专题6 微分不等式中的解题方法（留白）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 6 微分不等式的解题方法（留白）以下的 3 个考法，涵盖了过去 37 年考研数学的微分不等式中几乎所有的重要考法吃透，高分吃透，高分！一、利用单调性证明不等式一、利用单调性证明不等式.2（一）直接构造函数求导.2（二）变形后构造函数（取对数、去分母、约分等）.3（三）形如的不等式.5 二、利用凹凸性证明不等式（利用泰勒展开）二、利用凹凸性证明不等式（利用泰勒展开）.6 三、利用中值定理证明不等式三、利用中值定理证明不等式.8（一）利用拉格朗日中值定理，证明不等式.8（二）利用柯西中值定理，证明不等式.9（三）构造辅助函数，证明不等式（与中值定理证明题类似）.10 配套作业配套作业.11 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一一、利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式（一一）直接构造函数求导直接构造函数求导 例题例题 1(李正元，复习全书)当时，.注注 1：本题可推出“，则”也成立，想想怎么推导的？.注注 2：本题可推出“，则”也成立，想想怎么推导的？注注 3：本题对例题 7 的证明也有帮助，你能看出来吗？例题例题 2(李永乐，复习全书)设，证明：.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 3(2012 年)证明：，其中.（二二）变形后构造函数变形后构造函数（取对数、去分母、约分等）（取对数、去分母、约分等）有些不等式被出题人故意“复杂化”，目的是麻痹考生，使我们构造出来的函数不便于求导，增大计算量！所以，我们需要先对欲证不等式恒等变形，简化结论以后再构造函数！例题例题 4 证明：，其中.类题(李正元，复习全书)证明：，其中.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 5(2018 年)已知常数，证明：.例题例题 6(李林，108 题)证明：.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（三三）形如形如的不等式的不等式 有些题目的不等式形如“”，其中均是常数.这种题目，我们的首要问题就是分析常数与函数的关系根据经验，“一般而言”，这类题中的函数都是单调函数，而常数恰好是在定义域端点处的函数值（当然，若要证的结论为，那么一般都是在端点处的极限值）.例题例题 7(1998 年)证明：，其中.例题例题 8(1)证明：，其中；(2)利用上述不等式比较的大小.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 二二、利用利用凹凸性凹凸性证明不等式（利用证明不等式（利用泰勒展开泰勒展开）有一些题目告诉了二阶导函数恒正或者恒负，然后让你证明某个不等式.这个时候可以尝试将函数泰勒展开，然后利用二阶导函数不变号的特点扔掉拉格朗日余项，从而得到一个不等式.这是一个极其重要的手法，与函数凹凸性有关的很多性质都可以利用这个方法进行证明；并且，该方法中的“二阶导”可以改为“偶数阶导”，操作方式仍然不变.比如，已知恒成立，那么泰勒展开以后，扔掉拉格朗日余项，那么就将泰勒展开的等式变成不等式了.比如，证明、，都可以！例题例题 9(1995 年)设，且，证明：.例题例题 10(琴生不等式)设，证明：(1)；(2).类题(琴生不等式)设在二阶可导，且.证明：.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 11(李正元，复习全书)设，请利用上题的结论证明下列不等式：(1)；(2)；例题例题 12(2018 年)设在二阶可导，且，则()例题例题 13(2006 年)设二阶可导，为自变量 在点处的增量，与分别为在点处的增量与微分.若，则()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 14(蒲和平，竞赛教程)证明不等式：，其中.注注：第一反应肯定是拉格朗日，但发现证不出来，本质原因是“精确度不够”.所以，尝试更为精确的“带拉格朗日余项的泰勒中值定理”.三三、利用中值定理证明不等式利用中值定理证明不等式（一）利用拉格朗日中值定理，证明不等式（一）利用拉格朗日中值定理，证明不等式 例题例题 15(2004 年)设，证明：.例题例题 16 设，.证明：对，均有.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）9 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 17(2002 年)设，证明：.析析：若对中间项使用拉格朗日中值定理，故相当于证明，其中.要证明，只需证明即可，由均值不等式即可，故左边成立；但是，却证不出来.因为要证明，需要证明，即证，矛盾.本题表明利用中值定理证明函数不等式，虽然偶尔会事半功倍，但也可能会失效，证不出来！利用中值定理证明函数不等式，虽然偶尔会事半功倍，但也可能会失效，证不出来！.所以，对于函数不等式的证明，学会“构造函数，求导判断单调性”，才是我们的复习重心！右边不等式可以这样分析要证，即证.由于，令，故等价于证明.而这不就是我们前面的例题 1 吗？例题例题 18(李林，880 题)设在二阶可导，在内取得最小值.证明：.（二）利用柯西中值定理，证明不等式（二）利用柯西中值定理，证明不等式 例题例题 19 设，证明：.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）10 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 20(汤家凤，1800 题)证明：，其中.类题(李正元，复习全书)证明：，其中.（三）构造辅助函数，证明不等式（三）构造辅助函数，证明不等式（与中值定理证明题类似）（与中值定理证明题类似）例题例题 21(李正元，复习全书)设满足，证明：时，.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）11 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 类题(武忠祥，每日一题)设二阶可导，且对，均有成立.若，证明：.配套作业配套作业 作业作业 1(1996 年)证明：，其中.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）12 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 2(1995 年)设，且，请用两种方法证明：.作业作业 3(李永乐，复习全书)设，证明：，当且仅当时等号成立.作业作业 4 证明：，其中.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）13 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 5(凯哥，每日一题)设，证：时，.