均匀弹性杆弯曲振动的机电等效电路.pdf

第 46 卷第 4 期浙江师范大学学报(自然科学版)Vol.46,No.42023 年 11 月 Journal of Zhejiang Normal University(Nat.Sci.)Nov.2023DOI:10.16218/j.issn.1001-5051.2023.023均匀弹性杆弯曲振动的机电等效电路李凤鸣1,2,刘世清1,许 龙2,陈赵江1(1.浙江师范大学 应用声学研究所,浙江 金华 321004;2.中国计量大学 理学院,浙江 杭州 310018)摘 要:为简化弯曲振动系统的设计,基于 Shear 梁和 Euler-Bernoulli 梁理论与机电类比原理,推导了均匀弹性杆弯曲振动的机电等效电路及其共振频率方程.在此基础上,探讨了杆的前 10 阶弯曲振动共振频率与其几何尺寸之间的依赖关系,并对其弯曲振动特性进行了数值仿真计算与分析.结果表明:均匀弹性杆两端横向力与振速之间满足互易关系,其弯曲振动亦可用机电类比 T 型等效电路来描述;杆的弯曲振动共振频率随其振动阶次的增加而增大;相同阶次的弯曲共振频率随其长高比的增加而减小;对于考虑剪切变形影响的 Shear梁,在较高的振动阶次及较小的长高比范围内,其弯曲振动共振频率的理论与仿真结果吻合较好.研究结果可为弯曲振动及其耦合振动系统的设计及应用提供一种有效的等效电路分析方法.关键词:均匀弹性杆;弯曲振动;机电等效电路;共振频率;振动阶次中图分类号:O426.9 文献标识码:A 文章编号:1001-5051(2023)04-0395-07The electromechanical equivalent circuit of the uniform section elastic rod in flexural vibration modeLI Fengming1,2,LIU Shiqing1,XU Long2,CHEN Zhaojiang1(1.Applied Acoustics Institute,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China;2.College of Sciences,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)Abstract:In order to simplify the diesign of the flexurel vibartion system,the electro-mechanical equivalent circuit and the resonance frequency equation of the uniform section elastic rod in flexural vibration were derived based on the theory of the Shear beam and the Euler-Bernoulli beam as well as the electro-mechanical analogy.The relationship between the resonant frequency of the rod in the first ten orders flexural vibration mode and its geometrical dimensions were analyzed,and the flexural vibration characteristics of the uniform elastic rod were simulated and invetigated.It was showed that the reciprocal relationship between transverse force and vibration velocity at the both ends of the uniform section elastic rod was satisfied,and the electro-mechanical equivalent circuit of the rod in flexural vibration was also an equivalent T-circuit.The flexural res-onance frequency of the rod increased as the vibration order increased.The flexural resonance frequency of the rod decreases as the length-height ratio increased at the same vibration order.Because the Shear deformation was considered in the Shear beam theory,the theoretical resonance frequency of the rod in flexural vibration 收文日期:2022-09-23;修订日期:2022-11-03基金项目:国家自然科学基金资助项目(11874326;12074354;11874327)作者简介:李凤鸣(1987),男,山西忻州人,博士研究生.