22考研数学 考前21记考研资料(1).pdf

2022 考研数学 考前 21 记 一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 II 目 录 考前第 1 记 函数极限.1 考前第 2 记 数列极限.3 考前第 3 记 连续间断与渐近线.4 考前第 4 记 导数、微分的定义与计算.5 考前第 5 记 导数应用.8 考前第 6 记 不定积分.10 考前第 7 记 定积分.12 考前第 8 记 多元微分学.16 考前第 9 记 二重积分.20 考前第 10 记 微分方程.22 考前第 11 记 无穷级数.25 考前第 12 记 行列式.29 考前第 13 记 矩阵.32 考前第 14 记 向量与方程组（重点！）.36 考前第 15 记 特征值与对角化.40 考前第 16 记 二次型.43 考前第 17 记 随机事件及其概率（数一、三）.46 考前第 18 记 一维随机变量（数一、三）.49 考前第 19 记 二维随机变量（数一、三）.52 考前第 20 记 二维随机变量（数一、三）.56 考前第 21 记 数理统计（数一、三）.60 Contents Contents 一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 1 考前第 1 记 函数极限【1】局部保号性 性质 若lim()xfx 0A（或0），则在x过程中()0f x（或0）.推论 若在x过程中 0f x（或0），且lim()xf xA，则 .【2】关系定理 limxf xaf xa，其中是x时的无穷小.【3】利用等价无穷小公式 当0 x时，sin,arcsin,tan,arctan,xxxxxxxx 21ln 1+,1,1cos,11.2xxxexxxxx 31sin6xxx；31sin6xarcxx；31tan3xxx；31arctan3xxx；21ln(1)2xxx.【4】重要操作（1）1f x 时，ln1f xf x；（2）1f x 时，11fxf x；（3）和取低阶原则.（4）导数定阶法.【注】特别注意：变限函数，2ln1xx【5】泰勒展开定阶（1）352121sin13!5!21!nnnxxxxxo xn （2）331arcsin6xxxo x（注意，此公式后面的项无此规律）一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 2（3）331tan3xxxo x（注意，此公式后面的项无此规律）（4）352121111arctan13521nnnxxxxxo xn （5）2e12!nxnxxxo xn （6）2311ln(1)(1)()231nnnxxxxxo xn （7）2422cos112!4!2!nnnxxxxo xn （8）2(1)(1)(1)(1)12!mnnm mm mmnxmxxxo xn 【6】四则运算（1）若极限一个存在，一个不存在，则 lim f xg x必不存在；（2）如果 lim f x与 limg x都不存在，则不能确定 lim f xg x是否存在。（3）若极限 lim f x存在，limg x不存在，或者两者都不存在，则都不能确定 lim f xg x是否存在.【两个重点操作】（1）加减法中看到存在就拆开；（2）非零因子：乘除法中非零项.【7】左右开弓法（1）000limlimlim.xxxxxxf xaf xf xa（2）limlimlimxxxf xaf xf xa【注】需要分左右极限的几种情况（1）e型；（2）arctan型；（3）f x型，且 0f x（4）,xxZ（整数）；（5）分段函数在分段点处极限，且分段点两侧函数不一样.【9】七种未定式中几个重点问题（1）：通分，倒代换，提矛法（2）1：lim1limB ABAe 一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 3 考前第 2 记 数列极限【1】数列极限定义 limnnxa任给0，存在正整数 N，当 nN 时，就有nxa.【注】需要重点熟记的结论!（1）limlimnnnnxaxa，反之不成立.（2）lim0lim0nnnnxx；（3）221limlimlimnnnnnnxaxxa；（4）limmax,nnnnnabca b c（重要！）（5）,1lim0,1=1nnxxxx 讨论，（重要炸了！）（会了就显然！）【2】数列极限计算（1）连续化处理（将 limnf n转换成 limxf x处理）（2）夹逼准则 （3）积分和式求极限（注意：连乘形式取对数变成加和形式）1011111limlimnnnniiiifff x dxnnnn 22011limnniiff x dxnn（4）单调有界必有极限（常规做题方法要回顾！）1）若 nx递增，且nxM，则 nx收敛.2）若 nx递减，且nxm，则 nx收敛.【注】证明limnnxA，也可以使用“证明0nxA”的方法.一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 4 考前第 3 记 连续间断与渐近线【1】连续（1）定义：00limxfxfxx.（2）左连续：00limxxf xf x；右连续：00limxxf xf x.