22数一专项强化提升（周洋鑫）考研资料.pdf

2022 考研数学 数一专项强化提升【附】考研数学周洋鑫 一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 2 目录 题型 1 空间平面与直线（5 分）.3 题型 2 旋转曲面、空间曲线投影线（5 分）.5 题型 3 切（法）平面、切（法）线求解（5 分）.6 题型 4 方向导数、梯度、旋度与散度（5 分）.7 题型 5 三重积分（5 分）.10 题型 6 第一型曲线积分（5 分）.12 题型 7 第二型平面曲线积分（10 分）.13 题型 8 平面曲线积分与路径无关（5、10 分）.16 题型 9 第二型空间曲线积分（5、10 分）.17 题型 10 第一型曲面积分（5 分、10 分）.19 题型 11 第二型曲面积分（10 分）.20 题型 12 傅里叶级数（冷门）.23 一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 3 题型1 空间平面与直线（5 分）【破题方法破题方法】【1】（1997 年，数一，6 分）设直线0,:30 xyblxayz+=+=在平面上，且平面与曲面22zxy=+相切于点(1,-2,5)，求,a b之值.【2】（1996 年，数一，3 分）设一平面经过原点及点（6，-3，2），且与平面428xyz+=垂直，则此平面方程为 _.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 4 【3】（1995 年，数一，3 分）设有直线3210,:21030 xyzLxyz+=+=及平面:4230 xyz+=，则直线L（A）平行于.（B）在上.（C）垂直于.（D）与斜交.【4】（1993 年，数一，3 分）设有直线1158:121xyzL+=与26:23xyLyz=+=则1L与2L的夹角为 （A）6.（B）4.（C）3.（D）2.【5】（1991 年，数一，3 分）已知两条直线的方程是1123:101xyzL=；221:211xyzL+=则过1L且平行于2L的平面方程是_.【6】（1987 年，数一，3 分）与两直线1,1,2xytzt=+=+及121121xyz+=都平行,且过原点的平面方程为 .一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 5 题型2旋转曲面、空间曲线投影线（5 分）【破题方法破题方法】【7】（2009 年，数一，10 分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是由过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成（）求及的方程；（）求与之间的立体的体积 【8】（1998 年，数一，5 分）求直线11:111xyzl=在平面:210 xyz+=上投影直线0l的方程，并求0l绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程.【9】（1993 年，数一，3 分）由曲线223212,0,xyz+=绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单位法向量为 _.1S22143xy+=x2S(4,0)22143xy+=x1S2S1S2S一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 6 题型3切（法）平面、切（法）线求解（5 分）【破题方法破题方法】【10】（2003 年，数一，4 分）曲面与平面平行的切平面的方程是 【11】（2001 年，数 一，3 分）设 函 数(,)f x y在 点(0,0)附 近 有 定 义，且(0,0)3,(0,0)1xyff=，则 （A）()0,0d3dd.zxy=+（B）曲面(,)zf x y=在点(0,0,(0,0)f的法向量为3,1,1.（C）曲线(,)0zf x yy=在点(0,0,(0,0)f的切向量为1,0,3.（D）曲线(,)0zf x yy=在点(0,0,(0,0)f的切向量为3,0,1.【12】（1994 年，数一，3 分）曲面e23zzxy+=在点（1，2，0）处的切平面方程为 _.22yxz+=042=+zyx一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 7 【13】（1992 年，数一，3 分）在曲线23,xt ytzt=的所有切线中，与平面24xyz+=平行的切线 （A）只有1条.（B）只有2条.（C）至少由3条.（D）不存在.【14】（1989 年，数一，3 分）已知曲面224zxy=上点P处的切平面平行于平面2210 xyz+=，则点P的坐标是（A）()1,1,2.（B）()1,1,2.（C）()1,1,2.（D）()1,1,2.题型4方向导数、梯度、旋度与散度（5 分）【破题方法破题方法】一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 8 【15】（2005 年，数 一，4 分）设 函数，单 位 向量，则 .【16】（2002 年，数一，7 分）设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所 占 的 区 域 为()2,=+Dx y x275yxy，小 山 的 高 度 函 数 为22(,)75h x yxyxy=+.（）设00(,)M xy为区域D上的一点，问(,)h x y在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g xy，试写出00(,)g xy表达式.（）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界线2275xyxy+=上找出使（）中的(,)g x y达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.