考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心(进阶)1为中华之崛起而读书专题12反常积分敛散性的解题方法(紧密)注1:由于本专题在3月的基础阶段完全没讲,所以本讲义不仅有例题,还包含了理论部分的讲解.注2:吃透这份讲义,考研数学范围内的一切反常积分敛散性,你几乎都可以一眼看出答案.注3:本专题没有“留白版”,大家自己准备白纸做笔记.一、基本定义与概念(一)无穷区间上的反常积分若极限存在,则称反常积分收敛;否则称为发散.同理可定义和.其中,收敛的充要条件是和都收敛.注:反常积分不能盲目套用奇偶性的结论,也就是说——即使是奇函数,也不一定等于零;即使是偶函数,也不一定等于.反常积分想要使用奇偶性,前提是积分收敛.比如就不是0,而是发散!这是因为,对于而言,上限趋向于的速度和下限趋向于的速度不一定相同.先写出定义——,下限的是因为,上限的是因为,但和毕竟是两个不同的变量,所以它们趋向于无穷的速度也不同,所以即使是奇函数,对应的正无穷大,与对应的负无穷大也并不是同一个无穷,故不能正负抵消,即的结果不是0,而是发散.记住,若和都发散,那么即使二者一正一负,相加也不能抵消!考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心(进阶)2为中华之崛起而读书当然,如果收敛,则可以用奇偶性,比如——就是对的,因为收敛;就是错的,因为就已经发散了.认为反常积分可以直接套用奇偶性结论的人,可能背错了定义,他们以为上下限趋向速度相同!也就是说,并不是的定义,才是!(二)无界函数的反常积分在连续,且,则称为瑕点,为瑕积分.若存在,则称收敛;若发散,则称发散.同理,若,则是瑕点,并定义.若,且,则是瑕点,并定义.对于瑕点藏在区间内部的情况,收敛的充要条件是和都收敛.注:对于瑕点藏在内部的瑕积分,也不能盲目套用奇偶性的结论,理由与上面相同!比如即使是奇函数,但,故发散,不是0.(三)绝对收敛与条件收敛若收敛,则称绝对收敛;若发散,但收敛,则称条件收敛.显然,绝对收敛是一个比收敛更强的概念.考研竞赛凯哥-25届-高数上册核心(进阶)3为中华之崛起而读书二、比较判别法及其极限形式(一)无穷区间上的反常积分的比较判别法1.比较判别法设函数在上连续,且恒成立,则——(1)若收敛,则也收敛;(大的收敛,小的也收敛)(2)若发散,则也发散.(小的发散,大的也发散)该方法需要恒成立,这是个很苛刻的条件.但就像单调有界准则一样,其实无需从第1项起就单调,只要从某一项开始是单调的就够了,毕竟...