【2】间断（1）第一类间断点 1）可去间断点：00limxxfxfx 2）跳跃间断点：00limlimxxxxf xf x（2）第二类间断点 1）无穷间断点：00lim,limxxxxf xf x至少有一个是 2）振荡间断点：00limlimxxxxf xf x至少有一个是不唯一【3】渐近线（1）垂直渐近线 若 0limxxf x 或 0limxxf x，则0 xx为函数 yf x的垂直渐近线.（2）水平渐近线 若 limxf xb或 limxf xb，则yb为函数 yf x的水平渐近线.（3）斜渐近线 若 lim,limxxf xkbf xkxx或 lim,limxxf xkbf xkxx，则直线ykxb是曲线 yf x的斜渐近线.【注】做个猜测，考题出现+与有两条不同斜渐近线.一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 5 考前第 4 记 导数、微分的定义与计算【1】一点处可导 0000limxf xxf xfxx 或 0000limxxf xf xfxxx【2】一点处可微 yA xxfx dxx 【3】切线、法线方程 切线方程：000yf xfxxx；法线方程：0001yf xxxfx，其中00fx.【注】数一、二还要求会求解参数方程和极坐标方程下的切线方程和法线方程【4】求导公式和四则运算（1）基本求导公式（过一遍呗！）0C（C为常数）1xx sincosxx cossinxx 2tansecxx 2cotcscxx secsec tanxxx csccsc cotxxx lnxxaaa eexx 1loglnaxxa 1ln xx 21arcsin1xx 21arccos1xx 21arctan1xx 21arccot1xx （2）求导的四则运算法则：uvuv.uvu vuv.20uu vuvvvv.【注】常见函数的构造方法（重要炸了！）一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 6（1）212fx f xfx（2）xfxf xe f x（3）xfxf xef x（4）fx g xgx f xf x g x （5）f xfx g xgx f xg x 此外还需要注意，在积分中有重要应用！又到了一天状态最好的时候了！例：2212x yx yx edxxedx 21sin1sectantan1cos2222xxxxexxxxdxeedxedxx【5】复合、隐、反、分段、变限积分函数、参数方程（数一、二）的导数计算方法（1）复合函数的导数 ddddddyyufxxxux.（2）隐函数求导 设 yf x由方程,0F x y 确定，求y的方法如下：方程,0F x y 两边对自变量x求导得方程.（3）反函数求导【重点！】设 xy是 yf x的反函数，则 d1dxyyfx，其中 0fx.则223d1 d,ddxxyyyyy.（4）分段函数 1）分段点处的导数：导数定义；此外还可以使用导函数的极限去计算（但要注意条件）2）非分段点处的导数：借助求导法则（5）变限积分函数 dxxf ttfxxfxx.【注】（1）非标准型的处理：提出，换元 一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 7（2）二次积分求导：标准型，换序，转换为二重积分用中值定理（重点哦！）（6）参数方程求导（数一、数二）设 ,xtyt确定函数 yy x，其中 ,tt存在，且 0t，则 ddddddtyytxxtt；22dd1d ddyydtxtx【6】高阶导数的求法（常用的高阶导公式、莱布尼茨公式、泰勒公式、递归法）（1）常见初等函数的n阶导数公式 1）设xya，则 lnnxnyaa.设exy，则 enxy.2）设1yaxb，则 11!1nnnnanyaxb.设lnyaxb，则 11!1nnnnanyaxb.3）设sinyaxb，则 sin2nnnyaaxb.设cosyaxb，则 cos2nnnyaaxb.（2）莱布尼茨公式：若 ,u xv x均n阶可导，则 101nnnnnnnnuvC uvC u vC uv（3）常用的五个函数的麦克劳林公式：1）23e12!3!nxnxxxxxn；2）2135211sin3!5!21!nnnxxxxxxn；3）22421cos12!4!2!nnnxxxxxn；4）1231ln 123nnnxxxxxxn；5）2111112!nnxnxxxxn .6）23111nnxxxxo xx 7）231111nnnxxxxo xx 一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 8 考前第 5 记 导数应用【1】极值（1）找可疑点：0fx和 fx不存在的点（2）判定方法 1）定义法 2）第一充分条件 核心：fx在该点两侧异号 3）第二充分条件 000,0fxfx【2】曲线的凹凸性 1）定义：设 f x在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有 121212122222f xf xf xf xxxxxff 则称 f x在I上是凸（凹）的 2）充分条件：若在ba,内()0fx，则曲线()yf x在,a b上是凸的；若在ba,内()0fx，则曲线()yf x在,a b上是凹的.