通关教程概率统计第四章-【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 本章知识结构网络图本章知识结构网络图 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 考试内容与要求考试内容与要求 考试内容考试内容 随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质;随机变量函数的数学期望;矩、协方差、相关系数及其性质.考试要求考试要求 1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念,会运用数字特征的基本性质,并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.1 随机变量的数学期望和方差随机变量的数学期望和方差 大纲考点梳理大纲考点梳理 1.1 数学期望数学期望 1.1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 ()1,2,kkP Xxpk=若级数1kkkx p=绝对收敛,则称级数1kkkx p=的和为随机变量X的数学期望,记为()E X,即 ()1.kkkE Xx p=1.1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 设连续型随机变量X具有概率密度()fx,若积分()dxf xx+绝对收敛,则称积分()dxf xx+为X的数学期望,记为()E X,即 ()()d.E Xxf xx+=仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 1.1.3 一维随机变量函数的数学期望一维随机变量函数的数学期望 设Y是随机变量X的函数:()(Yg Xg=是连续函数或分段连续函数),(1)X为离散型随机变量,分布律为 ()1,2,kkP Xxpk=且无穷级数()1kkkg xp=绝对收敛,则 ()()()1.kkkE YE g Xg xp=(2)X为连续型随机变量,概率密度函数为()fx,且反常积分()()dg x f xx+绝对收敛,则有 ()()()()d.E YE g Xg x f xx+=1.1.4 二维随机变量函数的数学期望二维随机变量函数的数学期望 设Z是随机变量,X Y的函数:(),(Zg X Yg=是连续函数),(1)(),X Y为二维离散随机变量,分布律为 (),1,2,ijijP Xx Yypi j=且无穷级数()11,ijijijg x yp+=绝对收敛,则 ()()()11,.ijijijE ZE g X Yg x yp+=(2)(),X Y为二维连续型随机变量,联合概率密度为(),f x y,且反常积分 ()(),d dg x y f x yx y+绝对收敛,则 ()()()(),d d.E ZE g X Yg x y f x yx y+=1.1.5 数学期望的性质数学期望的性质 设随机变量X和Y的数学期望为()(),E XE Ya b c为任意常数,则(1)()E cc=;仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 (2)()()E cXcE X=;(3)()()()E aXbYaE XbE Y+=+;(4)若X与Y是相互独立,则有()()()E XYE X E Y=,反之不成立;(5)()()()E XYE X E YX=与Y不相关.1.2 方差方差 1.2.1 方差的定义方差的定义 设X为随机变量,若数学期望()2E XE X存在,则称其为X的方差,记为()D X,即 ()()2.D XE XE X=称()D X为随机变量X的标准差或均方差,记为()X.【注】方差是随机变量X与其“中心”()()E X的偏差平方的平均,表达了X的取值与其数学期望值()E X的偏离程度,是随机变量取值分散程度的一个度量.若X取值比较集中,则()D X较小;若X取值比较分散,则()D X较大.1.2.2 方差的常用计算公式方差的常用计算公式 ()()()22.D XE XE X=【注】上式也常用于已知()(),E XD X求()()()22E XD XE X=+.1.2.3 方差的性质方差的性质 设随机变量X与Y的方差存在,a b c为常数,则(1)()0D c=;(2)()()()()22,D cXc D XD aXba D X=+=;(3)()()()()()2D XYD XD YEXE XYE Y=+;(4)若X与Y是相互独立的随机变量,则()()()D XYD XD Y=+,反之不成立;(5)()()()D XYD XD YX=+与Y不相关;(6)若X与Y是相互独立的随机变量,且()()0E XE Y=,则()()()D XYD X D Y=;(7)对任意的常数()cE X,有()2()D XEXc;仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 (8)对任意的随机变量(),0X D X,且()0D X=的充分必要条件是X以概率 1 取得常数()E X,即()1P XE X=.1.3 常见随机变量分布的数学期望与方差常见随机变量分布的数学期望与方差 分布名称 符号 数学期望 方差 0 1分布()1,Bp p()1pp 二项分布(),B n p np()1npp 泊松分布()P 21pp 几何分布()G p 1p 11nMMNnNNN 超几何分布(),H N M n nMN 2()12ba 均匀分布(),U a b 2ab+21 指数分布()E 1 2 正态分布()2,N 12 典型例题解析典型例题解析 专题一 随机变量的数学期望与方差的概念与计算【例 4.1】设随机变量X的分布函数为()()10.30.72xF xx=+,其中()x为标准正态分布的分布函数,则()E X=【】(A)0.