研究方向:功率超声换能器;声学计量与测量.通信作者:刘世清.E-mail:zjnulsq mode were in good agreement with the simulated results in the range of higher vibration orders and smaller length-height ratios.The relavant findings would provide a designing method of the equivalent circuit analysis for the flexural vibration and the coupling vibration systems.Key words:uniform section elastic rod;flexural vibration mode;electro-mechanical equivalent circuit;reso-nance frequency;vibration order0 引 言板、梁或杆是机械振动及土木建筑等结构工程中的重要构件.在超声学特别是功率超声领域,杆形或盘形变幅器,如等截面杆、锥形和指数形变截面杆及各种剖面形状的盘形振子等1-5,作为功率超声换能器振动系统的重要组件,一方面能起到振幅放大作用,以提高振子声能辐射效率;另一方面具有阻抗变换功能,以实现换能器与负载之间的阻抗匹配,提高声能传输效率.由于压电超声换能器是一种复杂的机电耦合振动系统,其理论设计常采用机电类比等效电路法进行分析.与传统解析法相比,等效电路法在分析处理振动问题、特别是机电耦合系统的振动问题时尤为便捷,求解过程及物理意义更加直观明了.弹性振子的振动模式主要包括纵向、扭转、弯曲及径向几种单一振动模式,以及纵扭、纵弯、纵径等几种复合振动模式.目前,对于杆或盘形振子的纵向6-7、扭转8-9及径向10-14等几种单一振动模式的机电等效电路研究较多,且已比较完备,而对弯曲振动模式机电等效电路的研究相对比较欠缺,其振动分析基本上仍采用经典解析理论方法.文献15-16利用传递矩阵法推导出弯曲模式超声变幅杆的特性参量表达式;文献17分别基于 4 种梁理论,利用解析法对超声变幅杆的弯曲振动频率特性进行了数值计算与分析.本文基于弹性力学理论与机电类比原理,以经典 Shear 梁和 Euler-Bernoulli 梁为研究对象,结合边界条件,推导了均匀截面杆形振子弯曲振动的机电类比等效电路,并在等效电路基础上得出了共振频率方程.探讨了矩形截面均匀弹性杆几何尺寸对其各阶次弯曲共振频率的影响,并进行了有限元数值计算和验证.图 1 杆元段的力学分析1 均匀弹性杆弯曲振动分析 在振动力学中,受横向载荷的杆亦称梁,梁和杆均属于一维结构.设一均匀弹性杆形振子的两端所受横向力分别为 F1和 F2,振动速度分别为 1和 2,弯矩分别为 M1和M2,如图 1 所示.由振动理论可知,弹性杆在弯矩作用下将产生横向弯曲振动.以下将依据弹性梁理论与机电类比原理,并结合相应的力学边界条件,得出杆两端力与质点振速的关系,进而得出其弯曲振动机电类比等效电路及共振频率方程.2 均匀弹性杆的弯曲振动机电等效电路 2.1 Shear 弹性梁对于均匀截面弹性 Shear 梁(杆),在无激励条件下,其动力学方程18为A2t2+EI4x4-EIG4x2t2=0.(1)式(1)中:(x,t)为杆的横向位移;为材料密度;A 为杆的横截面积;E 为弹性模量;I 为惯性矩截面为矩形时,I=wh3/12(w 为矩形截面宽度,h 为矩形截面高度),截面为圆形时,I=r4/4(r 为圆截面半径);为与截面形状相关的剪应力系数(矩形截面为 5/6,圆形截面为 9/10);G=E/2(1+)为剪切693浙江师范大学学报(自然科学版)第 46 卷弹性模量;为泊松比.由式(1)得杆的横向位移通解为(x,t)=a1cos(kx)+a2sin(kx)+a3cosh(x)+a4sinh(x)exp jt().(2)式(2)中:a1,a2,a3和 a4均为积分常数,由边界条件确定;k 和 的表达式分别为:k=42E2I2+422G2EIA2EIG+22G;(3)=42E2I2+422G2EIA2EIG-22G.(4)式(3)和(4)中,=2f 为角频率.由式(2)可得杆的横向弯曲振动速度、弯矩和横向力分布函数分别为:=t=ja1cos(kx)+a2sin(kx)+a3cosh(x)+a4sinh(x)exp jt();(5)M=EI2x2=EI-a1k2cos(kx)-a2k2sin(kx)+a32cosh(x)+a42sinh(x)exp jt();(6)F=EI3x3=EIa1k3sin(kx)-a2k3cos(kx)+a33sinh(x)+a43cosh(x)exp jt().(7)对于长为 l、两端自由的均匀弹性杆,其两端弯矩均为 0.