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篮球运动中的几个力学问题岳国联(六盘水市教育科学研究院贵州 六盘水 )黄绍书(六盘水市第 中学贵州 六盘水 )(收稿日期:)摘要:计算了篮球的转动惯量,并由此结合静摩擦力对篮球的冲量矩作用,计算分析了运球行走过程中影响篮球转动角速度变化的根本原因,还计算分析了水平抛出的篮球自由弹跳过程中重力势能转化为转动动能的情况关键词:转动惯量;冲量矩;动量矩变化;转动动能;滚动动能篮球可以看成是质量均匀分布的球壳,虽然其形变尺度比较显著,但在一些特定运动过程中,是可以从刚体或准刚体的角度进行分析的篮球运动过程是比较复杂的,往往既有平动,又有转动篮球运动是最为普及的体育健身项目之一,这里来讨论分析一下篮球运动中的几个力学问题转动惯量根据Jrsrrdm()可知,求刚体的转动惯量,关键是结合实际刚体模型确定个要素,即刚体质元dm的表示式,质元dm到转轴的距离r的表示式,积分的下限r和上限rs也就是积分范围对于如图所示的篮球,取其上半部来分析图求篮球的转动惯量半径为r处的圆环,有rRs i n()零,则h不为零,代入大气压强值(a t m使水柱升高 m),发现h很大若hh ,此值也有m甚至更大,而实验所用的容器无法达到此高度,所以浮沉子一直处于临界位置以上,即未达到发生不可逆现象的条件所以,若要在现有实验条件下观察到不可逆现象发生,浮沉子的初始位置就必须与液面齐平或与液面极其接近结论通过上述理论分析和实验数据结果表明:()浮沉子下沉后只有减压才能使之在水下达到受力平衡位置产生不可逆现象的根本原因为过度放压()浮沉子的自身参数(质量m、截面积S)是通过影响液面以下气柱高度h进而影响临界位置的深度参 考 文 献R o b e r t oD eL u c a,S a l v a t o r eG a n c i Al o t o f g o o dp h y s i c s i nt h eC a r t e s i a nd i v e rJ P HY S I C SE D U C A T I O N S,():N a z i rAm i r,RS u b r a m a n i a m M a k i n gaf u nC a r t e s i a nd i v e r:as i m p l ep r o j e c tt oe n g a g ek i n a e s t h e t i cl e a r n e r sJP HY S I C SE D U C A T I O N S,():常建,丁志勇“浮沉子”水下平衡的定量探究J物理教学探讨,():黄淑清,聂宜如,申先甲热学教程M北京:高等教育出版社,年第 期物理通报竞赛与物理专题研修dmm R r Rd()积分范围是考虑到篮球整体,容易得到其转动惯量为JrsrrdmRs i nm R r Rdm R()以上各式中,m均为篮球质量(下同),R均为篮球半径(下同)顺便说明,若对于实心均匀球体的转动惯量,可以借助均匀圆盘对其对称轴的转动惯量公式并结合图所示的图示来进行分析这样,半径为r处的圆盘的转动惯量元为dJrdm()而rRs i n()dmmRr(s i n Rd)ms i nd()所以,实心均匀球体的转动惯量为JdJrdmRs i nms i ndm R()说明一下,这里在求解篮球和均匀实心球体的转动惯量过程中的积分运算时,都直接应用了s i nndc o sndnnnn(n为偶数)nnnn(n为奇数)()这个重要的数学公式转动角速度及其变化在运球行走中,篮球与地面碰撞的瞬间,由于地面的静摩擦力对篮球的瞬时切向冲量矩,导致篮球旋转或改变篮球的旋转状况如图所示,篮球具有水平平动速度vc,与地面碰撞瞬间受到地面沿水平方向的静摩擦力f和竖直方向的作用力Fn(地面弹力和重力的矢量和)的共同作用若篮球与地面的第一次碰撞使篮球获得绕水平对称轴(直径)转动的角速度,设篮球与地面的作用时间为t,那么f RtJ()即摩擦力对篮球的冲量矩等于篮球的动量矩增量所以f RtJ()将式()代入式(),得ftm R()图切向冲量矩使篮球旋转篮球每次与地面碰撞,都会受到地面静摩擦力的切向冲量矩因此,篮球的转速原则上会随着运球行走过程中(设手每次对篮球的作用力均保持竖直向下)篮球与地面碰撞次数的增加而增大如果篮球每次与地面碰撞过程受力情况都相同,那么,第n次碰撞后篮球的角速度将变为nn n ftm R(n,)()在实际情况下,由于空气阻力作用等多重因素,篮球的转动角速度增大到一定程度后就不会继续增大了一般地,有ffmfmmFnFnk mg()式中fm为最大静摩擦力,m为最大静摩擦因数当篮球的水平平动速度和竖直平动速度都比较大时,篮球与地面碰撞的过程中,地面对篮球竖直方向的作用力Fn和静摩擦力f都会很大,且静摩擦力可达到最大静摩擦力fm这时,转动角速度也是最大的,可能达到最大值因此,结合式(),可将式()改写为m(n)n