(B)0.3.(C)0.7.(D)1.【解析】选(C).X的概率密度()fx为 ()()()10.30.35.2xf xFxx=+仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 根据随机变量期望的定义,有 ()()()1d0.3d0.35d.2xE Xxf xxxxxxx+=+()x为标准正态分布的分布函数,所以()0Ex=;设12xy=,所以 ()()()()()()()()()()0.30.35 21d 21.00.721d0.72d0.7d1.40.70.7.E XExyyyyyyyyyyyEy+=+=+=+=+=【例 4.2】设随机变量X服从标准正态分布()0,1N,则()2eXE X=_.【解析】因为X的概率密度为 ()221e(),2xf xx=+由随机变量函数的期望公式知()22221eeed2xXxE Xxx+=2211(2)4(2)2221edeed22xxxxxx+=2222222221eedee d2ed222tttttttt+=+()22e022e.=+=【例 4.3】随机变量的概率密度为 ()2,01,0,.axbxcxf x+=其他 已知0.50.15EXDX=，,求系数,a b c.【解析】因为()d1f xx+=,则()120d1axbxcx+=.则11132abc+=.又()()120ddEXxf xxx axbxcx+=+,故1110.5432abc+=.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 又由于()()2222(),0.150.5DXE XEXE X=.于是()()122200.4dE Xxaxbxcx=+,即1110.4543abc+=.解方程组得12,12,3abc=.【例 4.4】设盒子中装有m个颜色各异的球,有放回地抽取n次,每次 1 个球.设X表示n次中抽到的球的颜色的种数,则()E X=_.【解析】令 1,1,2,.0,iniXm=次中抽到过第 种颜色的球其他 则 12.mXXXX=+事件“0iX=”表示n次中没有抽到第i种颜色的球,由于是有放回的抽取,n次中各次抽取结果互不影响,因此有 1101,111,nniiP XP Xmm=故 ()()11111nmmiiiiE XEXE Xmm=【例 4.5】设随机变量X的概率分布为12,1,32P XP Xa P Xb=,若()0E X=,则()D X=_ 2017，数三【答案】4.5 【例 4.6】设随机变量X只取非负整数值,且其分布律为()1,0(1)kkaP Xkaa+=+,求()E X.【解析】依题得 ()1011,(1)11kkkkkaaE Xkkaaa+=+仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 令1aba=+,则01b,从而有 ()1111112111,1(1)kkkkkkkkkkkkbbkbbbbbabbbb=+=所以 ()2111.11aaaE Xaaa+=+专题二 随机变量函数的数学期望与方差【例 4.7】设二维随机变量(),X Y在矩形区域(),02,02Dx yxy=上服从均匀分布,随机变量()max,ZX Y=,求()E Z和()D Z.【解析】本题目有以下两种解法.【思路一】先求Z的分布函数()ZFz,再求出Z的概率密度()Zfz,然后计算()E Z和()D Z.当0z 时,()0ZFz=;当2z 时,()1ZFz=;当02z时,()max,ZFzP ZzPX YzP Xz Yz=.因为(),X Y在矩形区域D上服从均匀分布,所以X与Y相互独立,且 ()()11,02,02,220,0,XYxyfxfy=其他其他 则当02z时,()()()24ZXYzFzP Xz P YzFzFz=.综上计算 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 ()()20,0,02,02,240,.1,2ZZzzzzFzzfzz=其他 所以 ()()2204dd,23ZzE Zzfzzz+=()()32220dd2,2ZzE Zz fzzz+=()()()222.9D ZE ZE Z=图 4.1【思路二】应用随机变量函数的期望公式计算Z的期望和方差,依题意 ()()1,40,.x yDf x y=其他 将D区域划分为12,D D两个区域,如图 4.1 所示.则 ()()122220002201max,d dmax,d d41111d dd ddddd444411142 d14233DyyDDE Zx y f x yx yx yx yy x yx x yyy xyx xyy+=+=+=+=+=()12222222220002301111d dd ddddd4444128d2,433yyDDE Zyx yxx yyyxyxxyy=+=+=+=仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 ()()()222().9D ZE ZE Z=【例 4.8】设随机变量X在,a a上服从均匀分布,1a,求：()()min,1EX;()()max,1EX.