专题8 不定积分中的解题方法（紧密）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 8 不定积分的解题方法（紧密）以下的 7 个考法，涵盖了过去 37 年考研数学的不定积分中几乎所有的重要考法吃透，高分吃透，高分！一、分段函数的不定积分一、分段函数的不定积分.2 二、有理函数的积分二、有理函数的积分.2（一）待定系数法裂项.2（二）其他方法巧妙裂项.2 1.根据分母的形式，改造分子，从而快速裂项.2 2.倒代换，简化运算.2（三）与相关的积分.2 三、一类无理函数积分三、一类无理函数积分.3 四、三角有理函数的积分四、三角有理函数的积分.3（一）利用万能公式将三角有理函数化为有理函数.3（二）三角有理函数积分的特殊解法.4 五五、换元法与分部积分、换元法与分部积分.6（一）在 d 后加上恰当的常数，简化分部积分的计算.6（二）既要换元、又要分部积分（重点）.6（三）利用分部积分，对分母进行降阶.6（四）利用分部积分，实现“积分抵消”.7 六、对复杂部分求导，期待出现奇迹（刚好是分子就好了）六、对复杂部分求导，期待出现奇迹（刚好是分子就好了）.8 七、隐函数的不定积分七、隐函数的不定积分.8 注注 1：各个考研辅导书/习题集里的不定积分，基本都是陈题旧题，大家目前做的各种不定积分题也基本都是百年前的经典题，百年前的经典题，很难很难有什么新题有什么新题.所以，除了个别题目外，其它题目不再注明出处.注注 2：本专题不留作业不留作业了，例题已经足够多了.注注 3：事实上，凯哥的不定积分讲义（含基础部分），其全面程度已超过真题，完全可涵盖“真题+习题集+模拟卷”里的不定积分.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、分段函数的不定积分一、分段函数的不定积分 在不同的范围分别积分，但要记得调整任意常数，使得函数在分段点处连续！例题例题 1(2023 年，改)函数，则 .二二、有理函数的积分有理函数的积分（一）待定系数法裂项（一）待定系数法裂项 例题例题 2(2019 年)（二二）其他方法巧妙裂项）其他方法巧妙裂项 1.根据分母的形式，改造分子，从而快速裂项根据分母的形式，改造分子，从而快速裂项 例题例题 3 类题 1 类题 2 类题 3 (最后一步侮辱智商)2.倒代换，简化运算倒代换，简化运算 例题例题 4 注注：对于分母的次数远高于分子的有理函数积分，用倒代换可以大大化简.（三）与（三）与相关的积分相关的积分 例题例题 5 注注 1：本题非常经典，通过这个题目，我们可以解决所有形如的积分；注注 2：也可因式分解，但计算量大.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 类题 1 注注：利用以上两题，我们可求出积分 类题 2 例题例题 5 三三、一类一类无理函数积分无理函数积分 被积函数中，若出现令整个根号等于 例题例题 6 例题例题 7(教材)四四、三角有理函数的积分、三角有理函数的积分（一）（一）利用万能公式将三角有理函数化为有理函数利用万能公式将三角有理函数化为有理函数 所谓三角有理函数，可以通俗的理解为“三角函数经过加减乘除运算得到的函数”.从理论上来说，一切三角有理函数的积分，只需利用万能公式进行换元，令，则总能将三角有理函数的积分化为有理函数的积分.由于，故反解得，且；.将这些代入原积分，显然就将三角有理函数的积分化成了有理函数的积分.而一切有理函数的积分方法我们都已经学会，所以，三角有理函数的积分本身并没有本质上的困难；但是，万能解法并不一定是最快解法，针对一些具体的题目，我们也要有更巧妙的解法.例题例题 8 类题 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（二）（二）三角有理函数积分的特殊解法三角有理函数积分的特殊解法 1.形如的积分，我们一般假设“”，解出即可；例题例题 9(李艳芳，900 题)2.对于形如之类的题，我们可以直接采用积化和差公式，一步秒杀.例题例题 10 3.对于，若，则将凑到 后面，变出.例题例题 11(李艳芳，900 题)例题例题 12 注注：本题除了利用外，还可以使用分部积分，然后出现积分重现，即可解出我们需要的了.利用这个思想，我们解决下面两个类题 类题 1 类题 2 请思考如何计算积分 提示：分奇偶，凑；的计算方法和类似，也是“分部积分+积分重现”，然后得到和之间的递推关系.大家可以利用这个思想去计算一下和.4.对于，若，则可将凑到 后面，变出.注注：这种情况和上面的情形类似，不再过多举例.