图 1 所示的边界条件为:当 x=0 时,=1,F=F1,M=M1=0;当 x=l 时,=-2,F=F2,M=M2=0.各力学参量的具体表达式分别为:1=j a1+a3()exp jt();(8)2=-ja1cos(kl)+a2sin(kl)+a3cosh(l)+a4sinh(l)exp jt();(9)M1=EI-a1k2+a32()exp jt()=0;(10)M2=EI-a1k2cos(kl)-a2k2sin(kl)+a32cosh(l)+a42sinh(l)exp jt()=0.(11)将式(10)代入式(8)可得:a1=2j k2+2()1exp-jt();(12)a3=k2j k2+2()1exp-jt().(13)将式(12)和式(13)代入式(9)和式(11)可得:a2=-2j k2+2()sin(kl)cos(kl)1+2exp-jt();(14)a4=-k2j k2+2()sinh(l)cosh(l)1+2exp-jt().(15)将 a1,a2,a3和 a4这 4 个待定常数代入杆两端的横向力表达式(7),整理得杆的两端力与质点横向振动速度的关系式为:F1=EI-a2k3+a43()exp jt()=EI2k2j k2+2()kcot(kl)-coth(l)1+EI2k2j k2+2()ksin(kl)-sinh(l)2;(16)F2=EIa1k3sin(kl)-a2k3cos(kl)+a33sinh(l)+a43cosh(l)exp(jt)=EI2k2j k2+2()ksin(kl)-sinh(l)1+EI2k2j k2+2()kcot(kl)-coth(l)2.(17)式(16)和式(17)可以进一步写成如下形式:F1=z11+z22;(18)793 第 4 期 李凤鸣,等:均匀弹性杆弯曲振动的机电等效电路F2=z21+z12.(19)式(18)和式(19)中,z1和 z2为均匀弹性杆的横向弯曲振动机械阻抗,其表达式分别为:z1=EI2k2j k2+2()kcot(kl)-coth(l);(20)图 2 均匀弹性杆弯曲振动的机电等效电路 z2=EI2k2j k2+2()ksin(kl)-sinh(l).(21)依据双端口等效网络理论,由式(18)和式(19)可得均匀弹性杆弯曲振动的 T 型等效电路如图 2 所示.2.2 Euler-Bernoulli 弹性梁式(1)中,若忽略剪切变形对弯曲振动的影响,则得均匀弹性杆在无激励条件下的动力学方程为A2t2+EI4x4=0.(22)由式(22)可得杆的横向振动位移分布函数为(x,t)=a1cos(kx)+a2sin(kx)+a3cosh(kx)+a4sinh(kx)exp jt().(23)式(23)中:k=42A/(EI);a1,a2,a3和 a4这 4 个待定常数的推导过程与 Shear 弹性梁相同,其值分别为:a1=a3=12jexp-jt();(24)a2=-cos(kl)1+22jsin(kl)exp-jt();(25)a4=-cosh(kl)1+22jsinh(kl)exp-jt().(26)将 a1,a2,a3和 a4这 4 个待定常数代入杆两端的横向力可得:F1=EIk3-a2+a4()exp jt()=EIk32jcot(kl)-coth(kl)1+EIk32j1sin(kl)-1sinh(kl)2;(27)F2=EIk3a1sin(kx)-a2cos(kx)+a3sinh(kx)+a4cosh(kx)exp jt()=EIk32j1sin(kl)-1sinh(kl)1+EIk32jcot(kl)-coth(kl)2.(28)由式(27)和式(28)可知,杆两端的横向力 F 与振速 同样满足式(18)和式(19)的互易关系,故振子的弯曲振动等效电路与图 2 相同,其机械阻抗 z1和 z2的表达式分别为:z1=EIk32jcot(kl)-coth(kl);(29)z2=EIk32j1sin(kl)-1sinh(kl).(30)由等效电路图 2 可得两端自由均匀弹性杆的弯曲振动输入机电阻抗表达式为zi=z1-z2+z1-z2()z2z1.(31)两端为自由边界情况下,均匀弹性杆弯曲振动的共振频率方程为Imzi=0.(32)893浙江师范大学学报(自然科学版)第 46 卷 共振频率方程反映了振子弯曲振动的共振频率与其几何尺寸、材料参数和截面形状之间的相互依赖关系.当均匀弹性杆的几何尺寸、材料参数和截面形状确定后,可通过频率方程求出振子的各阶弯曲振动共振频率,或者给定频率,求出相应的几何尺寸.3 有限元仿真为验证上述等效电路模型的正确性,利用 Comsol 有限元软件计算分析了不同几何尺寸杆的弯曲振动共振频率.选取振子的材料为钢,材料特性参数为:密度=7 850 kg/m3;泊松比=0.28;弹性模量E=2.051011 Pa.通过计算分析长度 l=200 mm、宽度 w=20 mm、高度 h=10 mm 的两端自由矩形截面均匀弹性杆的弯曲振动共振频率,得到其各阶次弯曲共振模态的振型图和共振频率值,图 3 分别为其第 1和第 6 阶弯曲共振模态振型图.