线代考点精讲配套习题答案【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

1 线线性代数性代数 第一章第一章 行列式行列式 1.1【答案答案】（1）我有幸-生有你；（2）()()121!n nn.1.2【答案答案】D【解析解析】11131112111311121113122123212221232122212322313331323133313231333233333aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+=+=+.1.3 证：证：左式.1.4【答案答案】（1）24；（2）.【解析解析】（1）等于用1,3,2,2替换的第行对应元素所得行列式，即 433221cccccc2222212325212325212325212325aaaabbbbccccdddd+4332cccc222221222122021222122aabbccdd+=+!n31323334322AAAA+D3313233344331123111513451313221322132015331530AAAAcc+=+2 （2）利用行列式展开定理，求出中各行或各列元素的代数余子式之和，即求出，或，1,2,jn=，然后再相加，求出.，.，即 时，时，213111222013201530rr+()242rc 按 展开11121321532131rrrr1112 041044321112 04124.003rr+=A1nijjA=1,2,in=1nijiA=11nnijijA=111111102222!003330000njjAnn=2111111111110003330000njjAn=1111110222200033311111nnjjA=1i=1!nijjAn=1i 10nijjA=3 故.1.5 解解：（1）（2）（3）()()222200000000000000000000abcdmnmnmnabcdnmnmnmabcddcbadcbadcbamnmnnmnmabdcadbcdcabdacbmn bcmnbcnm cb=111121!0!nnnnnijjijijjijAAAnn=+=+=1234111123412341=10=103412341241234123=10=10=160.D()()()()()222222222111.bcacababcabcabcDabcabcabcabcabcabcabcabccacbba+=+=+4 1.6 解解：（1）展开定理，求解三角行列式时要注意为副对角行列式，符号问题.原式.（2）按照第一列进行展开，得到两个对角行列式()()110000000=110000000nnnnbaabababababba+=+原式.（3）爪形行列式进行三角化，注意求解行列式时符号问题.原式 （4）转化为爪形行列式，之后三角化.原式.1.7【答案答案】B 【解析解析】转化为范德蒙德行列式原式，这是因为，()()121n n()()2009 2009 12000100202010201012009!2010!2009000=()()0112011211111111nn nnniiininnaaaaaaaaa+=()1000000000000000abbbanbbbbbaababbaababbaabab+=()()11nanbab=+()()()12 12xx=()()()21111=12 12124xxxx 5 可以推得原行列式等于，反之不成立，故应选 B.1.8【答案答案】【解析解析】利用行列式性质，转化为范德蒙德行列式 1.9 解：解：按第一行展开得 又，递推得 因此.1x=0()148jiijxx ()1234422221412343333123411118.22224444jiijxxxxDxxxxxxxxxx =()()111130021302312132.00320013nnnnnDDD+=+=+13D=112211241931,13333313nnnnknkDD=+=+=1314nnD=6 第二章第二章 矩阵矩阵 2.1（1）【答案答案】【解析解析】利用方阵行列式之间公式，注意（为矩阵的阶数）.（2）【答案答案】【解析解析】.2.2（1）【答案答案】【解析解析】，.128nkkAA=n223228 16128AA=ABBA=()()2222ABABAABBABAB+=+=111123232133312nT111231121122133333,12,2 =A()()()()()()()TTTTTTTT13nnn=A A111123232133312n=7 （2）【答案答案】【解析】【解析】，又，所以当时，有 .2.3【答案答案】C【解析解析】2.4【答案答案】【解析解析】由，故 ()0100+=+=AAAEAE.2.5【答案答案】D【解析解析】设为的代数余子式，为的代数余子式，则,为阶行列式.,故.2.6 证：证：因，即，即 2124014001nnnn100023010004001000=+=+AE=EBBE()3nn=BO3n()()12212nnnnnn