专题9 定积分计算中的解题方法（留白）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 9 定积分计算的解题方法（留白）以下的 6 个考法，涵盖了过去 37 年考研数学的定积分计算中几乎所有的重要考法吃透，高分吃透，高分！一、利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分一、利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分.2（一）直接使用 N-L 公式.2（二）分区间使用 N-L 公式.3 二、利用性质简化计算（奇偶性、周期性、点火公式、二、利用性质简化计算（奇偶性、周期性、点火公式、等）等）.4 三、区间再现公式三、区间再现公式.5 四、分段函数的定积分（最值函数，取整函数，绝对值函数，都是分段函数）四、分段函数的定积分（最值函数，取整函数，绝对值函数，都是分段函数）.7 五、定积分的综合计算五、定积分的综合计算.8（一）被积函数中含有变限积分函数的定积分.8（二）被积函数中含有导函数的定积分计算.11（三）反函数的定积分.11（四）已知一个积分，求另一个积分.12（五）利用“定积分的结果是一个数字”来求解某些待定函数的问题.12（六）利用分部积分，导出积分的递推公式.13 六、一类特殊的导数（被积函数含震荡间断点的变限积分）六、一类特殊的导数（被积函数含震荡间断点的变限积分）.15 配套作业配套作业.16 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分（一）直接使用（一）直接使用 N-L 公式公式 例题例题 1(李永乐，复习全书).例题例题 2(2008 年)类题(武忠祥，辅导讲义)考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 3(谢慧民，习题课讲义)（二）分区间使用（二）分区间使用 N-L 公式公式 例题例题 4(武忠祥，十七堂课)注注：在公式中，是的一个原函数原函数，所以必须保证连续连续.所以，如果在积分区间内部存在无定义点，是不能直接使用区间内部存在无定义点，是不能直接使用 N-L 公式的公式的.对于这种 bug，我们的处理方法是将积分区间从无定义点处拆开，拆分成若干个小积分之和.当然，也可利用周期性和对称性，提前将无定义点移出：.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 二、利用性质简化计算（奇偶性、周期性、点火公式二、利用性质简化计算（奇偶性、周期性、点火公式、等等）例题例题 5(2001 年)例题例题 6(武忠祥，十七堂课)类题 例题例题 7 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 8 三、区间再现三、区间再现公式公式 例题例题 9(1)证明区间再现公式(2)尝试从几何意义去理解区间再现公式，并推测为何有时比和要更加好算；(3)计算，验证你在(2)中的猜想.(4)计算 注注：对于原函数比较难求，甚至根本没有初等原函数的积分，可以尝试区间再现，可能有“奇效”值得注意的是，区间再现公式用完以后，往往是把两个积分加起来除以二再进行计算，这个过程中，可能会对被积函数进行一些变形化简，很多同学之所以最后没做出来下面的这些积分题，很大程度上是因为没有看出这些恒等变形.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 10(李正元，复习全书)类题(张宇，1000 题)例题例题 11(张宇，1000 题)类题(张宇，1000 题)例题例题 12(李艳芳，900 题)考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 13(欧拉积分)类题(凯哥，每日一题)计算和 例题例题 14 四、分段函数的定积分四、分段函数的定积分（最值函数，取整函数，绝对值函数，都是分段函数）（最值函数，取整函数，绝对值函数，都是分段函数）只需将积分区间拆开，在每一段上分别积分，然后相加即可.这种题型是考研的重点，但不是难点.例题例题 15(李永乐，660 题)设，则 .考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 16(2006 年)设，求函数的表达式.五、定积分的综合计算五、定积分的综合计算（一）被积函数中含有变限积分函数的定积分（一）被积函数中含有变限积分函数的定积分 当需要计算的定积分的被积函数中，含有变限积分函数时，我们的处理手段有两种(1)利用分部积分利用分部积分：将除了变限积分外的其余函数凑到 d 后面，然后分部积分，便可消掉变限积分；(2)利用二重积分利用二重积分：毕竟是积分号里套积分，所以明显可以视为累次积分，然后交换积分次序即可.例题例题 17(1995 年)设，计算.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）9 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 18(李艳芳，900 题)设，求.例题例题 19(李艳芳，900 题)设，且，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）10 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 类题(2016 年)已知函数在连续，在内是的一个原函数，(1)求在上的平均值 (2)证明在内有唯一零点 注注：本题是 2016 年的压轴题，当年很多学生连题目都没看懂比如有的人根本不知道什么叫“在上的平均值”，导致这题没法下笔；还有的憨憨根本就不知道函数没有初等原函数，妄想把积分硬算出来.