【3】曲线的拐点（1）找可疑点：0fx和 fx不存在的点 （2）判定方法 1）定义法 函数适合画图时 一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 9 2）第一充分条件 核心：fx在该点两侧异号 3）第二充分条件 000,0fxfx【4】曲率（数一、二）（1）曲率越大，曲线越弯（2）计算公式：32211yKRy【5】方程根（函数零点）问题处理 函数图像 单调性 注重回顾怎么解决单调性【6】不等式（1）函数不等式 移项设函数 单调性 注重回顾怎么解决单调性（2）参数不等式 转换为函数不等式、拉格朗日 一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 10 考前第 6 记 不定积分【1】原函数 若存在 F x能满足()(),F xf x则称 F x为 fx在区间I的原函数.【注】（1）若 fx连续，那么 0 xF xf t dt为 fx的一个原函数.(牛 B 爸)（2）若 fx连续，0 xf x dxf t dtC.（积不出来就找爹！显现处自变量也找爹）【2】那一堆重点性质（又到了一天状态最好的时候了！）1若 f x连续，对于 0 xF xf t dt.（1）f x为奇函数，则 0 xF xf t dt为偶函数；（2）f x为偶函数，则 0 xF xf t dt为奇函数；（3）f x为周期函数，且 00Tf t dt，则 0 xF xf t dt为周期函数；2对于 f x dx，即 f x的全体原函数（1）若 f x连续，原函数一定存在；（2）若 f x存在第一类间断点或无穷间断点，原函数一定不存在；（3）若 f x存在振荡间断点，原函数却可能存在.3对于 baf x dx（1）若 f x连续，则 baf x dx一定存在；（2）若 f x有界，且存在有限个第一类间断点，则 baf x dx也存在.4对于 xaF xf t dt（1）若 f x在x0连续，则 F x在x0可导，且00Fxf x；一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 11（2）若 f x在x0有第一类间断点，其余处均连续，则 F x在x0连续，且 00limxxFxf x，00limxxFxf x.【3】不定积分的基本性质（1）d()()CF xF x.（还记得我们讲过和d可以约掉么？要注意在前要加C）（2）d()d()df xxf xx.【4】积分表（记一遍呗！）（1）1d1xxxC 1 ，实常数（2）1dlnxxCx（3）1dlnxxaxaCa 特例e dexxxC（4）cos dsinx xxC sin dcosx xxC （5）221secddtancosx xxxCx 221csccotsinxdxdxxCx （6）tan sec dsecxx xxC cot csc dcscxx xxC （7）tan dln cosx xxC cot dln sinx xxC（8）1sec ddln sectancosx xxxxCx 1csc ddln csccotcosx xxxxCx（9）22darcsinxxCaax 0a 2darcsin1xxCx（10）221arctandxxCaaax 0a 2arctan1dxxCx（11）221ln2dxaxCaaxax0a 2d11ln211xxCxx（12）2222dlnxxxaCxa0a 一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 12 考前第 7 记 定积分【1】定积分的重要性质和计算（1）比较定理：若()f xg x，则()d()dbbaaf xxg xx.（ab）【注】比较只需要比较开区间内的大小，要记住喽！推论：()d()dbbaaf xxf xx.（2）积分中值定理：设()f x在,a b上连续，则至少存在一点,a b（开区间也行），使得()d()()baf xxfba.【注】去掉积分限的方法，要么求导（变限函数），那么如果不能求导呢？你得想到积分中值定理！记住啦，考场上要想到哦！（3）函数的平均值：称 dbaf xxba为函数 f x在区间,a b上的平均值.（4）定积分的奇偶性：若()f x为奇函数，则()d0aaf xx；若()f x为偶函数，则0()d2()daaaf xxf xx.【注】还记得对称区间的两种处理方法么？（狗头）（5）定积分的周期性：设 f x是以T为周期的连续函数，a为任意实数，则 TTT2T02dddaaf xxf xxf xx.（6）点火公式一家人 2200131,22 2sindcosd1321,23nnnnnnnx xx xnnnnn为偶(分母为偶)为奇(分母为奇).一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 13 2200002sind,sind2sind,cosd0,nnnnx x nx xx xx xn为偶数为奇数 2220004sind,sind=cosd0,nnnx x nx xx xn为偶数为奇数（7）记得要用面积去求解的积分 20daaxxx 220daaxx（8）2200sincosfx dxfx dx；00sinsin2xfx dxfx dx【2】反常积分（1）中间有瑕点一定要分开！