nn=+=+AEBEEBEB()210002300812410100040000142001000000001nnnn nnn=+=()()TTTTTTTTT222122,.2=+=+=+=ABE E E E ABE即0()TTT|()+=+=+=+AEAAAA EAAAAEAEijAAijB()AijAijB1n()11nijijBA=()()11n=AA=+ABAB=ABABO+=ABABEE()()=A BEBEE 8 ，故可逆，且.2.7 解解：矩阵方程求逆矩阵，所以根据逆矩阵定义可得.2.8【答案答案】D【解析解析】矩阵的乘法不满足消去律和交换律.2.9【答案答案】D【解析解析】，.2.10【答案答案】B【解析解析】，.2.11【答案答案】D【解析解析】.2.12【答答案】案】【解析解析】根据已知条件有，其中.又，所以.()()=AEBEEAE()1=AEBE()()32AEAEE+=()()132AEAE=+()()()()()11111111111+=+=+=+ABBB ABA AB BAAABAB()()1111+=+ABA ABB11111nnnn=CA ABAABAB()()1122222nnnn=CCAB()()21111*nnnn nnnA AAAAAAA+=19C=()*21AE CA=1*nAA=()()*222ACACAEAE CAEAE CAE=+=()*21AEC A=0102100001AE=21AE=3 1*9AA=19C=9 2.13【答案答案】,【解析解析】111(1)|,mmnn=OCOCOBCBBOBOCO.2 2(1)|(1)(1)66mn=OCACBBO.111121003311002221003100=OCOBABOCO.2.14【答案答案】【解析解析】.2.15【答案答案】D【解析解析】方法一方法一.由于，而 6A=121003311002221003100A=()()2222xybc000000000000abcdadbcxyxyxyyxyxyxadbcdcbadacbdacb=()()2222xybc=*22nn=CCC EA B E*B AAO=OA BB 10 ，故选 D.方法二方法二 当,可逆时，可逆，则有 ，故应选 D.2.16 解：解：由，得.又，故.2.17 解：解：以表示阶单位矩阵，由，有.其中.其逆矩阵为；于是.2nnnB A EO=A B EOA B EABC1111=*AOAOAOC=C C=A BOB OBOB11*A B AOB AO=OA B BOA B2AX+E=A+X()()()+AE X=AEAE10=AE201030102+=X=AEE3=+XAXB()=EA XB110101102=EA()1210332113311033=EA()1210331131211202033531111033=XEAB 11 2.18 解：解：方法一方法一.利用行列式的性质，.方法二方法二，故 .2.19【答案答案】【解析解析】由可知：，也即.取行列式可得，由于，故.2.20 解：解：考察初等矩阵左行右列，.因为，所以，12323332,2,5=+B 123233532,2,=+122353,=1235,=123232312310032,2,2,312221=+=B 1003124 520221=B=A1122ABBAEO+=()A BEBEE+=()()AEBEE+=1AE BEE+=202001001210200002AE+=112BE+=12010100001E=13001010100E=1ijijEE=2007010010100100001001=2008001010100E=12 .2.21【答案答案】C【解析解析】考察初等矩阵左行右列以及初等矩阵的逆矩阵，根据已知条件可知矩阵是由矩阵，交换,列与,列之后得到的，所以，则.2.22【答案答案】（1）错；（2）对；（3）对；（4）对；（5）对；（6）对；（7）错；（8）错；（9）对；（10）对.【解析解析】（1）存在二阶非零子式；（2）存在二阶非零子式，则；（3）只要存在一个非零元素，则；（4）若中各行元素成比例，若，则，若，则，综上；（5）表明矩阵的任意阶子式均为；（6），则，；（7）如，；（8）如，；（9），则；（10）反证法，若，则，则，与题干矛盾.20072008010123001010123456100456010100456123001789100001789789=BA142321=BAP P111111212=BP PAPP A()2r A()1r A A0A()1r A=0A=()0r A=()1r A()2r A A30()rnA=0A 20TAAA=111A=100110013B=100000000A=100010000B=()()rrnBA0B=0B=0AB=()rnAB 13 2.23【答案答案】【解析解析】，得到.2.24【答案答案】A【解析解析】由于，可知.又由于和都不是零矩阵，故，因此和都是不满秩的.当时，由于中阶子式全为，因此为零矩阵，与题设矛盾.故有，再结合可知.