具有年龄结构的SVIQR传染病模型的稳定性分析.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(9),2465-2477 Published Online September 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.139253 文章引用文章引用:史旭元,高红亮.具有年龄结构的 SVIQR 传染病模型的稳定性分析J.理论数学,2023,13(9):2465-2477.DOI:10.12677/pm.2023.139253 具有年龄结构的具有年龄结构的SVIQR传染病模型的稳定性传染病模型的稳定性 分析分析 史旭元史旭元，高红亮高红亮*兰州交通大学，数理学院，甘肃 兰州 收稿日期：2023年7月26日；录用日期：2023年8月28日；发布日期：2023年9月4日 摘摘 要要 讨论一类具有疫苗接种和隔离的年龄结构讨论一类具有疫苗接种和隔离的年龄结构SVIQR传染病模型传染病模型，得出基本再生数得出基本再生数R0的表达式的表达式。证明了当证明了当R0 1时时，无病平衡点不稳定无病平衡点不稳定；此时系统存在地方病平衡点此时系统存在地方病平衡点，并且证并且证明了地方病平衡点是唯一的并且局部渐进稳定明了地方病平衡点是唯一的并且局部渐进稳定。最终得出最终得出，隔离是消除传染病的有效方式隔离是消除传染病的有效方式，如果不能进如果不能进一步降低传播率一步降低传播率，那么就需要最大限度地提高疫苗接种率那么就需要最大限度地提高疫苗接种率。关键词关键词 年龄结构，疫苗接种，隔离，基本再生数，稳定性年龄结构，疫苗接种，隔离，基本再生数，稳定性 Stability Analysis of SVIQR Infectious Disease Model with Age Structure Xuyuan Shi,Hongliang Gao*College of Mathematics and Physics,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou Gansu Received:Jul.26th,2023;accepted:Aug.28th,2023;published:Sep.4th,2023 Abstract A class of age-structured SVIQR infectious disease models with vaccination and isolatio-n was discussed.The expressions of basic regeneration number R0 were derived.It was proved that when R0 1,the dis-ease-free equilibrium point was unstable.And there exists endemic equilibrium state,and it was proved that endemic equilibrium point was unique and locally asymptotically stable.Ultimately,isolation was an effective way to eliminate infectious diseases;if transmission rates cannot be re-duced in future,then vaccination rates need to be maximized.*通讯作者。史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2466 理论数学 Keywords Age Structure,Vaccination,Isolation,Basic Regeneration Number,Stability Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 传染病是人类历史上极易造成重大伤亡的疾病，近年来，艾滋病、肺结核、麻疹等疾病从未淡出过人们的视野，这就警示我们，传染病一直存在，我们必须不断提出新的方法来面对新出现或者反复出现的传染病。年龄是研究传染病模型中的重要因素，最早建立和研究年龄结构的流行病模型是 Hoppenstendt 1。此后，研究年龄结构的流行病模型的工作不断出现，大多数作者讨论的是 SIS，SIR，SEIR 模型2 3 4 5 6。在突发传染病暴发的早期阶段，非药物预防和控制措施往往在遏制疾病传播和暴发方面发挥着关键作用。隔离是发现传染病病人或疑似者，将其安置在一定场所，使之不与易感人群接触的一种措施。隔离是控制传染源的重要措施之一。隔离的方式，应根据疾病的传播途径而定。某些传染病可在家隔离，如麻疹等，有些则应在临时隔离室或住院隔离，许多学者在模型中考虑了隔离措施，从而让模型更加符合实际情况7 8 9 10。文献7中提出了一类具有接种和隔离治疗的肺结核模型，研究了模型的全局稳定性。文献8中研究了易感人群软隔离行为对 COVID-19 在武汉的传播影响。文献9中研究了由确诊病例驱动跟踪隔离的时滞传染病数学模型。文献10中研究了具有隔离和不完全治疗的传染病模型的全局稳定性。受以上文章启发，加入了年龄结构，研究了具有疫苗接种和隔离的年龄结构 SVIQR 传染病模型，相比传统的模型，更加具有实际意义。2.模型建立模型建立 本文将所研究的人群分为五类，分别为易感者类、疫苗接种类、染病者类、隔离者类和康复者类，并用()()()()(),S a tV a tI a tQ a tR a t表示在 t 时年龄 a 易感者类、疫苗接种者类、染病者类、隔离者类和康复者类的年龄分布函数。