【解析】由题意,()1,20,.Xxa aXUa afxa=其他(),1,min,11,1.xxXx=()()min,1min,1dEXxf xx+=1111111ddd222aaxxxxaaa=+111111.2222aaaaaa=+=()1,1max,1,1.xXxx=()()max,1max,1dEXxf xx+=11111ddd222aaxxxxxaaa=+1221111112222aaxxaaa=+()21112aaa=+11.2aa=+【例 4.9】设二维随机变量(),X Y的联合概率密度为 ()222221,e(,),2xyf x yx y+=+仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 记22ZXY=+.求:()Z的密度函数;()()(),E ZD Z;()1P Z.【解析】()当0z 时,()0F z=.当0z 时,()22F zP ZzP XYz=+22222222222200cos11ed ddedsin22xyrzxyzxrx yr ryr+=22220ed.rzrr=于是 ()()2221e,020,0zZzfzFzz=由此可以看出,Z服从参数为212的指数分布.()由()的结果(指数分布)可知,()()242,4E ZD Z=.()22211122220011ede1 e.2zzP Zz=或()212111 e(P ZFZ=服从参数为212的指数分布).【例 4.10】设随机变量X和Y的联合分布在以点()()()0,1,1,0,1,1为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量ZXY=+的方差.【解析】本题目有以下三种解法.【思路一】如图 4.2 所示,区域(),01Ax yx=,11xy,其面积为 0.5.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 图 4.2 由已知得,(),X Y的联合密度在A上服从均匀分布,所以随机变量X和Y的联合概率密度为()()()2,0,.x yAf x yx yA=又()()()()()2Cov,D ZD XYD XD YX Y=+=+所以需要求出()()D XD Y、和()Cov,X Y.设X的边缘概率密度为()Xfx,则有当0 x 或1x 时,()0Xfx=,当01x时,()()11,d2d2.Xxfxf x yyyx+=所以根据期望的性质,得 ()()1202d2d,3XE Xxfxxxx+=()()122301d2d,2XE Xx fxxxx+=()()()221.18D XE XE X=同理可得 ()()21,318E YD X=()()1112301052d dd2d2d.12yAE XYxy x yyxy xyyy=所以()()()()1Cov,36X YE XYE X E Y=,故()()()()12Cov,18D ZD XD YX Y=+=.【思路二】直接从ZXY=+人手,求出Z的概率密度()fz,利用 ()()()22().D ZD XYE XYE XY=+=+仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 由已知得121PXY+=,所以当1z 或2z 时,()0f z=;当12z时,11zx,利用卷积公式()()()11,d2d2 2,zf zf x zxxxz+=()()()()214d22d,3E XYE Zzf zzzzz+=()()()22222111()d22d,6E XYE Zz f zzzzz+=()()1.18D ZD XY=+=【思路三】可以直接应用随机变量函数的期望公式,即()(),(E X Yg x y f x+=,)d dyx y.由已知得,随机变量X和Y的联合密度为 ()()()2,0,.x yAf x yx yA=所以()()()()()()1112010,d d4d2d2d,3yE ZE XYxy f x yx yyxyxyyy+=+=+=+=+=()()()2221112223010()(),d d211d22d22d,36yE ZE XYxyf x yx yyxxyyxyyyy+=+=+=+=+=()()()2211161.6918D ZE ZE Z=仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 2 协方差与相关系数协方差与相关系数 大纲考点梳理大纲考点梳理 2.1 协方差协方差 2.1.1 协方差的定义协方差的定义 设(),X Y为二维随机变量,如果()()EXE XYE Y存在,则称其为随机变量X和Y的协方差,记为()Cov,X Y,即 ()()()Cov,.X YEXE XYE Y=2.1.2 协方差的计算公式协方差的计算公式(1)()()()()Cov,X YE XYE X E Y=;(2)()()()()2Cov,D XYD XD YX Y=+.2.1.3 协方差的性质协方差的性质(1)()()Cov,Cov,X YY X=;(2)()()Cov,X XD X=;(3)()Cov,0,X cc=为任意常数;(4)()()Cov,Cov,aX bYabX Ya b=是常数;(5)()()()()()121211122122Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,XXYYX YX YXYXY+=+;(6)如果X与Y独立,则()Cov,0X Y=.2.2 相关系数相关系数 2.2.1 相关系数的定义相关系数的定义 