因此，故选 A.2.25【答案答案】C【解析解析】由，得，则，即，得或，且此时均满足，故选 C.2.26【答案答案】C【解析解析】方法一：由，可知.若，易见，那么，故与均有可能，所以 A、B均不正确.若，可求出，那么，又因矩阵非零，有，从而必有，故应选 C.2.27【答案答案】C 375()()1222=0811=58770075rtt=+=AA375t=ABO()()rrn+ABAB()1rA()1rBAB()1rnAA1n0*A()1rn=A()()rrn+AB()1rB()1r=B()*1r=A()3r=A0=A()()1111111101101101 622340012351900062aaaaaaaa=1a=3a=()3r=AABO=()()3rr+AB1a=()1r=A()2rB()1r=B()2r=B2a=()2r=A()()31rr=BAB()1rB()1r=B 14 【解析解析】因，所以可逆.于是.2.28【答答案】案】【解析解析】因为，所以，所以.2.29 解：解：（1）1 11 212 1222T12nnnnnnabababa ba ba ba ba ba b=T1 12 2nnaba ba b=+.（2）因T各行（列）是第 行（列）的倍数，又,皆为非零矩阵，故()T1r=.（3）由于()()()()TTTTTTTTTTTTT=+=+C CEEEEEE 故若要求()()TTTTTTT11=O 因为 0，所以TTTTT,=+O C CE的充要条件是T1=.100=BB()()2rr=ABA1()*0R=A()2RA1a=1 15 第三章第三章 向量向量 3.1 解：解：（1）将矩阵进行初等行变换得.由上可知，则可由表出，且表示不唯一，可观察上式得到一个表达式；（2）将矩阵进行初等行变换得.由上可知则可由唯一表出得到.（3）将矩阵进行初等变换得.由上可知，所以不能由表出.3.2 证：证：证法一证法一由题设 ()1234,()123412001120011200100112,00112000000011200000 ()()12341234,2,rr =1234,132=+()1234,112011120110006121020130301003131050120700102()()12341234,3,rr =1234,123632=+()1234,1112111121102020112120203002012020400001()()12341234,3,4rr =1234,123213121,nnnn-=+=+=+L L L LLLL 16 知向量组：可由向量组：线性表示.只需再证向量组：可由向量组：线性表示.各式相加得，即 故知：可由：线性表示，故两向量组，等价.证法二证法二将关系表示成矩阵形式，则，其中120111111110111011|(1)1101110111101110niirrn=+=K，故可逆，且得：B12,n A12,n A12,n B12,n()111nniiiin=1111nniiiin=111112221111111111nniiiinniiiinnnininiinnn=A12,n B12,n AB()()()12121201111011,11011110nnn=K12,irrin=()()()111110100111000100001nnn=K 17 ，即：可由：线性表示，故两向量组,等价.3.3 解：解：向量组不能由向量组线性表示，即方程组 中至少有一个无解，则必有系数行列式，解得或.当时，向量组TTT123(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)=可由向量组，线性表示，但向量组不能由向量组线性表示.当时，()1231231322112,00600000003r ，向量组不能由向量组线性表示，故不合题意，舍去.综上所述，得.3.4 解：解：（1）不能由线性表示 问题等价于无解，将进行初等行变换得.当，时，线性方程组无解，不能由线性表示；()()11212,nn=KA12,n B12,n A B 12,3,122331(1,2,3)ixxxi+=()()()123111121,11,01aaaaaa=+=1a=2a=1a=()T11,1,1=()T22,1,4=()T32,1,1=12,3,2a=123,2a=1a=1234,()1234,x=()1234,1111111111111110112101121011212324301210010351850225200010abababaaa+1a=0b()()12341234,2,3r =1234,18 （2）当时，则能由唯一线性表示，等价为 易得.3.5【答案答案】C【解析解析】本题考查的充分必要条件，而选项 A、B、D 都是充分条件，并不必要.以阶矩阵为例，若，则 A、D 错误.