m()nmk gtR(n,)()年第 期物理通报竞赛与物理专题研修从式()可以看出,运球行走过程中,篮球转动的最大角速度与篮球的质量无关机械能的转化假定篮球以平动速度vc从某一高度h处无转动地水平抛出,让篮球只在重力和地面作用力的作用下运动篮球初始时刻的机械能可表示为Em vcm g h()与地面第一次碰撞后获得转动角速度那么,根据机械能守恒定律,这时的机械能可表示为Em(vcv竖直)J()其中,Jm R(下同)这一过程中,篮球的重力势能一部分转化为转动动能,一部分转化为竖直方向的平动动能当篮球第一次反弹达到某一最高位置h时,其机械能表示式为Em vcm g hJ()根据前述分析,以后篮球每次碰撞,其转动角速度都将增大仍假定每次碰撞过程篮球的受力情况都相同,那么,根据式(),第n次碰撞后篮球的角速度为n 因此,篮球第n次反弹达到某一最高位置hn时,其机械能表示式为Em vcm g hnJ nm vcm g hnnJ()随着碰撞次数n的逐次增加,反弹最大高度hn将逐次减小,而转动角速度n将逐次增大当hn减小到零时,n达到最大值m,这时机械能表示式为Em vcJ m()显然,这实际就是刚体滚动动能表示式,说明这时篮球将在地面上做滚动前进根据式()和式()整理并将Jm R代入,容易得出篮球转动的最大角速度为mm g hJg hR()从式()可以看出,篮球的初始位置越高,篮球的半径越小,最终获得的转动角速度就越大需要说明,式()与式()的意义是不尽相同的综上可以认为:篮球只在重力和地面作用向前自由弹跳的过程,实际就是重力势能逐次转化为转动动能的过程参 考 文 献缪钟英,罗启蕙力学问题研究M合肥:中国科学技术大学出版社,:S e v e r a lM e c h a n i c s I s s u e s i nB a s k e t b a l l S p o r t sYU EG u o l i a n(L i u p a n s h u iE d u c a t i o nS c i e n c eR e s e a r c hI n s t i t u t e,L i u p a n s h u i,G u i z h o u )HUANGS h a o s h u(L i u p a n s h u iN o M i d d l eS c h o o l,L i u p a n s h u i,G u i z h o u )A b s t r a c t:T h em o m e n to f i n e r t i ao ft h eb a s k e t b a l l i sc a l c u l a t e d,a n dc o mb i n e dw i t ht h ee f f e c to ft h es t a t i cf r i c t i o nf o r c eo nt h eb a s k e t b a l l sm o m e n to f i mp u l s e,t h e f u n d a m e n t a l r e a s o n sf o rt h ec h a n g eo f t h eb a s k e t b a l l sr o t a t i o n a l a n g u l a rv e l o c i t yd u r i n gt h ed r i b b l i n gp r o c e s sa r ec a l c u l a t e da n da n a l y z e d,a n dt h ef r e eb o u n c i n go f t h eb a s k e t b a l l t h r o w nh o r i z o n t a l l yi sc a l c u l a t e da n da n a l y z e d T h ec o n v e r s i o no fg r a v i t a t i o n a lp o t e n t i a le n e r g yi n t or o t a t i o n a l k i n e t i ce n e r g yd u r i n gt h ep r o c e s s K e yw o r d s:m o m e n to f i n e r t i a;m o m e n to fi mp u l s e;c h a n g eo fm o m e n to fm o m e n t u m;r o t a t i o n a lk i n e t i ce n e r g y;r o l l i n gk i n e t i ce n e r g y 年第 期物理通报竞赛与物理专题研修