比如 c 为瑕点时候，()d()d()dbcbaacf xxf xxf xx【注】都收敛才收敛，一个发散就发散！（2）aaaf xg x dxf x dxg x dx【注】都收敛才收敛，一个发散就发散！（3）比较判别法 建议还是要重点去回顾下课堂讲解的比较判别法 准则 1：设函数 ,f xg x在,)a上连续，且 0g xf x，则 1）若 af x dx发散，则 ag x dx发散；2）若 ag x dx收敛，则 af x dx收敛.准则 2：设函数 ,f xg x在,)a上连续，且 0,0g xf x，limxf xlg x，1）若0l 2）若l 3）若0lA A，同敛散.（4）p积分（必记！）1）1,11,papdxpx收敛发散 2）01,11,appdxpx收敛发散（0a）一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 14【3】会用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积（1）平面图形的面积 直角坐标系：121dbaSyxyxx 221ddcSxyxyy 极坐标系：211d2Sr 222211d2Srr（2）旋转体体积（数二数三一定要重点看！）（考题机率你懂的！）平面图形由曲线 yy x（曲线在x轴上方）与直线,xa xb和x轴围成 绕x轴旋转一周的体积 2dbxaVyxx；绕y轴旋转一周的体积 2dbyaVxy xx.平面图形由曲线 xx y（曲线在x轴上方）与直线,yc yd和y轴围成 绕x轴旋转一周的体积 2ddxcVyx yy；绕y轴旋转一周的体积 2ddycVxyy.【4】数一、数二内容（数三不看）（数二非常重要！）（1）平面曲线弧长 直角坐标系 设光滑曲线 yy x)bxa（，弧长21dbasyx.一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 15 极坐标系 设光滑曲线，)(rr（ba）,弧长 22dbasrr 参数方程所表示的曲线 设光滑曲线C由)()(tyytxx)(bta给定，弧长 22dbasxtytt.（2）旋转体的侧面积：在x轴上方的曲线绕x轴旋转一周而成的旋转曲面的面积 情形：曲线方程为 yy xaxb，则 221dbaSy xyxx.情形：曲线方程为 ,xx tyy taxb，则 222dbaSy txtytt.情形：曲线方程为 rrab，则 222sindbaSrrr.（3）质心形心公式（还记不住，就有点对不起人啦！）一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 16 考前第 8 记 多元微分学【1】多元函数在一点处连续、偏导数存在和可微的判定（1）连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx（2）偏导数 函数(,)zf x y在点),(00yx处的偏导数：00000000000,0,limlimxxxxyf x yf xyf xx yf xyzxxxx .000000000000,limlimyyyxyf xyf xyf xyyf xyzyyyy .函数(,)zf x y在点(,)x y处的偏导数：0,limxf xx yf x yzxx .0,limyf x yyf x yzyy .（3）全微分（定义法是重点！）函数(,)zf x y在点00,xy处可微00,xfxy与00,yfxy存在且 000000000022,00,lim0 xyx yxyf x yf xyfxyxxfxyyyxxyy.如果函数(,)zf x y在点(,)x y可微分，则函数(,)zf x y在点(,)x y的偏导数,zzxy存在，且 dddzzzzzxyxyxyxy.一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 17（4）二元函数,f x y相关性质的关系 【2】多元复合函数偏导数和全微分的求法（1）具体的复合函数求偏导：对一个自变量求偏导，将其余自变量均看作常数，从而可利用一元函数的求导方法求解这类函数的偏导数.（2）抽象的复合函数求偏导数（需要回顾题目，应该很熟练，那种套娃的题还有印象么？）【3】多元隐函数偏导数和全微分的求法（1）多元隐函数一阶偏导数 若,zf x y由方程,0F x y z 确定，则,yxzzFx y zFx y zzzxyFx y zFx y z .若 ,yy xzz x由方程组,0,0F x y zG x y z确定，则dd,ddyzxx可通过解线性方程组dd0dddd0ddxyzxyzyzFFFxxyzGGGxx得到.若,u x yv x y由方程组,0,0F x y u vG x y u v确定，则,uvxx可通过解线性方程组00 xuvxuvuvFFFxxuvGGGxx得到；由00yuvyuvuvFFFyyuvGGGyy可以解出,uvyy.