专题12 反常积分敛散性的解题方法（紧密）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 12 反常积分敛散性的解题方法（紧密）注注 1：由于本专题在 3 月的基础阶段完全没讲，所以本讲义不仅有例题，还包含了理论不仅有例题，还包含了理论部分的讲解.注注 2：吃透这份讲义，考研数学范围内的一切反常积分敛散性，你几乎都可以一眼看出答案考研数学范围内的一切反常积分敛散性，你几乎都可以一眼看出答案.注注 3：本专题没有“留白版”，大家自己准备白纸做笔记.一、基本定义与概念一、基本定义与概念（一）无穷区间上的反常积分（一）无穷区间上的反常积分 若极限存在，则称反常积分收敛；否则称为发散.同理可定义和.其中，收敛的充要条件是收敛的充要条件是和和都收敛都收敛.注注：反常积分不能盲目套用奇偶性的结论，也就是说 即使是奇函数，也不一定等于零；即使是偶函数，也不一定等于.反常积分反常积分想要使用奇偶性想要使用奇偶性，前提是，前提是积分积分收敛收敛.比如就不是 0，而是发散！这是因为，对于而言，上限趋向于的速度和下限趋向于的速度不一定相同.先写出定义，下限的是因为，上限的是因为，但 和 毕竟是两个不同的变量，所以它们趋向于无穷的速度也不同，所以即使是奇函数，对应的正无穷大，与对应的负无穷大也并不是同一个无穷，故不能正负抵消，即的结果不是 0，而是发散.记住，若和都发散，那么即使二者一正一负，相加也不能抵消！考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 当然，如果收敛，则可以用奇偶性，比如 就是对的，因为收敛；就是错的，因为就已经发散了.认为反常积分可以直接套用奇偶性结论的人，可能背错了定义，他们以为上下限趋向速度相同！也就是说，并不是的定义，才是！（二）无界函数的反常积分（二）无界函数的反常积分 在连续，且，则称为瑕点，为瑕积分.若存在，则称收敛；若发散，则称发散.同理，若，则是瑕点，并定义.若，且，则是瑕点，并定义.对于瑕点 藏在区间内部的情况，收敛的充要条件是和都收敛.注注：对于瑕点藏在内部的瑕积分，也不能盲目套用奇偶性的结论，理由与上面相同！比如即使是奇函数，但，故发散，不是 0.（三）绝对收敛与条件收敛（三）绝对收敛与条件收敛 若收敛，则称绝对收敛；若发散，但收敛，则称条件收敛.显然，绝对收敛是一个比收敛更强的概念.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 二、比较判别法及其极限形式二、比较判别法及其极限形式（一）无穷区间上的反常积分的比较判别法（一）无穷区间上的反常积分的比较判别法 1.比较判别法比较判别法 设函数在上连续，且恒成立，则(1)若收敛，则也收敛；（大的收敛，小的也收敛）(2)若发散，则也发散.（小的发散，大的也发散）该方法需要恒成立，这是个很苛刻的条件.但就像单调有界准则一样，其实无需从第 1 项起就单调，只要从某一项开始是单调的就够了，毕竟前面的有限项不会影响敛散性.同理，反常积分里，只要 充分大以后有，则也能使用比较判别法判断敛散性.那么干脆再极端一点，直接考察在时的状态，这就是“比较判别法的极限形式”.2.比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式 设和在连续、非负，且，则(1)当时，若收敛，则必收敛（大的收敛，小的必收敛）；(2)当时，若发散，则必发散（小的发散，大的必发散）；(3)当 为非零常数，则和的敛散性相同该结论说明，若时和是同阶无穷小，则和同敛散.注注：比较判别法的极限形式是一个超级好用超级好用的结论，它说明对于（其中）而言，其敛散性主要取决于时，作为无穷小的“阶”，这让很多反常积分的敛散性一看便知，还没做就做完了！比如我们知道收敛，所以可以立刻看出下列反常积分收敛：、，.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（二）无界函数的反常积分的比较判别法（二）无界函数的反常积分的比较判别法 1.比较判别法比较判别法（略）（略）2.比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式 设在非负连续，则(1)当时，若收敛，则必收敛（大的收敛，小的必收敛）；(2)当时，若发散，则必发散（小的发散，大的必发散）；(3)当 为非零常数，则和的敛散性相同该结论说明，若时和是同阶无穷大，则和同敛散.比如由发散，可看出、也发散.注注：为判断或的敛散性，我们往往会等价为或的敛散性.三、三、p-积分与广义积分与广义 p-积分积分（一）（一）p-积分积分 形如的积分都称为.对于、，结论为 对于，结论为 对于，无论的取值为多少，均发散.（二）广义（二）广义 p-积分积分 形如、的积分，都叫.显然，经过凑微分就可以转化为常规，故二者的结论也类似.对于，当时收敛，当时发散.对于、，当时收敛，当时发散.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 四四、反常积分敛散性判别的步骤、反常积分敛散性判别的步骤 1、找到该积分的所有瑕点（为方便讲解，本讲义将无穷远视为“广义瑕点”，统称为瑕点）；2、判断该积分在每个瑕点处的敛散性.若每个瑕点处都收敛，则整体也收敛；但凡在一个瑕点处发散，则整个反常积分就发散.至于每个瑕点处的敛散性如何判断，具体方法如下(1)看该积分是否本身就是或者广义，如果是，直接套结论；若不是，进入(2)(2)找到在瑕点处的等价量（其实找同阶量即可，因为非零因子不会影响敛散性）1)若与幂函数同阶，则直接用的结论（如、）2)若无法等价为幂函数，则很可能是因为存在对数函数或指数函数（即或的形式）.由于对数函数速度太慢、阶太低，而指数函数太快、阶太高，无法与幂函数同阶，故可“先猜后证”，如、；3)若在瑕点处出现或的情况，导致不断变号，则应先判断积分是否绝对收敛，此时需要对加绝对值，然后利用或对三角函数放缩，此时会出现两种结果：放缩掉三角函数以后的新积分收敛，则原积分绝对收敛（如、）；放缩掉三角函数以后的新积分发散，则暂无法判断原积分的敛散性，此时可以用分部积分，将原积分转化为另一个新的积分，从而转化研究对象.（如、）其中，第种情况，考研基本没有涉及过，大家不用过于担心（但教材里出现过）.3、若该积分在所有瑕点处均收敛，则整个积分收敛；只要有一个瑕点处发散，则整个积分发散在所有瑕点处均收敛，则整个积分收敛；只要有一个瑕点处发散，则整个积分发散.注注：以上这几段话，基本涵盖了考研范围内反常积分判敛的一切情况，希望大家牢记在心！五、经典例题（汇集几乎所有考研辅导书中的敛散性判断题目）五、经典例题（汇集几乎所有考研辅导书中的敛散性判断题目）（一）第一组（一）第一组(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（二）第二组（二）第二组(1)；(2)(3)(4)(5)(6)（三）第三组（三）第三组 例例 六六、配套作业、配套作业 作业作业 1 判断下列积分的敛散性(1)(2)(3)(4)(5)(6)作业作业 2 设，.若收敛，求满足的条件.作业作业 3 设，求的值 作业作业 4(2013 年)设，且反常积分收敛，则()