【17】（2001年，数一，3分）设222,rxyz=+则()1,2,2()divr=grad .181261),(222zyxzyxu+=1,1,131=n(1,2,3)un=一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 9 【18】（1998 年，数 一，6 分）确 定 常 数,使 在 右 半 平 面0 x 上 的 向 量42242(,)2()().A x yxy xyixxyj=+为某二元函数(,)u x y的梯度，并求(,)u x y.【19】（1996 年，数一，3 分）函数22ln()uxyz=+在点(1,0,1)A处沿点A指向点(3,2,2)B方向的方向导数为_.【20】（1992 年，数一，3 分）函数222ln()uxyz=+在点(1,2,2)M处的梯度gradMu=_.【21】（1991 年，数一，6 分）设n是曲面222236xyz+=在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量，求函数2268xyuz+=在点P处沿方向的n方向导数.【22】（1989 年，数一，3 分）向量场22(,)eln(1)zu x y zxyyxz=+ijk在点(1,1,0)P处的散度div=u_.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 10 题型5三重积分（5 分）【破题方法破题方法】【23】（2000 年，数一，8 分）设有一半径为R的球体，0P是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比（比例常数0k），求球体的重心位置.【24】（1997 年，数一，6 分）计算22(),Ixy dv=+其中为平面曲线22,0yzx=绕z轴旋转一周形成的曲面与平面8z=所围成的区域.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 11 【25】（1994 年，数一，6 分）已知点A与B的直角坐标分别为（1，0，0）与（0，1，1）.线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面0,1zz=所围成的立体体积.【26】（1991 年，数一，6 分）求222()dxyzV+，其中是有曲线22,0yzx=绕z轴旋转一周而围成的曲面与平面4z=所围成的体积.【27】（1989 年，数一，5 分）计算三重积分()dxzv+，其中是由曲面22zxy=+与221zxy=所围成的区域.【28】（1988 年，数一，3 分）设空间区域22221:,0 xyzRz+及 22222:,0,0,0 xyzRxyz+，则（A）12d4dx vx v=.（B）12d4dy vy v=.（C）12d4dz vz v=.（D）12d4dxyz vxyz v=.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 12 题型6第一型曲线积分（5 分）【破题方法破题方法】【29】（1989 年，数一，3 分）设平面曲线L为下半圆周21yx=，则曲线积分22()dLxys+=_.【30】（1998 年，数 一，3 分）设l为 椭 圆221,43xy+=其 周 长 记 为 a,则22(234)dlxyxys+=.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 13 题型7第二型平面曲线积分（10 分）【破题方法破题方法】【31】（2007 年，数一，4 分）设曲线（具有一阶连续偏导数）过第象限内的点和第象限内的点，为上从点到点的一段弧，则下列积分小于零的是 （A）.（B）.（C）.（D）.【32】（2005 年，数一，12 分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数.:(,)1L f x y=(,)f x yMNLMN(,)df x yx(,)df x yy(,)df x ys(,)d(,)dxyfx yxfx yy+()yL24()d2d2Lyxxy yxy+一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 14 （）证 明：对 右 半 平 面内 的 任 意 分 段 光 滑 简 单 闭 曲 线，有.（）求函数的表达式.【33】（2004 年，数一，4 分）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 【34】（2003 年，数一，10 分）已知平面区域，为的正向边界 试证：（）；（）0 x C24()d2d02Cyxxy yxy+=+()yL222=+yxd2 dLx yy x(,)0,0Dx yxy=LDsinsinsinsinededededyxyxLLxyyxxyyx=sinsin2eded2yxLxyyx一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 15 【35】（2000 年，数一，7 分）计算曲线积分22dd,4Lx yy xIxy=+其中L是以点()1,0为中心，R为半径的圆周()1R，取逆时针方向.【36】（1991 年，数一，8 分）在过点(0,0)O和(,0)A的曲线族sin(0)yax a=中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分3(1)d(2)dLyxxyy+的值最小 【37】（1988 年，数一，8 分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2kr（0k 为常数，r为质点A与M之间的距离），质点M沿曲线22yxx=自(2,0)B运动到(0,0)O，求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.【38】（1987 年，数一，3 分）设L为取正向的圆周229xy+=，则曲线积分2(22)d(4)dLxyyxxxy+的值是 .