一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 18（2）隐函数存在定理（这是今年大纲重点修订的）对于方程,0F x y z，若0 xF，则可以确定隐函数,xx y z；对于方程,0F x y z，若0yF，则可以确定隐函数,yy x z；对于方程,0F x y z，若0zF，则可以确定隐函数,zz x y；【注】不用想的太难，一点都不牛 b，只不过是看哪个做分母导数不为零就行！【4】多元函数的无条件极值、条件极值、闭区域最值的方法（1）无条件极值 Step1求出,zf x y的驻点，记作00,xy；Step2求出,zf x y在点00,xy处的二阶偏导数，记作 000000,xxxyyyAfxyBfxyCfxy；则，情形：20ACB，且00A，则00,f xy是极小（大）值.情形：20ACB，则00,f xy不是极值.情形：20ACB，则该方法失效.（想定义法！）（2）条件极值 借助拉格朗日乘数法求解目标函数,zf x y在约束条件,0 x y下的最值 Step1写出拉格朗日函数,F x yf x yx y，其中为参数.Step2求,F x y的驻点,即解方程组,0,0,0 xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y.Step3此解出x，y，其中（x，y）就是函数),(yxfz 在条件0),(yx下的可能最值点.根据实际问题确定驻点是否是极值点.【注】此方法亦适用于多个变量多个约束条件的极值问题，如 目标函数,uf x y z在约束条件,0,0 x y zx y z下的最值 一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 19 1）拉格朗日函数,F x y zf x y zx y zx y z；2）解方程组,0,0,0,0,0 xxxxyyyyzzzzFfx y zx y zx y zFfx y zx y zx y zFfx y zx y zx y zFx y zFx y z；3）解出,x y z，其中,x y z就是可能最值点.（3）闭区域最值问题 设函数,f x y在有界闭区域D上连续,求,f x y在D上的最大值与最小值.其方法为：Step1求出,f x y在D内的全体驻点,并求出,f x y在各驻点处的函数值；Step2求出,f x y在D的边界上的最大值和最小值；Step3将,f x y在各驻点处的函数值与,f x y在D的边界上的最大值和最小值相比较，最大者为,f x y在D上的最大值，最小者为,f x y在D上的最小值.一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 20 考前第 9 记 二重积分【1】二重积分性质（1）二重积分比较定理：若在D上，,f x yg x y，则有不等式(,)(,)DDf x y dg x y d.特别地，(,)(,)DDf x y df x y d.（2）中值定理：设函数(,)f x y在有界闭区域D上连续，则至少存在一点()D,，使得(,)()Df x y df ,【注】还记得冲刺讲义上解决那道二次积分极限的题目么？（2）二重积分的奇偶对称性：若D关于y轴对称，则 1 0,d d2,d d,DDf x yxf x yx yf x yx yf x yx关于 是奇函数关于 是偶函数，D1是D在y轴右边部分.若D关于x轴对称，则 1 0,d d2,d d,DDf x yyf x yx yf x yx yf x yy关于 是奇函数关于 是偶函数，1D是D在x轴上边部分.一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 21（3）二重积分的轮换对称性：若D关于直线yx对称,则 1,d d,d d,d d2DDDf x yx yfy xx yf x yfy xx y.【2】二重积分计算（1）框架 （2）技巧性 一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 22 考前第 10 记 微分方程【1】解微分方程（1）变量可分离微分方程：形如()()yf x g y，()0g y 的方程；方法：()()dyf x dxCg y.（2）齐次方程：形如d()dyyfxx的方程；方法：换元yux，则dd,ddyuyxuuxxx，原方程可化为 dduuxf ux 按变量可分离微分方程的方法求解得：dduxf uux.最后将yux回代入左式的解.（3）一阶线性非齐次方程：形如：()()yp x yq x（()0q x）的方程.方法：()d()de()edp xxp xxyq xxC.（4）（数一）伯努利方程：形如()()nyp x yq x y（0,1nn），方法：左右两端同时除以ny再令1 nzy，则原方程可化为 d(1)()(1)()dzn p x zn q xx 由通解公式(1)()(1)()(1)()n p x dxn p x dxzen q x edxC，回代之后得y.（5）可降阶的高阶微分方程（数一数二）形如 nyxf x的方程；方法：方程两边连续积分n次可得通解.