对于随机变量X和Y,若()()0,0D XD Y,则称()()()Cov,X YD XD Y为随机变量X和Y的相关系数,记作XY,即 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 ()()()Cov,.XYX YD XD Y=2.2.2 相关系数的性质相关系数的性质(1)1XY;(2)1XY=的充分必要条件是:存在常数(),0a b a 使 1.P YaXb=+=且当0(a 正相关)时,1XY=;当0(a 负相关)时,1XY=.2.2.3 随机变量不相关的定义随机变量不相关的定义 如果随机变量X和Y的相关系数()()0 Cov,0XYX Y=,则称X和Y不相关.2.2.4 随机变量不相关的等价命题随机变量不相关的等价命题 随机变量X和Y不相关,即()0Cov,0XYX Y=()()()E XYE X E Y=()()().D XYD XD Y=+2.3 随机变量的独立性与相关性随机变量的独立性与相关性(1)若随机变量X和Y独立,则X和Y一定不相关;但是若X和Y不相关,则不能推出X和Y相互独立;(2)若随机变量X和Y的联合分布是二维正态分布,则X和Y独立等价于X和Y不相关,即0XY=.典型例题解析典型例题解析 专题一 协方差与相关系数的计算【例 4.11】将长度为 1 米的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为【】(A)1.(B)12.(C)12.(D)-1.【解析】选(D).依题设木棒截成两段长度为,X Y,则1XY+=。仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 【思路一】因为1YX=,由相关系数的意义知,X Y是负相关,所以相关系数为1XY=.故正确答案为(D)选项.【思路二】直接计算,因为 ()()()()()Cov,Cov,1,X YXXD XD YD X=所以 ()()()()()()Cov,1.XYX YD XD XD YD XD X=【例 4.12】随机变量()()0,1,1,4XNYN,且相关系数1XY=,则【】(A)211P YX=.(B)211P YX=.(C)211P YX=+=.(D)211P YX=+=.【解析】选(D).1XY=的意义是Y与X以概率 1 呈线性关系,即1P YaXb=+=当1XY=时,0a ()242D Yaa=()()21.E YE Xb=+=又因为()0E X=所以1b=从而211P YX=+=【例 4.13】设随机变量12,(1)nXXXn 独立同分布,且其方差为20.令11niiYXn=,则【】(A)()21Cov,X Yn=.(B)()21Cov,X Y=.(C)()212nD XYn+=.(D)()211nD XYn+=.【解析】选(A).由12,nXXX独立且分布相同,方差()()2Cov,jjjD XXX=,其中1,2,jn=.故 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 ()2,Cov,0,.ststXXst=对选项(A):()()21111111Cov,Cov,Cov,niiX YXXXXnnn=所以选项(A)正确.对选项(C):题中只是说12,nXXX独立,而Y中含有1X,所以1X与Y并不独立,需要将Y拆开,所以 ()()()111122221222111(1)132.nniiiiniinD XYD XXDXXnnnnnnD XD Xnnnn=+=+=+=+=对选项(D):方法同上可得 ()221121111.niinnnD XYDXXnnnn=+=【例 4.14】设随机变量X与Y的相关系数为16,且()()()20,1,4E XE YE X=,()210E Y=,则2()E XY+=_.【解析】因为()()()()()()22224,9D XE XE XD YE YE Y=,故 ()()()Cov,1,XYX YD XD Y=()()()()2Cov,15,D XYD XD YX Y+=+=则 ()()22()16.E XYD XYE XY+=+=【例4.15】设 二 维 随 机 变 量(),X Y服 从 二 维 正 态 分 布11,2;1,4;8N.求()()2,2EXYDXY.【解析】因为()1,1,2;1,4;8X YN,根据二维正态分布的性质 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 ()()11,1,2,4,.8XYXNYN=根据期望与方差的性质 ()()()()220,2449,XYEXYE XE YDXYDXDYDXDY=+=则()20,9XYN,标准化可知()20,13XYN,记23XYU=,则 ()()22220116233ed6ed;222uuEXYE Uuuuu+=()()()()22182399()9.DXYDUD UE UE U=【例 4.16】设12,(2)nXXXn 为来自总体()20,N的简单随机样本,其样本均值为X,记,1,2,iiYXX in=.()求iY的方差()()1,2,iD Yin=;()求1Y与nY的协方差()1Cov,nY Y.【解析】(I)由简单随机样本的性质得知,123,nXXXX相互独立且与总体()20,N的分布相同,所以 ()()20,1,2,iiE XD Xin=()()()()222.iiiiE XD XE XD X=+=()()()21,1Cov,Cov,Cov,Cov,niiijjj iniiiXXXXXXDXXXXnnnn=+=()()()()()2Cov,iiiiD YD XXD XD XXX=+2212nXXDnn+=+22222211nnnn=+=()()()()()()()1111Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,nnnnY YXX XXXXXXXXX X=+.