若000100001=A，则，但第一列并不是其余两列的线性组合，可见 B 不正确.3.6 解：解：（1），当时，故线性无关；（2）当时，线性相关；（3）将化成最简形得，易得.3.7【答案答案】C【解析解析】A,B 是向量组线性相关的充分条件，但非必要条件，D 不是必要条件，故 C 正确.1a ()()12341234,4,rr =1234,()()1234234341,21,1,10,xxxxxxxaxbax+=+=+=+=1234210111babbaaa+=+0=A3112123134=A0=A11111111112301201213013005ttt5t()123,3r =123,5t=()123,2r =123,123,1111011230121350003122=+19 3.8【答案答案】D【解析解析】由线性无关的定义，知 D 正确.3.9【答案答案】D【解析解析】由线性表示的定义知，式中的可能全为零，也可能不全为零，可能唯一也可能不唯一，故 A,B,C 均可排除.3.10【答案答案】C【解 析解 析】将变 形 为，由题意知，和不全为，根据线性相关的定义得，线性相关.3.11【答案答案】B【解析解析】选项 A 没有指明不全为，故 A 不正确.选 项B若线 性 无 关，则 当时 有，其逆否命题就是 B.选项 C 线性相关的定义是只要存在一组不全为零的数使得即可，不需要任意一组不全为零的数.选项 D 没有指明仅当时，成立 D 不正确.举例但与相关.所以应选 B.3.12 解：解：由题意知，()12,mk kk，()()()()111111mmmmmmllll+=0()()()()111111mmmmmmll+=01,m1,mll011,mm+11,mm12,mk kk012,m 1122mmkkk+=0120,0,0mkkk=1122mmkkk+=0120,0,0mkkk=1122mmkkk+=01100000 +=10 10 ()()1223311231022,2,2,210021 +=20 又，因为线性无关，所以，因此线性无关.3.13 证证：（：（反证法）假设不能由线性表出，又，所以线性无关；不能由线性表出，线性无关，所以线性无关；依次下去 不能由线性表出，则线性无关，不能由线性表出，则线性无关，与题设矛盾，所以可由线性表出.3.14 证证：令，即，因为线性无关，所以有 因为，所以，从而,线性无关.3.15【答案答案】B 10221090021=123,()()1223311232,2,2,3rr +=1223312,2,2 +2110 12,312,12,123,1n122,n 121,n n121,n 121,nn i121,i()()()1122mmkkk+=+0()()()231132121mmmmkkkkkkkkk+=012,m 23131210,0,0,mmmkkkkkkkkk+=+=+=()()1011101110110mDm=120mkkk=12m 21 【解析解析】，由此可知为极大线性无关组.3.16【答案答案】【解析解析】由上可知.3.17【答案答案】C【解析解析】选项 A 由于，可知的列向量组的极大线性无关组中有个向量，故的列向量中存在个线性无关的向量，但不能说的任意个列向量都是线性无关的，故A 错误.选项 B，说明的非零子式的最高阶数为，这意味着中存在阶非零子式，但不能说中任意一个阶子式都不等于零，故 B 错误.选项 C，由=BAO可知TT=A BO，故的列向量均为的解.由，可知齐次线性方程组只有零解，即的列向量全为零，故.可知 C是正确的.选项 D 由于，故矩阵与矩阵是等价的，故可以通过初等行列变换变成，但仅通过初等行变换则不一定能将变为.例如，令10312103121031213021033130110121725011010001042140100224200000124,41021102110211021120102200110011021300112000200922514055200020001110310101200920000()1234,4r =()rm=AAmAmAm()rm=AAmAmAmTBT=A x0()TrmA=T=A x0TBT=BOBO()()mrmr=AEOA()mEOA()mEOA()mEO 22 ()m=AOE，则，但不能通过初等行变换变为.故 D 错误.3.18【答案答案】【解析解析】，因为，所以.3.19【答案答案】【解析解析】223411231123112300120111112011100121101220001 2aaaaaaaa 由题意得，当时，线性相关.3.20 解：解：令,.当，即或时，线性相关.当时，12341234123400001234000012340000=A，则为极大线性无关组，且，.()Rm=AA()mEO312012012020404401115025003102022000ttt+()123,2r =3t=12a=12a=()1234,3r =1234,1111222233334444aaaaA+=+()3111122221033334444aaaaaaA+=+0A=0a=10a=1234,0a=1212=313=414=23 当时，92923418341274123634101000100100100010=A 9234000011001100.1010101010011001 则为极大线性无关组，且1234=.3.21【答案答案】【解析解析】求向量在基底下的坐标，相当于解方程组.