形如),(yyfy 称为不显含x的方程，方法：令py，dydppy 再回代 一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 23 形如),(yxfy 称为不显含y的方程，方法：令py，py 再回代（6）二阶常系数线性齐次微分方程：形如0ypyqy的方程 Step1写特征方程20rprq Step2求特征值12，Step3写通解：（1）若12，则1212()eexxy xCC 单根（2）若12=，则112()exy xCC x 重根（3）若1,2i，则12()ecossinxy xCxCx 复根【注】注意考反问题；注意可以推广到 3 阶，4 阶常系数齐次问题（7）二阶常系数线性非齐次微分方程：形如方程()ypyqyf x的方程，方法：step1求对应的齐次方程的通解 Y x；Step2用待定系数法求出非齐次方程的一个解 yx；Step3写出非齐次方程的通解 yY xyx.【注】设特解 1）()()exnf xP x其中()nP x为n次多项式，为实常数.若不是特征根，则令()exnyxQx；若是特征方程的单根，则令()()exnyxxQx；若是特征方程的重根，则令2()()exnyxx Qx 2）()esinxnf xPxx，或者()ecosxnf xPxx 若i不是特征根，0()sincosxnnyxeQxxRxx x 若i是特征根，1()sincosxnnyxeQxxRxx x【注】注意叠加定理的考察.一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 24（8）差分方程：1()ttyayf t Step1求齐次通解：10ttyay，则特征值为a，故齐次通解为()ttyCa；Step2设非齐次特解()f t的形式 确定待定特解的条件 待定特解的形式 b 不是特征根()tmb Qt()tmb P t(0)b 是特征根()tmB tQt()mQt是 m 次多项式 Step3回代定参数，写通解.（9）（数一）欧拉方程.【注】建议完成一道欧拉方程习题，一本通选取即可.【2】线性微分方程解的结构 二阶齐次线性方程 0ypyqy （1）二阶非齐次线性方程 ypyqyfx （2）（1）齐次通解为：1C齐+2C齐 （注意两个齐次解必须线性无关）（2）非齐次通解为：1C齐+2C齐+非齐【注】可以推广到三阶、四阶；反问题是一个重点应用！一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 25 考前第 11 记 无穷级数【1】常数项级数的敛散性 1定义法1nnu收敛limnnS存在【重点】11nnnuu收敛limnnu存在（重要炸了！）2性质（快速过一遍喽！）（1）0k，1nnu与1nnku同敛散.（2）若1nnu收敛且1nnv收敛，则1nnnuv收敛.【注】收敛收敛=收敛；收敛发散=发散；发散发散=未知待定.（3）改变级数的“前有限项”不影响级数的敛散性（4）原级数收敛，则任意加括号后也收敛.【注】任意加括号后收敛，不能推出原级数收敛；任意加括号后发散，则可推出原级数发散；（5）收敛级数的必要条件【注】若1nnu收敛，则lim=0nnu.一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 26 3审敛法 重要！重要！【注】根据上面框架体系，首先要明确每种级数有哪些操作方法，其次要熟悉每种方法的具体内容.（相信我，所有的光芒都需要时间才能被看到！再坚持一把啦！）【2】幂级数求和函数 1阿尔贝定理：（1）如果级数0nnna x在0 xx处收敛，则幂级数在0 xx内绝对收敛.（2）如果级数0nnna x在0 xx处发散，则幂级数在0 xx内发散.【注】如果题目中出现“条件收敛”，注意这个点就是分界点！2收敛域的求法 一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 27 4幂级数求和函数与幂级数展开式的参照级数【必记！】（1）011nnxx 收敛域：1,1x （2）011nnxx 收敛域：1,1x 一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 28（3）111ln 1nnnxxn 收敛域：1,1x （4）0e!nxnxn 收敛域：,x （5）2101sin21!nnnxxn 收敛域：,x （6）201cos2!nnnxxn 收敛域：,x 【注】幂级数求和与展开的题目，好好回顾真题或者强化内容！一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 29 考前第 12 记 行列式【1】行列式的性质 性质 1 经转置行列式的值不变.TAA 性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.性质 3 若行列式某行（列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面即：111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakak aaaaaaaaa.推论：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.性质 4 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变.