1988数学二真题答案解析（试卷三）.pdf

一、填空题一、填空题(本题满分 本题满分 20 分，每小题 分，每小题 4 分分)(1)若2,00),c(sinos()2xxexx xf x是(,)上的连续函数，则1.(2)(3)(4)0 xx.lim(1)tgx 1.(5)40 xe dx 22(1)e 二、选择题二、选择题(本题满分本题满分 20 分，每小题分，每小题 4 分分)(1)612131()32f xxxx的图形在点（0，1）处切线与x轴交点的坐标是(A)(A)1(,0)6(B)(1,0)(C)1(,0)6(D)(1,0)(2)若()f x与()g x在(,)上皆可导，且()f x()g x，则必有(C)(A)()()fxgx(B)()()fxg x(C)00lim()lim()xxxxf xg x(D)00()()Xxf t dtg t dt(3)(4)曲线s(0)in23yxx与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转(B)(A)43(B)43(C)223(D)23若?f(t)=xlimt(11)2tx，则 f t()(2 1)te2t 设.f(x)是连续函数，且?103,xf(t)dt x则 f(7)=112.x 若函数?y=f(x)有2f(x0)1，则当x 0时，该函 x=x0处的微分 dy 是 (B)(A)与x等价的无穷小(C)比x低阶的无穷小(B)与x同阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(5)设y f x()是方程y2y4y 0的一个解，若(f x)0，且f(x0)0，则函数f x()在点x0(A)(A)取得极大值(C)某个邻域内单调增加(B)取得极小值(D)某个邻域内单调减少三、(本题满分 15 分，每小题 5 分)(1)已知?f(x)=e x2,f x()=1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域.(x)21，得()ln(1xx).解：解：由 ex由ln(1x)0，得x11即x 0.所以()x ln(1，其定x)义域为(,0).1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷三）数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷三）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料而22(2)(1)(1)xyxyyex yxyxyyex yxyxy，4分 即得000|2xyee.5分(3)求微分方程(1)112x xyxy的通解（一般解）.解：解：1121(1)dxdxxxyeedxCx x3分 2111dxCxx4分 1arctanxCx，其中 C 是任意常数.5分 四、四、(本题满分本题满分 12 分分)作函数2462xxy的图形，并填写下表单调增加区间单调减少区间极值点极值凹()区间 凸()区间 拐点渐近线解：解：单调增加区间(,1)（1 分）单调减少区间(1,)（2 分）极值点1（3 分）极值2（4 分）凹区间(,0)(2,)及（6 分）凸区间(0,2)（7 分）拐点33(0,)(2,)22及（9 分）渐进线0y（10 分）(2)已知y 1xexy，求yx 0及yx 0.解：解：显然x 0时，y 1.1 分()y xexyxy y exyexy(x2yxy1).2 分 因此001xye；3 分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料其图形为：五、五、(本题满分本题满分 8 分分)将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？解：解：设圆形的周长为x，则正方形的周长为ax，而两面积之和为 222244216816axxaaAxx，3 分 4088aAx（令），得4ax.5 分 408A.7 分 故当圆的周长为4ax时，正方形的周长为44aax时，A 之值最小.8 分 六、六、(本题满分 本题满分 10 分分)设函数?y=y(x)满足微分方程y3y2y 2ex,且图形在点(0，1)处的切线与曲线2y x x1在该点的切线重合，求函数y y(x).解：解：对应齐次方程的通解为12YCeC e2xx.设原方程的特解为y*Axex,得A 2.故原方程通解为122y(x)CexC ex xe22x.又已知有公共切线得00|1xxy1,|y，即12121,12cccc解得c121,c0.所以(12x)e.2xy 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料设()f x在(,)上有连续导数，且mf xM().(1)求dtf taf taaaaa()()41lim20；(2)证f xMmdtf taaa()()21(0)a.解：解：(1)由积分中值定理和微分中值定理有 201lim()()4aaaf taf ta dta01lim()()2afafaa()aa 2 分*00lim()lim()(22)affaaaa=(0)f.4 分(2)证：证：由()f x的有界性及积分估值定理有5 分 1()2aamf t dtMa,6 分 又()Mf xm ，7 分 故有1()()()2aaMmf t dtf xMma，即1()()2aaf t dtf xMma.8 分 七、七、(本题满分本题满分 7 分分)dttx)设x 1，求(1.1解：解：当 x 10时，11(1|)(1)xxt dtt dt1 分 211(1)2xt2 分 1(12x)2.3 分 当x 0时，0110(1|)(1t)(1)xxt dtdtt dt5 分 211(1x)2.7 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分)关注公众号【考研题库】保存更多高清资料