令，即解此方程组得，.故向量在基底下的坐标是.3.22【答案答案】【解析解析】由，得过渡矩阵为.3.23 解：解：由，可得.10a=234,()T1,1,1123,112233xxx+=112233xxx+=1213232,0,0,xxxxxx+=+=+=11x=21x=31x=()T2,0,0=123,()T1,1,1101220033()12233112310111,22023033+=101220033 123123,P=13123122,34010101=P 24 3.24 解：解：因为向量在基下的坐标为，所以.设在基下的坐标为，即 由 得向量在基下的坐标为.123,()2,1,112311142212221204 =+=+=123,()123,x x x112233xxx+=()123110411041104,1012011601160114011400221104100101050105,00110011=123,()1,5,1 25 第四章第四章 线性方程组线性方程组 4.1【答案答案】【解析解析】，由克莱姆法则知，时只有零解，所以.4.2 解：解：当且时有唯一解；当时方程组无解；当时，方程组有无穷多解.4.3【答案答案】A【解析解析】仅有零解的充要条件是，所以的列向量组线性无关.4.4【答案答案】A【解 析解 析】A：，当时，由 于为矩 阵，故，因此.也即时，方程组有解，故选 A.选项 B：列满秩不一定有解，举例.1()211011110101111111=A0A=Ax01()()()221141141141101140228112402281 40042kkkkkkkkkkkkk k+1k 4k()()3rrAA=1k=()()23rrAA=4k=()()23rrAA=Ax0=()rnA=A()(),rrAA brm=(),A b()1mn+()(),rrmA bA=()(),rrA bA=rm=Axb=()11110121,00120002r A b=26 选项 C：举例.4.5 解：解：因为为齐次线性方程组的基础解系，所以且线性无关，又与等价，则，可由线性表出，所以，因此为的基础解系.4.6【答案答案】D【解析解析】由已知条件知的基础解系由个线性无关的解向量所构成.现在 B 中仅三个解向量，个数不合要求，故 B 不是基础解系.A 和 C 中，都有四个解向量，但因为 说明 A、C 中的解向量组均线性相关，因而 A、C 也均不是基础解系.用排除法可知 D 入选，或者直接地，由.因为 知线性无关，又因均是的解，且解向量个数为，所以 D 是基础解系.()1111,00020001r A b=123,Ax0=()1,2,3iiA0=123,123,123,()()123123,3rr =()1,2,3ii=123,iA0=()1,2,3ii=Ax0=Ax0=4()()()()()()()()1223344112233441,00.+=+=()()12233441123410011100,01100011 +=100111002001100011=12233441,+12233441,+Ax0=4 27 4.7 解：解：，则方程组的解为 令或，得方程组的基础解系 TT12 1,1,0,0,0,1,0,1,0,1=.4.8 解：解：将系数矩阵进行初等变换得 等价为，则为自由变量，令，得.令，得.所以其通解为，12,k k为任意常数.4.9 解：解：将增广矩阵进行初等变换得 110011100111100001010011100010=A125354,0.xxxxxx=2510 xx=01 242724271224120113643122400215002155104255104250064500001243421102150 xxxxx+=24,x x21x=40 x=()T2,1,0,020 x=41x=T1511,0,12()TT12152,1,0,011,0,12kkx=+111004462013110115311011040530104420132021107300122 28 其中为自由变量.令得基础解系为,令求得特解为.所以其通解为，k为任意常数.4.10 解：解：因为为方程组的解，将，代入方程组得.将增广矩阵进行初等行变换得 等价于1234234342,540,981,xxxxxxxxx+=+=其中为自由变量，令，求得基础解系为，所以其通解为，为任意常数.4.11【答案】答案】，为任意常数【解析解析】因为,12 为方程组的解，则()T13,5,1=12为齐次线性方程组的解，又因为系数矩阵A中有二阶非零子式13125=，所以()2r A，故0Ax=的基础解系中至多有一 个 线 性 无 关 的 向 量，所 以()T13,5,1为 基 础 解 系，因 此 该 方 程 组 的 通 解 为()()TT6,1,113,5,1k+，k为任意常数.4.12 解：解：方程组改写为31231231221,2,5451,xxxxxxxxx+=+=+=则有 4x41x=T1 57,14 4240 x=T13 3,044 2TT13 31 