性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.如：111112131112131112132121222321222321222331313233313233313233abaaaaabaaDabaaaaabaaabaaaaabaa.一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 30【2】行列式展开定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，1122niiiiininDa Aa Aa A.或 1122njjjjnjnjDa AaAa A.【注】行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 22110ijijinjna Aa Aa A.或 11220ijijninja Aa Aa A.【3】代数余子式考点（1）某行（列）代数余子式线性和问题 1112111211222niininnnnnnaaak Ak Ak Akkkaaa.就是把原行列式中的第i行元素去掉分别换成k1，k2，kn.（2）重点：1122nnAAAAtr A（这是个很有嫌疑的点！）【4】特殊行列式计算（1）行（列）加和相等（2）爪型行列式（3）三线行列式 展开，用递推公式处理（要会！）（4）点斜行列式 按照点的位置展开 一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 31（5）范德蒙：1232222123111111231111()nnnijn ijnnnnnxxxxDxxxxxxxxxx【注】好好回顾课程部分中这个板块的讲解喽！【5】抽象型行列式计算（必记！）（1）TAA（2）nkkAA（3）11AA（4）12nnAA（5）ABA B（6）12n A （7）若AB，则AB.（还记得五等五相似么？）一笑而过 考研数学微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 32 考前第13 记 矩阵【1】几组对照记忆公式（1）()TTTABB A，*()ABB A，111()ABB A（2）TTT()ABAB，111(),()ABABABAB（3）,1T三个符号可以交换，比如11*1()()AAAA【2】伴随矩阵 1定义 设()ijn naA，由A的各个元素的代数余子式ijA构成的矩阵：112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA（伴随矩阵第三大考点！）称为矩阵 A 的伴随矩阵且有AAA AA E 2性质（1）AAA AA E；（伴随矩阵第一大考点！）（2）*()ABB A；（3）12nnAA；（4）11*1()()AAAA；（5）设abcdA，则dbcaA；（6）设是2n n阶矩阵，则,()()1,()10,()1nrnrrnrnAAAA.（伴随矩阵第二大考点！）一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 33【3】逆矩阵 1定义 对于 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶矩阵 B，使ABBAE，则称矩阵是可逆的，2可逆的充分必要条件（1）10rnAAA存在.（2）10rnAAA不存在.3性质（1）若可逆，则1A亦可逆，且11()AA；（2）若可逆，则kA(0)k 亦可逆，且111()kkAA；（3）若,A B可逆，则AB亦可逆，且111()ABB A；（4）若可逆，则TA亦可逆，且T11 T()()AA；（5）11AA.4逆矩阵的求解方法（考试时候若需求，一定不要怂！一定要刚完！）（1）定义法：是方阵，若ABE或BAE，则,A B互为逆矩阵.（2）公式法：1AAA.如2阶具体矩阵abcd，其伴随矩阵为dbca，又0abcd，则1dbabcaabcdcd.（3）初 等 行 变 换 法：将 增 广 矩 阵A E初 等 行 变 换 成 行 最 简 形 矩 阵，即rA EE B，则1BA.如 3 阶具体矩阵.（4）分块矩阵法 111111,BOOBBOOCOCCOOCBO；（必记）1111111111,AOACAOAA CBCBOBB CABOB.（可不记，会推就行）一笑而过 考研数学2022 考研数学考前 21 记 微博关注 考研数学周洋鑫 及时领取考研干货资料 34【4】初等矩阵 1定义 单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵三种初等变换对应三种初等矩阵：（1）E作变换ijrr（或ijcc），得初等矩阵ijE.（2）E作变换irk（或ick），得初等矩阵()ikE.（3）E作变换ijrkr（或jickc），得初等矩阵()ijkE.2性质 左行右列 3nb 表格（重要炸了！）【5】矩阵的秩 1定义 如果矩阵中存在 r 阶子式0D，而的所有的1r 阶子式全为 0，则叫做的最高阶非零子式，r 叫做的秩，记作()r A 2定势思维（重要炸了！）（1）AO，则()1rA（2）两行不成比例，则()2rA 3求秩的方法 通过初等行变换，先化成行阶梯形矩阵，数一数非零行的