种群的全体成员的年龄分布函数为(),N a t，即()()()()()(),N a tS a tV a tI a tQ a tR a t=+，根据传染病建模方法，建立如下具有年龄结构的传染病模型，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()00,d,d,aaa a I a tSSS a taa S a ta S a tatN a tVVa S a tam V a tata a I a tIIS a taaaaI a tatN a tQQa I a taaQ a tatRRa Q a tmV a ta I a ta Rat+=+=+=+=+=+(),a t (1)初值条件 Open AccessOpen Access史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2467 理论数学 ()()()()()()()()()()00000,0,0,0,0,0S aSa V aVaI aIaQ aQaR aRa=，边界条件()()()()()0,0,0,0,0,0,0,0,0.StA VtItQtRt=各参数表示的意义如下表 1：Table 1.Each parameter and its significance 表表 1.各参数及意义 参数 意义()a 年龄依赖自然死亡率()a 年龄依赖疫苗接种率 m 接种疫苗者的恢复率()a 年龄依赖隔离者恢复率()a 年龄依赖隔离率()a 年龄依赖恢复率 A 初始人口(),a b 年龄 b 的染病者与年龄 a 的易感者接触而被感染的概率()k a 通过与年龄 a 的传染性个体接触而被感染的平均概率 基本假设 1)具有一定的初始人口；2)不考虑因病死亡；3)接种疫苗之后不在染病。为了简化系统(1)，对系统(1)进行归一变换，令()()()()()()()()()()()()()()(),.,S a tV a tI a tQ a tR a ts a tv a ti a tq a tr a tN a tN a tN a tN a tN a t=则系统(1)变为如下形式()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(),ssa tas a tatvva s a tmv a tatiia t s a taai a tatqqa i a ta q a tatrra q a tmv a ta i a tat+=+=+=+=+=+(2)初始条件 史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2468 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()000000000000000,0,0,0,0,0,SaVaIas asav avai aiaNaNaNaQaRaq aqar araNaNa=边界条件()()()()()s 0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,tvtitqtrt=其中()()()()0,d.aa tk aa i a ta+=可以获得()()()()(),1.s a tv a ti a tq a tr a t+=3.无病平衡点的存在性和稳定性无病平衡点的存在性和稳定性 3.1.无病平衡点的存在性无病平衡点的存在性 当系统(2)达到稳定的年龄分布时，,s v i q r只与年龄 a 有关，所以系统变为如下形式()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()d,dd,dd,dd,dd,dsaas aava s amv aaia s aaai aaqa i aa q aara q amv aa i aa=+=+=+(3)初始条件()()()()()s 01,00,00,00,00,viqr=其中()()()()0d.aak aa i aa+=r 在上面 4 个方程均为出现，所以只考虑前 4 个方程，得到其无病平衡点()()()()()00000,.Esavaiaqa=显然，()()000,iaqa=()()()()()00ddd000e,eed.aaaassm ssava =综上，我们可知无病平衡点存在且唯一，即()()()000,0,0Esava=。3.2.无病平衡点的局部稳定性无病平衡点的局部稳定性 为了研究无病平衡点的局部稳定性，我们对系统(3)进行平移变换，令 史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2469 理论数学 ()()()()()()()()()()()()0000,.s a tsas a tv a tvav a ti a tiai a tq a tqaq a t=+=+=+=+则系统变为如下形式()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0000,ssa t s a ta s a ta t saatvva s a ta samv a tmvaatiia t s a ta t saaai a tatqqa i a ta q a tat+=+=+=+=(4)边界条件()()()()0,0,0,0,0,0,0,0,stvtitqt=其中()()()()0,d.aa tk aa i a ta+=系统(4)线性部分如下()()()()()()()()()()()()()()()()00,ssa s a ta t saatvva s a tmv a tatiia t saaai a tatqqa i a ta q a tat+=+=+=+=(5)边界条件()()()()0,0,0,0,0,0,0,0.stvtitqt=考虑系统(5)的指数解形式，令()()()()()()()(),e,e,e,e.tttts a ts av a tv ai a ti aq a tq a=则系统(5)变为如下形式()()()()()()()()()()()()()()()()00d,dd,dd,dd,dsa saas aava s am v aaia saaai aaqa i aa q aa=+=+=+=(6)初始条件()()()()00,00,00,00,seiq=其中()()()()0d.aak aa i aa+=史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2470 理论数学 解系统(6)可以得()()()()()()()()()()()()()()()()()d00d0d00d0ed,ed,ed,ed.aaaaassamsasssasss asv asi asv ai +=(7)令()()0daa i aa+=，有()()ak a=。