注注：当然，也并非所有变限积分出现在被积函数中时，都要采用分部积分，比如下面这道经典题 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）11 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 20(汤家凤，1800 题)设连续，且时，求.（二）被积函数中含有导函数的定积分计算（二）被积函数中含有导函数的定积分计算 这种题目，只需要把导函数凑到 d 后面，然后分部积分即可.这种题过于简单，大家可以自行练习.例题例题 21(汤家凤，1800 题)设，求.（三）反函数的定积分（三）反函数的定积分 例题例题 22(李艳芳，900 题)设是上的单调、可导函数，且.其中是的反函数，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）12 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（四四）已知一个积分，求另一个积分）已知一个积分，求另一个积分(1)利用分部积分利用分部积分 这是因为，分部积分会产生一个新的积分，所以建立了两个不同积分之间的关系.并且，对于这种题目，在分部积分的时候，把谁凑到 后面去，把谁留下来，无需遵循“对反幂指三”的口诀，没用！这类题你要看清楚你要计算的积分你要计算的积分和题干已知的积分题干已知的积分，观察二者的区别与联系观察二者的区别与联系，然后去思考到底把谁凑到 d 后面去才能够使两个积分之间相互转化.(2)利用利用换元法换元法 例题例题 23 设，求 例题例题 24(李林，880 题)已知，求.注注：叫“狄利克雷积分”，考研学生只需知道它收敛于即可，无需知道原因.（五五）利用）利用“定积分的结果是一个数字定积分的结果是一个数字”来求解某些待定函数的问题来求解某些待定函数的问题 一般来说，求函数表达式往往会想到建立微分方程（这确实是常规思路），但还有一类更简单的题.若的具体形式已经完全清楚，只是其表达式中含有一个未知的定积分，我们只需要想办法把这个积分求解出来，那么这个函数的表达式就完全确定下来了.具体的解题方法有 2 种：(1)假设这个未知的积分等于，在题干等式两边在相同的区间上再次积分，便可得到一个关于的方程，即可解出的值，从而得到的具体表达式；(2)待定系数法无脑秒杀.例题例题 25(李永乐，660 题)设，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）13 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 26(武忠祥，辅导讲义)设为连续函数，求.例题例题 27，求和表达式.（六六）利用分部积分，导出积分的递推公式）利用分部积分，导出积分的递推公式 例题例题 28(李林，108 题)求，并计算.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）14 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 29(教材)请默写并推导“点火公式”.例题例题 30(张宇，1000 题)设.(1)证明：；(2)证明：；(3)计算：.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）15 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 31(2019 年)设 (1)证明：单调递减；(2)证明：；(3)求.六、一类特殊的导数（被积函数含震荡间断点的变限积分）六、一类特殊的导数（被积函数含震荡间断点的变限积分）例题例题 33(凯哥，每日一题)设，求.注注：本题属于“初见杀”，第一次遇到确实难想，但只要会了这一道题，那么这一类题就都会了！考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）16 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 配套作业配套作业 作业作业 1(2012 年)作业作业 2 求：(1)(2)(3)作业作业 3 求：(1)(2)(3)考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）17 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 4(1999 年)设连续，求的值.作业作业 5(2007 年)设在单调、可导，且满足，求.作业作业 6 设在连续，且，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）18 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 7(2013 年)设，计算.作业作业 8 设，计算.作业作业 9 已知时，且，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）19 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 10 设连续，证明：.作业作业 11 设非负连续，求.作业作业 12(2019 年)，则 .考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）20 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 13(李林，880 题)设，且，求.作业作业 14 设，求，并求的最小值.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）21 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 15 设，求.