57,0,144 24 42kx=+()T1,1,1,111x=21x=31x=41x=3a=111121111211112213240154001540131100420200981A=4x49x=()T5,4,8,9()()TT1,1,1,15,4,8,9k+k()()TT6,1,113,5,1k+k 29 ，当且时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解，且，方程组化为通解为，为任意常数；当时，方程组无解.4.13 解：解：将增广矩阵进行初等行变换得 从上可知，当时，方程组有唯一解；当且时，方程组无解；当且时，方程组有无穷多解，此时增广矩阵可化简为()()()12106556001456 1=+BA|b145 1=101101010000B3211,1,xxx=+=100111k =+xk45=11221211231112311361302422311530466015101206129111231012110022400035kkkkkk+12k ()()4rr=AA12k=21k 12k=21k=30 等价为 则为自由变量，令，求得其基础解系为，令求得其特解为，所以该方程组的通解为，为任意常数.4.14【答案答案】A【解析解析】由于，可知 ()122123343434+=+=+=0AAAAbbb.可知，这四个向量都是的解，故选 A.4.15【答案答案】C【解析】【解析】由题意得，又，所以的基础解系中1123111231136130121131153000121510120000012348,23,2.xxxx=+=3x31x=()T0,2,1,030 x=()T8,3,0,2123480320120kxxxx=+k123=AAAb()()()()()()12121231231313122123,222,111,4443434340,=+=+=+=+=+=+=A AAbbA AAAbbbAAAbbA AAAbbb000Ax0=123,=Ab Ab Ab()3r=A0=Ax 31 含 有个 线 性 无 关 的 向 量，又且 有，所以为基础解系，所以选 C.4.16 解：解：由于线性无关，可见，由于，从 而 线 性 方 程 组有 特 解.由，导 出 方 程 组的 两 个 线 性 无 关 的 解.由于，则五元齐次线性方程组=0Ax的基础解系由两个线性无关的解构成，故为的基础解系，方程组=Ax 的通解为，其中为任意常数.4.17 解：解：,代入原方程组整理得，对增广矩阵进行初等行变换得，则原方程组通解为（其中为任意常数）.4.18 解：解：（1）对非齐次线性方程组，()41r=A()()TT1231,2,3,4,0,1,2,3=+=()()12320+=A()()T12322,3,4,5+=124,3145124,=+()3r=A123452=+=Ax()T2,1,1,1,1=3145124,=+0=Ax()()T121,0,1,1,0,1,1,0,1,1=()3r=A12,0=Ax1 122kk=+x12,k k110121=21,0210211102 =AT2=B 2TT2=AA48=AA()82=AE X()()111100100101222822100012101211000000001212AE1122110c =+Xc1=AX 32 ，则（其中为任意常数）.,对非齐次线性方程组，则的通解（其中,为任意常数）.（2）因为，所以线性无关.111011112211111111111101012222042200000000=A12111112211111222210CCCC=+=+1C2220220440=A21=A X()211110220122201000044020000=BA21=A X232323111022100010CCCCC =+=2C3C121231213111211,1102222CCCCCC=+=123,33 4.19 证：证：方程有解()(),mrr=AA E，而含行，有(),mrmA E，又()(),mmrrm=A EE，因此(),mrm=A E.所以方程有解()rm=A.mAXE=(),mA EmmAXE=34 第五章第五章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量 5.1 解解：由题意得，可知矩阵的特征值为（三重）.求解齐次线性方程组，对其系数矩阵进行初等行变换得 求得基础解系为，故特征值的特征向量为，.5.2 解解：因为的特征值为，所以对应的特征值为3215 17 13+=，又.5.3 解：解：因为，所以，求得或，又，所以的特征值为，则的特征值为故.5.4【答案答案】.【解析解析】因为，所以，求得特征值为或为阶矩阵，则三个特征值的可能情况有；.