22考研数学强化521（作业13）（答案详解）考研资料.pdfVIP免费

2022考研数学全程班同步作业——《高分强化521》新浪微博@考研数学周洋鑫12022考研数学全程班作业答案——《高分强化521》13第3章一元函数积分学3.5定积分等式、不等式证明【101】设()x为()yfx=的反函数，且()10f=，证明：()()()110002fxtdtdxxfxdx=.分析：本题涉及被积分函数为变限函数的计算问题，可使用分部积分法进行处理.证明：()()()()()()11100000fxfxtdtdxxtdtxfxfxdx=−由于()x为()yfx=的反函数，则()fxx=，故()()()()1112200000fxtdtdxxfxdxxdfx=−=−()()()112100022xfxxfxdxxfxdx=−−=.【102】设40tannnIxdx=，其中n为大于1的正整数，证明：()()112121nInn+−.证明：令tanxt=，则1201nntIdxt=+（01t）由于2221111ttt=−++单调递增，则221111+12tt=+，故21122110200111112212(1)nnnntItdxtdxttnn−−−===+−−，且()111200011111221nnnnttIdxdxtdxtn===+++，得证.【103】设函数()fx在,ab上连续且单调增加，证明：()()2bbaaabxfxdxfxdx+.解析：令()()(),2xxaaaxFxtftdtftdtaxb+=−，显然()0Fa=，则()()()()122xaaxFxxfxftdtfx+=−−()()()()1112222xxxaaaxaftdtfxftdtfxdt−=−+=−+()()1[]02xafxftdt−，因此()Fx单调递增，则()()0FxFa=，因此()0Fb，得证.【104】设函数()fx在0,1上可导，且当()0,1x时，()01fx，()00f=.试证：()()()211300fxdxfxdx.一笑而过考研数学2022考研数学全程班同步作业——《高分强化521》新浪微博@考研数学周洋鑫2证明：令()()()()2300xxFxftdtftdt=−，显然()0=0F，则()()()()()()()320022xxFxfxftdtfxfxftdtfx=−=−，再令()()()202xgxftdtfx=−，显然()0=0g，则()()()()()()22210gxfxfxfxfxfx=−=−故()gx单调递增，因此()()00gxg=，又因为()0fx，则()fx单调递增，可知()()00fxf=，综上所述，()()()()2020xFxfxftdtfx=−，此时()Fx单调递增，因此()()010FxF，得证.3.6反常积分【105】计算32122dxxx−=.解析：当1x=时，被积函数的极限121limxxx→=−，即1x=是瑕点；故3312211122222dxdxdxxxxxxx=+−−−31212212312112221111()()4224dxdxxxxxdxdxxx=+−−=+−−−−13102arcsin(21)ln(sectan)ln(23).2xtt=−++...