【11.29】高数-9 高阶导数、微分.pdf

(四)函数在区间上的可导性，导函数及高阶导数1.函数在区间上的可导性若Vxe(a,b),f(x)可导，则称f八x)在开区间(a,b)内可导.若f(x)在(a,b)内可导，且(x)既在x=a处右可导，又在x=b处左可导，则称(x)在闭区间a,b可导2.导函数若f八x)在区间I可导，则VxeI都对应着f(x)的一个确定的导数值f(x),这就构成一个新的函数，叫作y=)的导函数，简称导数，又叫一阶导数，记作，了“（）密或巴dx3.二阶导数及高阶导数函数y=f(x)的导数y=f(x)仍是x的函数.把导函数y=f(x)的导数，叫作y=八x)的二阶号数，记作，或)即y=(政辈=（割上把y=f(x)的n-1阶导函数”(x)的导数称为y=八x)的n阶导数，记作y,(x)或品其表达式为f“(）=(+4)-f（）,()=ma-”(x+x)-(x)x0 x函数f(x)有n阶导数也称f代x)n阶可导.【注】按定义，若f(x)在处n阶可导，则八x)在x的某邻域必具有一切低于n阶的导数。4.二阶导数的力学意义质点作直线运动，t时刻的坐标为x=x(),则x”(o)是t=时刻的加速度(五)奇偶函数与周期函数的导数性质。设(x)在上可导，若(x)在1上为奇函数(x)在1上为偶函数：若八x)在I上为偶函数f(x)在I上为奇函数设fx)可导，以T为周期(x)也以T为周期.七、高阶导数及n阶导数的求法对给定的函数f八x)通常可用逐阶求导法求出高阶导数.但对某些简单的函数y=八x)可用以下方法求其n阶导数的表达式，(一)归纳法先依次求出y=(x)的前几阶导数的表达式，并由此观察出规律性（有时还需适当变形），写出y的公式.再用数学归纳法证明.【例2.15】设函数f(x)有任意阶导数Df(x)=了产(x叫与(x)=(n2).【分析】将f(x)=f(x)两边求导得(x)=2x)f(x)=2(x小，再求导得f(x)=31f2(x)f(x)=3!f(x).由此可归纳证明f(x)=n!(x).设x)kx)keN到fx)=k:(k)2时i0(k)!x)场)1沟3i-X(0-+x+)ty信”n?(-X)【例2.16】求下列y:(1)y=1+x（)y=1+x2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式】【例2.17】设y=sinx,求yy(g)）￥-tanx)微言羊sx+(os)66y以os(x+)t4as4+2s2-s(ex+2)+44o44罗(h)u:u亿os(axtb(四)用莱布尼兹法则求乘积的阶导数nr）=cslax+btg4(m=Ca（sr-（,其中n-T（=u(),()=(nlarb):Gatbnk(uv)=(uv+wv)=nvtiuvtuvCo uv Ciu:级式汝粉一V:学高灯（管）(月.上n员财正为)