第一章行列式§1行列式的定义1.1排列与逆序数由自然数1,2,,n组成一个有序数组,称为一个n阶排列,记为12.njjj按数字的自然顺序由小到大的n阶排列123n称为标准排列或自然排列.一个排列中,如果一个大的数排在小的数之前,就称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.用()12njjj表示排列12njjj的逆序数.如果一个排列的逆序数是偶数,则称这个排列为偶排列,否则称为奇排列.1.2对换将一个排列中的两个数交换位置,其余的数不动,称为一次对换.对换的性质(1)一个排列中的任意两个元素对换,改变排列的奇偶性.(2)奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.1.3n阶行列式n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaaaa是一个数,此数值是取自行列式中不同行且不同列的n个元素乘积1212njjnjaaa的代数和,其中12njjj是1,2,,n的一个排列,共有n!项.每项的符号规定:当12njjj为偶排列时取正号,当12njjj为奇排列时取负号,即仅限浩哥2025届考研课程使用哥2025届考研课程使用限浩哥2025届考研课程使用程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限仅限浩哥2025届考研课程仅限浩哥2025届考研()12121211121212221212(1).nnnnjjjnjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa=−其中12njjj表示对所有n阶排列求和.【注1】行列式的逆序定义是学习本章的难点,理解该定义应抓住以下三点:(1)n阶行列式的全部展开式共有n!项.(2)每项是取自不同行不同列的n个元素的乘积,并冠以正负号,且其中一半取正,另一半取负.(3)行列式的值是一个数,当行列式元素中引入参数或未知量时,其形式为函数.【注2】下列行列式可直接用定义得出结果,并可作为公式.(1)主对角线及右上(左下)三角形行列式111112111222222122112212.nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa===(2)副对角线及左上(右下)三角形行列式()11111,112,122,1212,11,1111212,11000000(1).nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa−−−−−−−===−【注3】将【注2】推广可得分块矩阵的行列式.特殊情况下有拉普拉斯展开式:若A和B分别是m阶和n阶矩阵,则*,*===AOAAOABOBOBB*(1).*mn===−OAOAAABBOBBO【注4】n阶行列式在2,3n=时的特例:二阶行列式abadbccd=−;三阶行列式仅限浩哥2025届考研课程使用哥2025届考研课程使用限浩哥2025届考研课程使用程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限浩哥2025届考研课程使用仅限仅限浩哥2025届考研课程仅限浩哥2025届考研111213212223112233122331132132132231122...