例题例题 13 类题 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 5.对于，若，则可制造出，然后凑成.例题例题 14 类题 1 类题 2 类题 3 例题例题 15 6.擅于使用“缩分母缩分母”技巧 如果分母为或者，那么可以尝试分子分母乘以共轭表达式，使分母从两项变为一项，达到“缩分母”的效果.因为，对于一个不定积分而言，如果分母项数太多，是非常难于处理的；但是若分母只有一项，分子就算有很多项相加，我们也可以将整个积分拆分成若干个小积分，分别计算即可.所以，“缩分母”是一个很重要的思想.当然，除了乘以共轭表达式以外，还可以利用的二倍角公式，也能达到缩分母的效果.例题例题 16 类题 注注：辅助角公式虽然用的频率不高，但是也需要记住，偶尔会有奇效.7.当被积函数中出现不同角度的三角函数时，我们一般先用倍角公式统一角度；例题例题 17(1994 年)例题例题 18 8.有些题不好分类，非要说的话，主要考的是恒等变形和灵活变通吧，需要具体问题具体分析.例题例题 19 例题例题 20 例题例题 21 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 五五、换元法与分部积分、换元法与分部积分（一）在（一）在 d 后加上恰当的常数，简化分部积分的计算后加上恰当的常数，简化分部积分的计算 例题例题 22 类题 （二）既要换元、又要分部积分（重点）（二）既要换元、又要分部积分（重点）例题例题 23(2018 年)类题 例题例题 24(2009 年)注注：若按照平时的做题习惯，解出后，将具体计算出来，再代入积分中，那么接下来的计算，就反而更加繁琐了.类似的题目还有以下几道 类题(李艳芳，900 题)例题例题 25 （三）利用分部积分，对分母进行降阶（三）利用分部积分，对分母进行降阶 如果分母的次数太高，我们除了可以利用倒代换进行降阶以外，还可以利用分部积分进行降阶.在具体操作时，最核心的步骤就是“想办法将分母凑到 后面，然后分部积分”.比如我们之前讲过的，就是利用这个了这个思想.下面请看一些类似的典型例题.例题例题 26 类题 以上 2 个题目，将分母凑到后面去是非常容易的.下面，我们再来看一个难一点的例题，它需要用到“强制凑微分”的技巧，但是其核心思想仍然是“利用分部积分，对分母进行降阶”.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 27 （四）利用分部积分，实现“积分抵消”（四）利用分部积分，实现“积分抵消”有些题目，需要把一个积分拆成两个积分，其中一个积分暂时不动，另一个积分使用分部积分，而分部积分后得到的新积分，刚好和相互抵消.这种题，被积函数中“一般”都含有指数函数.例题例题 28 已知连续，求.例题例题 29 注注：本题的背景是.当然也可用分部积分 类题 1 类题 2 注注：前面 3 个题目，被积函数中全都含有，不禁让人联想难道“部积分+积分抵消”的思想，只能用在被积函数出现的情形吗？其实也不尽然，有的题目，被积函数中出现的是，甚至都没有指数函数出现，也可尝试该方法.但是对于这种题，就无法利用的公式了，必须使用分部积分.例题例题 30(教材)注注：有时候需要对两个积分同时使用分部积分，使得分部积分以后的两个新的积分相互抵消.类题 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 31 例题例题 32 例题例题 33 注注：本题十分综合，但相信你们已经成长了，现在的你们做这道题应该不成问题.再次强调，吃透我的讲义（含基础部分的讲义），足够你应付任何一本辅导书中的不定积分计算题足够你应付任何一本辅导书中的不定积分计算题.六六、对复杂对复杂部分部分求导，期待求导，期待出现奇迹（刚好是分子就好了）出现奇迹（刚好是分子就好了）有时候，当被积函数中的某一部分，出现了一个比较复杂的“整体”时(这个整体一般来说是一个复合函数或者两个函数的乘积)，那么我们可以尝试对这个整体求求导，看一下它的导函数有什么特点(比如这个整体求导以后的函数，会不会刚好是被积函数的分子呢?)，这便于我们后续的凑微分等操作.例题例题 34 例题例题 35 类题 注注：其实通过上面的几个题，我们甚至可以自己总结出一个出题模板出题模板，如下 如果取，代入出题模板，稍作变形，即可原创一道题目，要不，拿去考考你的研友?例题例题 36 注注：其实，看到就应该想到了，就如同看到就可以联想一样.类题 1 类题 2 七、隐函数的不定积分七、隐函数的不定积分 例题例题 37(张宇，1000 题)设函数由方程所确定，求.