又，所以的特征值为.5.5 解：解：由题意得，则，从而.5.6【答案答案】A()2321221253353571102100=+=+=+EAA1()=EA x0312101101523022011101011000()T1,1,11()T1,1,1k()0k A1,2,33257+AAA3225 27 22+=3235 37 33+=3 2 318=A22+=AAO220+=0=2=()tr2=AA0,0,23+AE3,3,133 3 19+=AE1,1,2 22=AAEO220=1=2=A31,1,1 1,1,2 1,2,22,2,205AA1,1,2 31140iia=+=315,|16iiaA=3b=35 【解析解析】是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，所以.对矩阵做初等行变换.2221212121211201201201251005210002000(4)(5)410814002150 0(3)5)(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa+，知，故应选 A.5.7【答案答案】【解析解析】由题意得，所以的特征值为个，另一个是.5.8【答案答案】【解析解析】与相似，则的特征值与相同，由性质知的特征值为，故.5.9【答案答案】C【解析解析】若两矩阵相似，由性质，两者特征值相同、秩相同、行列式相同、迹相同，若任意一 个 不 同，则 两 矩 阵 必 不 相 似.选 项 A，秩 不 同；选 项 B，迹不同；选项 D，的特征值为，的特征值为，特征值不同，均排除，故选 C.5.10 证证：由与相似且可逆，知可逆，从而与相似，又，由相似性质知与相似.5.11【答案答案】不可相似对角化【解析解析】()2212|53323(2)1102=+=+EA 123,()123,3r=()123,5a 4()1r=AA30()tr4=A24ABBABE1,2,3,41 2 3 424=BE()()12rr=AB()()tr9tr6=ABA2,2,3B1,3,3ABAB1A1B*1=AA A*1=BB B*A*B 36 ，为三重特征根，而,，从而，故不可相似对角化.5.12【答案答案】B【解析解析】的特征值为，故不可相似对角化，选 B.5.13 解：解：（1）利用特征值和特征向量的定义.设所对应的特征值是，则由题设，即.于是，得到以,为未知数的线性方程组：.（2）不能相似于对角阵.理由是：当，时，容易求得矩阵的特征多项式，故是的 三 重 特 征 值.但，从 而，故齐次方程没有个线性无关的解.于是，矩阵对应于特征值没有个线性无关的特征向量.由方阵相似于对角阵的充要条件知，不能相似于一个对角阵.5.14 解：解：（1）若与相似，则由相似的性质知，即，从而()3323311=+=+1=312523101+=AE()2r+=AE()313r+=AEAB1,2,30,0,3=()2,3()12rr=BBBp()=AE p02121531121ab=0ab10,20,1,3,010,aabb+=+=+=A3a=0b=A()()31f=+AE1=A+AEO()1r+AE()=+AE x03A1=3AAB()()trtr=ABAB2122xyy+=+=37 .（2）由（1）知，则的特征值为.由与相似，则的特征值也为.当时，由可得1230,xxx=从而的属于的全部特征向量为111011kk=，.当时，由可得1230,xxx=从而的属于的全部特征向量为222011kk =，.当时，由可得233120,xxx=从而的属于的全部特征向量为333100kk =，.则存在可逆矩阵，使得.5.15 解：解：（1）由相似于，根据相似矩阵的性质，也是的特征值，则 01xy=200010001=BB1,2,31,1,2=ABA1,2,31,1,2=1=300100011011011000+=AE()+=AE x0A1=10k 1=100011011=AE()=AE x0A1=20k 2=00000012021012012001=AE()2=AE x0A2=30k 100011011=P1=P APBAB2A 38 即，所以.（2）当时，由可得，从而的属于的全部特征向量为，不全为.当时，由可 得1230,12.xxx=从而的属于的全部特征向量为333012kk=，.则存在可逆矩阵，使得.5.15【答案答案】【解析解析】由于知，有个不同的特征值.所以()()trtr20=ABABEA()222444440 xyzyz+=+=240 xyz=2=0000002022011044000=AE()2=AE x023xx=A2=22100101kk +12,k k04=10060014042012042000+=AE()4+=AE x0A4=30k 100011012=P1224=P AP720335203322233iii=AA31,2,3 39 ，其中.故.5.16【答案答案】D【解析解析】由知则的特征值为，又为实对称矩阵，则等于非零特征值的个数，所以为三重特征值，则选 D.5.17 解：解：由为实对称矩阵及实对称矩阵的性质可知，设所对应的特征向量，则从而解得，则.由正交，单位化后得正交矩阵 11132612036111326=Q，123=A1=P AP()123122,221212=P 1720335203322233=APP2+=AAO20+=A1,0A()3r=A1