)，按(1)的做法：令1112600,dLQdQ 得15Q ，为L的唯一驻点.当11050dLQdQ时(说明在这个区间上函数单调递增)；当15Q 时10dLdQ(说明在这个区间上函数单调递减)故，15Q 为L的唯一极大值点,所以是最大值点，而1226QQ24Q,故2211max6601016 560 5 10149()LQQ 万元.六六【渐近线】水平渐近线：若有lim()xf xa，则ya为水平渐近线；铅直渐近线：若有lim()xaf x，则xa为铅直渐近线；斜 渐 近 线：若 有()lim,lim()xxf xabf xaxx存 在 且 不 为，则yaxb为斜渐近线.【详解】原函数对x求导，所以arctanarctan22(1)(arctan)2xxyexx e关注公众号【考研题库】保存更多高清资料9arctanarctan2221(1)1xxexex2arctan221xxxex令0y，得驻点120,1xx.列表x,1-11,000,y+0-0+y42e2e注：表示函数值大于 0，表示函数值小于 0；表示在这区间内单调递增；表示在这区间内单调递减.所以由以上表格可以得出函数的大概形状，有严格单调增的区间为,1 与0,；严格单调减的区间为1,0.2(0)fe 为极小值,4(1)2fe 为极大值.以下求渐近线.通过对函数大概形状的估计，arctan2lim()lim(1)lim(1)xxxxf xxeex 所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线.所以令111()lim,lim()2;xxf xaebf xa xex 222()lim1,lim()2.xxf xabf xa xx 所以，渐近线为11(2)ya xbex及222ya xbx，共两条.七七【概念】幂级数的收敛半径：若1limlimnxnxaa，其中1,nna a是幂级数0nnna x的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,0,0,.R【详解】先计算出积分nI的具体表达式，再求和关注公众号【考研题库】保存更多高清资料101440012sinsinsin12nnnnIxcosxdxxdxn则1001212nnnnIn.考虑幂级数101(),1nnS xxn求出幂级数的和函数，代入22x 即可得出答案，按通常求收敛半径的办法.所以111limlimlim111nxxxnannann得到本题中幂级数的收敛半径11,11R在，内，先微分再积分，在收敛域内幂级数仍收敛，有11000111()111nnnnnnS xxxxnnx,所以001()(0)()0ln 11xxS xSS x dxdxxx 以21,12x 代入,得22()ln(1)ln(22)22S.即0ln(22)nnI.八八【证明】方法方法1：令0()(),0 xF xf t dtx，有(0)0,F由题设有()0F.又由题设0()cos0f xxdx，用分部积分，有000()coscos()f xxdxxdF x00()cos()sinF xxF xxdx0()sinF xxdx由积分中值定理知，存在(0,)使关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1100()sin()sin(0)F xxdxF因为(0,)，sin0，所以推知存在(0,),使得()0F.再在区间0,与,上 对()F x用 罗 尔 定 理，推 知 存 在1(0,)，2(,)使12()0,()0FF，即12()0,()0ff方法方法2：由0()0f x dx及积分中值定理知，存在1(0,)，使1()0f.若在区间(0,)内()f x仅有一个零点1，则在区间1(0,)与1(,)内()f x异号.不妨设在1(0,)内()0f x，在1(,)内()0f x.于是由00()0,()cos0f x dxf xxdx，有11110001100()cos()cos()(coscos)()(coscos)()(coscos)f xxdxf xdxf xxdxf xxdxf xxdx当10 x时，1coscosx，1()(coscos)0f xx；当1x时，1coscosx，仍有1()(coscos)0f xx，得到：00.矛盾，此矛盾证明了()f x在(0,)仅有1个零点的假设不正确，故在(0,)内()f x至少有2个不同的零点.九【九【详解】方法】方法 1：设方程组1 12233xxx对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有123211211,21121011054104304aababcac 211210140031aabacb(1)当4a 时，1231233r,r,.方程组唯一解，即可由123,线性表出，且表出唯一.(2)当4a ，但310cb 时，12312323r,r,方程组无解，不可由123,线性表出关注公众号【考研题库】保存更多高清资料12(3)当4a ，且310cb 时，1231232r,r,方程组有无穷多解，此时有1234211,21010000b 得对应齐次方程组的基础解系为：1 2 0T,(取自由未知量11x，回代得2320 x,x)，非齐次方程的一个特解是 0121T*,b,b，故通解为1021021kb,b 其中k是任意常数.方法方法 2：设方程组1 12233xxx因为是三个方程的三个未知量的线性非齐次方程组，故也可由系数行列式讨论，1232121211211141054001aaA,a 因此知道：(1)当4a 时，0A，方程组有唯一解，可由123,线性表出，且表出唯一.