一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 16 题型8平面曲线积分与路径无关（5、10 分）【破题方法破题方法】【39】（2002 年，数一，8 分）设函数()f x在(,)+内具有一阶连续导数，L是上半平面(0)y 内 的 有 向 分 段 光 滑 曲 线，其 起 点 为(,)a b，终 点 为(,)c d.记22211()d()1dLxIy f xyxy f xyyyy=+，（）证明曲线积分I与路径L无关；（）当abcd=时，求I的值.【40】（1995 年，数一，8 分）设函数(,)Q x y在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分2d(,)dLxy xQ x yy+与路径无关，并且对任意t恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2d(,)d2d(,)dttxy xQ x yyxy xQ x yy+=+求(,)Q x y.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 17 【41】（1989 年，数一，5 分）设曲线积分2d()dCxyxyxy+与路径无关，其中()x具有连续的导数，且(0)0=，计算(1,1)2(0,0)d()dxyxyxy+的值.题型9第二型空间曲线积分（5、10 分）【破题方法破题方法】【42】（2001 年，数一，7 分）计算222222()d(2)d(3)d,LIyzxzxyxyz=+其中L是平面2xyz+=与柱面1xy+=的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 18 【43】（1997 年，数一，6 分）计算曲线积分()d()d()d,Czyxxzyxyz+其中C是曲线221,2,xyxyz+=+=从z轴正向往z轴负向看，C的方向是顺时针的.【44】（1992 年，数一，8 分）在变力yzzxxy=+Fijk的作用下，质点有原点沿直线运动到椭球面2222221xyzabc+=上第一卦线的点(,)M ，问当,取何值时，力F所做的功W最大?并求出W的最大值.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 19 题型10第一型曲面积分（5 分、10 分）【破题方法破题方法】【45】（2007 年，数一，4 分）设曲面，则 .:1xyz+=(|)dxyS+=一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 20 题型11第二型曲面积分（10 分）【破题方法破题方法】【46】（2007 年，数一，10 分）计算曲面积分 其中为曲面的上侧.【47】（2006 年，数一，4 分）设是锥面（）的下侧，则 .d d2d d3d dIxz y zzy z xxy x y=+221(01)4yzxz=22zxy=+01zd d2 d d3(1)d dx y zy z xzx y+=一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 21 【48】（2005 年，数一，4 分）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则 .【49】（2005 年，数一，4 分）计算曲面积分，其中是曲面的上侧 【50】（2000 年，数一，7 分）设对于半空间0 x 内任意的光滑有向封闭曲面S,都有()()2d dd ded d0 xSxf xy zxyf xz xz x y=.其中函数()f x在(0,+)内具有连续的一阶导数，且0lim()1+=xf x.求()f x 22zxy=+222yxRz=d dd dd dx y zy z xz x y+=3322 d d2d d3(1)d dIx y zyz xzx y=+221(0)zxy z=一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 22 【51】（1995 年，数一，6 分）计算曲面积分dz S，其中为锥面22zxy=+在柱体222xyx+内的部分.【52】（1994 年，数一，6 分）计算曲面积分2222d dd dsx y zzx yxyz+，其中S是有曲面222xyR+=及两平面,(0)zR zR R=所围成立体表面的外侧.【53】（1990 年，数一，8 分）求曲面积分d d2d d,SIyz z xx y=+其中S是球面2224xyz+=外侧在0z 的部分.一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 23 【54】（1988 年，数一，7 分）设为曲面2221xyz+=的外侧，计算曲面积分333d dd dd dIxy zyz xzx y=+.题型12傅里叶级数（冷门）【破题方法破题方法】【55】（2003 年，数一，4 分）设，则 【56】（1999 年，数一，3 分）设 011,02(),()cos,1222,12=+nnxxaf xS xan xxxx，其中102()cosd(0,1,2,)=naf xn x x n，则52S等于（A）12.（B）12.（C）34.（D）34.20cos()nnxanxx=2a=一笑而过 考研数学2022 数一专项提升讲义 新浪微博考研数学周洋鑫 24 【57】（1993 年，数一，3 分）设函数2()()f xxxx=+的傅立叶级数展开式为01(cossin)2nnnaanxbnx=+，则其中系数3b的值为 _.【58】（1992 年，数一，3 分）设21,-0,()1,0,xf xxx=+则其以2 为周期的傅立叶级数在点x=处收敛于 _.【59】（1989 年，数一，3 分）设函数2(),01,f xxx=而 1()sin,nnS xbn xx=+其中102()sind,1,2,3,nbf xn x x n=，则1()2S 等于（A）12.（B）14.（C）14.（D）12.一笑而过 考研数学