由相互1,nXX之间的相互独立性可知,()1Cov,0nXX=.由()知 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 ()()()()2211Cov,Cov,Cov,nnXXXXXXX XD XDnnn+=综上可得()22221Cov,0nY Ynnnn=+=.专题二 相关性与独立性的判定【例4.17】设 随 机 变 量X与Y相 互 独 立,且()E X与()E Y存 在,记max,min,UX YVX Y=,则()E UV=【】(A)()()E U E V.(B)()()E X E Y.(C)()()E U E Y.(D)()()E X E V.【解析】选(B).由题设可得UVXY=,因为X与Y相互独立,所以()()()()E UVE XYE XE Y=.【例 4.18】设二维随机变量(),X Y服从二维正态分布,则随机变量XY=+与XY=不相关的充分必要条件为【】(A)()()E XE Y=.(B)()()()()2222E XE XE YE Y=.(C)()()22E XE Y=.(D)()()()()2222E XE XE YE Y+=+.【解析】选(B).根据随机变量线性相关可知 ()0Cov,0.=和 不相关 则 ()()()()()()()()()()Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,Cov,0,XY XYX XYY XYX XX YY XY YD XD Y=+=+=+=仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 又 ()()()()()()2222,D XE XE XD YE YE Y=故选(B).【例 4.19】已知随机变量(),X Y服从二维正态分布11,0;9,16;2N,设32XYZ=+.()求Z的数学期望EZ和方差DZ;()求X与Z的相关系数XZ;()问X与Z是否相互独立?为什么?【解析】()由二维正态分布的性质可知()()11,9,0,16,2XYXNYN=.101;32323XYEZE=+=+=12Cov,143.3294326XYDXDYX YDZDDXDY=+=+=+=()因为()()()1111Cov,Cov,Cov,03234X ZX XX YDXDXDY=+=;所以,0 xz=.()因为(),X Y服从正态分布,所以,32XYX+即(),X Z也服从正态分布,由()可知0XZ=,因此,X与Z相互独立.【例 4.20】假设随机变量X的密度函数 ()e(0,),.xfxcxYX=+=()求常数c及()(),E XD X;()X与Y是否相关?为什么?()X与Y是否独立?为什么?【解析】()由于()d1f xx+=,所以02ed2ed1xxccxcx+=,故2c=,又因为()fx是偶函数,且反常积分()dxf xx+收敛,所以 ()()d0,E Xxf xx+=()()()222202d2ed.2xD XE Xx f xxxx+=仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 ()由于()fx是偶函数,故()()()d0E XYE X Xx x f xx+=,而()0E X=,所以()()()E XYE XE Y=,故X与Y不相关.()下面应用事件关系证明X与YX=不独立,因为 ()()1111d0,1d1,P Xf xxP Xf xx=所以 1,1111.P XXP XP XP X=故X与YX=不独立.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 3 随机变量的矩随机变量的矩 大纲考点梳理大纲考点梳理 3.1 k阶原点矩阶原点矩 设X为随机变量,若 ()()1,2,kE Xk=存在,则称其为X的k阶原点矩.3.2 k阶中心矩阶中心矩 设X为随机变量,若 ()()1,2,kEXE Xk=存在,则称其为X的k阶中心矩.3.3 +kl阶混合原点矩阶混合原点矩 设X和Y为两个随机变量,若 ()(),1,2,klE X Yk l=存在,则称其为X和Y的kl+阶混合原点矩.3.4 +kl阶混合中心矩阶混合中心矩 设X和Y为两个随机变量,若 ()()(),1,2,klEXE XYE Yk l=存在,则称其为X和Y的kl+阶混合中心矩.【注】从上述定义可以看出:数学期望()E X是X的一阶原点矩,方差()D X是X的二阶中心矩,协方差()Cov,X Y是X和Y的二阶混合中心矩.典型例题解析典型例题解析【例 4.21】设随机变量X的概率密度为 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 ()2141e(),xxf xx+=+则随机变量X的二阶原点矩为_.【解析】求X的二阶原点矩即是求()2E X.将()fx变形,得 ()22121124211ee,122xxxf x+=可知随机变量1 1,2 2XN,则()()11,22E XD X=,则 ()()()223.4E XD XE X=+=仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用