(a)第 1 阶弯曲共振振型 (b)第 6 阶弯曲共振振型图 3 矩形截面均匀弹性杆弯曲共振模态振型图图 3(a)和图 3(b)分别为有限元计算得到的矩形截面均匀弹性杆第 1 阶和第 6 阶弯曲共振模态振型图.由图 3 可以看出,杆在弯曲共振模态下有较均匀的横向位移振幅;弯曲振动位移节点数(m)与阶次(n)满足 n-m=1 的关系,在实际工程应用中,振动位移节点通常作为系统固定或支撑位置.利用等效电路法和有限元法分别计算分析了上述算例的前 10 阶弯曲振动共振频率,理论与仿真计算结果如表 1 所示.表 1 中:fE,fS和 fC分别为利用 Euler-Bernoulli 梁等效电路法、Shear 梁等效电路法和有限元数值计算得到的弯曲振动共振频率;1=fE-fC/fC和 2=fS-fC/fC分别为 2 种梁弯曲共振频率的理论与仿真结果之间的相对误差.由表 1 可以看出,杆的弯曲振动共振频率及其相对误差随其振动阶次的增加而增大;Euler-Bernoulli 梁共振频率的理论与仿真误差随振动阶次升高而快速增大;但 Shear梁共振频率的理论与仿真误差较小,且在较大的弯曲振动阶次范围内吻合较好.表 1 矩形截面均匀弹性杆的各阶弯曲共振频率nfE/HzfS/HzfC/Hz1/%2/%11 3131 3081 3020.840.4623 6203 5683 5342.430.9637 0976 8826 7824.641.47411 73111 13510 9147.492.02517 52416 20815 80410.882.56624 47621 97321 32614.773.03732 58628 30727 36819.073.43841 85535 09833 82823.733.75952 28342 24440 62528.703.991063 86949 66347 68733.934.14993 第 4 期 李凤鸣,等:均匀弹性杆弯曲振动的机电等效电路 选取长 l=300 mm、宽 w=20 mm 的矩形截面均匀弹性杆为算例,探讨了杆的各阶弯曲振动共振频率与高度之间的关系,以长高比 K=l/h 表示矩形截面均匀弹性杆的不同几何尺寸.理论与仿真计算结果见图4.(a)Euler-Bernoulli 梁理论计算值和仿真值 (b)Shear 梁理论计算值和仿真值图 4 矩形截面均匀弹性杆弯曲共振频率的理论和仿真值与振动阶次及高度的关系选取高度 h=10 mm、宽度 w=20 mm 的矩形截面均匀弹性杆为算例,探讨了杆的各阶弯曲振动共振频率与长度之间的关系,理论与仿真计算结果如图 5 所示.(a)Euler-Bernoulli 梁理论计算值和仿真值 (b)Shear 梁理论计算值和仿真值图 5 矩形截面均匀弹性杆弯曲共振频率的理论和仿真值与振动阶次及长度的关系由图 4 和图 5 可知,2 种梁理论计算的均匀弹性杆弯曲共振频率值的误差随其振动阶次的增加而增大,随其长高比的增加而减小;Euler-Bernoulli 梁理论等效电路法适用于计算振动阶次较低和长高比较大的杆弯曲振动共振频率;Shear 梁理论等效电路法计算的杆弯曲共振频率与有限元法的计算结果吻合较好.误差主要来源:一方面是杆的弯曲振动并非理想的一维波动,而是复杂的三维弹性动力学问题;另一方面随着杆的弯曲,共振频率的升高,三维弹性动力学的转动惯性、剪切变形的影响更加显著;此外,Euler-Bernoulli 梁理论因忽略了截面转动惯性和剪切变形,故适用于求解弯曲振动阶次较低和长高比较大的动力学问题;Shear 梁理论考虑了剪切变形,可大幅提高计算杆弯曲振动的尺寸范围和振动阶次.004浙江师范大学学报(自然科学版)第 46 卷4 结 论基于 Shear 梁和 Euler-Bernoulli 梁理论的均匀弹性杆动力学方程与机电类比原理,推导了其机电类比等效电路及共振频率方程;探讨了矩形截面均匀弹性杆的前 10 阶弯曲振动的共振频率与其长度和高度之间的依赖关系,并进行了有限元仿真计算和验证,研究结果表明:1)均匀弹性杆弯曲振动的等效电路与传统杆形超声振子的纵向和扭转振动类似,可用互易 T 型等效电路来描述.2)通过等效电路法计算得到杆的弯曲共振频率理论与数值仿真结果误差随其弯曲振动阶次的升高而增大,而随其长高比的增加而减小.3)Euler-Bernoulli 梁理论等效电路适用于计算振动阶次较低和长高比较大的杆弯曲振动共振频率,Shear 梁理论可大幅提高计算杆的尺寸范围及弯曲振动阶次.值得指出的是,本文研究的均匀弹性杆弯曲振动等效电路较现有的解析理论及矩阵传递法,其物理意义更明确、求解更简便,从而为分析和处理杆形振子的弯曲振动问题,特别是由杆形振子组成复合振动系统的纵弯和扭弯等耦合振动提供了一种等效电路分析方法.参考文献:1林仲茂.超声变幅杆的原理和设计M.北京:科学出版社,1987.2KLEESATTEL C.Uniform stress contours for disk and ring resonators vibrating in axially symmetric 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