(2)当4a 时，(有可能无解或无穷多解)对增广矩阵作初等行变换，得12342112111,2110012110540015bbccb 21110012100031bcb(i)当4a 时，且但310cb 时，有12312323r,r,方程组无解.(ii)当4a ，且310cb 时，1231232r,r,方程组有无穷多解，其通解为关注公众号【考研题库】保存更多高清资料131021021kb,b 其中k是任意常数.十【十【详解】方法】方法 1：用正定性的定义判别.已知对任意的12nx,x,x均有120nf x,x,x，其中等号成立当且仅当1122231110000nnnnnxa xxa xxaxxa x方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式121121100001000010011000010001nnnnaaBa aaaa 即当121nna aa 时，方程组只有零解，此时120nf x,x,x.若对任意的非零向量120nXx,x,x,中总有一个方程不为零，则有22221211 2223111()()()()0nnnnnnf x,x,xxa xxa xxaxxa x所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量12nx,x,x，如果120nf x,x,x，则二次型正定.由以上证明题中12(,)nf x xx是正定二次型.方法方法 2：将二次型表示成矩阵形式，有222212112223111()()()()nnnnnnf x,x,xxa xxa xxaxxa x112223112223111111nnnnnnnnnnxa xxa xxa x,xa x,xax,xa xxaxxa x关注公众号【考研题库】保存更多高清资料141112221211100010001000010001000010000010000100010001nnnnnnaaxaaxax,x,xaaax 记11221100001000010000010001nnnaxaxB,Xaax 则120TTTnf x,x,xX B BXBXBX当121121100001000010011000010001nnnnaaBa aaaa 即 当121nna aa 时，0BX 只 有 零 解，故 当 任 意 的0X 时，均 有120Tnf x,x,xBXBX，从而由正定二次型的定义，对任意的向量12nx,x,x，如果120nf x,x,x，则12nf x,x,x是正定二次型.十一十一【详解】lnYXYXe.题设条件Y为正态，故YE XE e可用函数的期望的公式求得.将X的样本可以转化成Y的样本，从而对正态(,1)YN中的求得置信区间.最后，再从的置信区间转得b的置信区间.(1)由正态分布密度函数的定义知，Y的概率密度为2()21(),2yf yey 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料15于是2()21()()2yYybE XE ee edy令ty，有2211112221122tttbeedteedt12e.(2)当置信度10.95时，0.05.查表可知标准正态分布的双侧分位数等于 1.96.故由1(,)4YN，其中Y表示总体Y的样本均值，11(ln0.50ln0.80ln1.25ln2.00)ln10.44Y Y是的无偏估计，且2已知，(0,1)./YNn所以，按标准正态分布的分位点的定义，有/21,/YPZn 即/2/21.P YZYZnn 这样，我们就得到了的一个置信水平为1的置信区间/2/2,YZYZnn在此题中，1,4，0Y，所以参数的置信度为0.95的置信区间为11(1.96,1.96)(0.98,0.98).44YY(3)由指数函数xe的严格单调递增性，有10.980.980.481.482PP10.481.482P eee0.481.48P ebe0.95因此b的置信度为0.95的置信区间为0.481.48,.ee十二【十二【分析】随机变量XY和不相关(,)0Cov X Y.事件AB与相互独立()()()P ABP A P B.要找出这二者之间的联系就应从(,)()()()Cov X YE XYE X E Y入手.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料16【详解】()1121E XP AP AP A ，同理，()21.E YP B现在求()E XY，由于XY只有两个可能值1和1，所以()1111,E XYP XYP XY 其中11,11,1P XYP XYP XYP ABP AB 121P ABP ABP ABP AP B 和11,11,1P XYP XYP XYP ABP AB 2P AP BP AB(或者 1112P XYP XYP AP BP AB )所以()11E XYP XYP XY 4221P ABP AP B由协方差公式，()()()()Cov XYE XYE X E Y 42212121P ABP AP BP AP B 4 P ABP A P B因此，()0Cov XY 当且仅当 P ABP A P B，即XY和不相关的充分必要条件是AB与相互独立.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料