将()i a的表达式代入，可以获得()()()()()d000ed d.aaasssaksa+=产生以下关于的特征方程()()()()()d0001ed d.aaasssaksa+=利用()F来表示右侧()()()()()()d000ed d.aaasssFaksa+=基本再生数指的是一个病人在平均患病期内所传染的人数，是考量病毒能否流行的指标性因素，可以将基本再生数定义为()00RF=，即()()()()()d0000ed d.aaasssRaksa+=(8)对于无病平衡点0E的局部稳定性，我们有以下结果。定理定理 1 如果01R，0E是不稳定的。证明证明 从()F的表达式中，可以得到以下的性质()()()0,lim,lim0.FFF+=+=则存在唯一的实根*，使得()*1F=。Figure 1.The approximate graph of()F 图图 1.()F的近似图 史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2471 理论数学 情况一情况一()1F=有一个实根。如果01R，即()01F，则*0。因此，如果01R，()*1F=有唯一的负实根。情况二情况二()1F=有一个复根。令i=+是满足()1F=的根。则()Re1F=，()Im0F=，并且()()()ReRe eRe eRe ecossine cosee,ii+=+=()()()()()()()()()()()()()d000Red000ed deed dRe.aaaasssaaasssFaksaaksaF+=所以，可以获得()()()*1ReReRe0.FFF()F的近似图如图 1 所示，因此，若()*1F=有一个复根，则复根必须要有负实部。从以上可知，当01R 时，0E是不稳定的。3.3.无病平衡点的全局稳定性无病平衡点的全局稳定性 在本节中讨论了当01R 时无病稳态0E的全局稳定性，并得到如下结果。定理定理 2 如果01R 时的解。可以得到()()()()()()()()()()()()()()()0,dd0d0d0,e,ed,ed,ed.aaaat aam sasssasss a tv a tstai a tta staq a tita +=+=+=+(10)当ta时，将(),s a t的表达式代入(),i a t，可以获得()()()()()d0,edaasssi a tta sta+=+。令()()()0,data i t aa+=，则(),a t可以表示为()()(),a tk at=。将(),i a t代入()t中，可以获得 史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2472 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()d00d00,ed d,ed d,d.aaaassstaasssttata staaata staaa i t aa +=+=+显然，当 t 很大时，上面最后一项为零。此外，由于(),0a t，所以()()()()()00,dd0,eeaat astas +=。因此()()()()()()()()()()()()()d00d000,ed ded d.aaaasssaassstakta staaasktaa +=+又因为()()()()()d0000ed d,aaasssRaksa+=对()t两边取极限可得()()0limsuplimsuptttRt，当01R 时()limsup0tt=。因为()()()()00,datta i t aa+=，可以获得()()()()00limsup,0,limsup,0.tti a tiaq a tqa=把(),s t a的表达式代入得()()()()()()()()000,dddlimsup,limsupelimsupee,aaatt atkt atos t asa +=同理()()0limsup,tv t ava=。即01R，则系统存在唯一的地方病平衡点()()()()()*,Esavaiaqa=。证明证明 当系统达到稳定的年龄分布时，系统只与年龄有关，则系统的稳态解满足如下形式()2史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2473 理论数学 ()()()()()()()()()()()()()()()*d,dd,dd,dd,dsaasaava samvaaia saaaiaaqa iaa qaa=+=+=(11)初始条件()()()()*s01,00,00,00,viq=其中()()()()()()()*00d,daaak aa iaak aa iaa+=。系统的解为()()()()()()()()()()()()()()()()0*0d*d*0dd*0*0e,ed,eed,ed.aaaaaam skasssas dssavasiakqai +=(12)由此可见，当*0=时，地方病平衡点()()()()()*,Esavaiaqa=转变为无病平衡点()()()()()00000,Esavaiaqa=。将()*ia的表达式代入()()*0daa iaa+=，又因为*0，可得()()()()()*0dd01eed.aakasssk +=用()*H 来表示右侧()()()()()()*0dd*0eed.aakasssHk +=Figure 2.The approximate graph of()*H 图图 2.()*H 的近似图()11史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2474 理论数学 从()*H 的表达式中，可以得到以下的性质()()()*0,lim,00,HHH 时，()*1H=有唯一的正实根*。则系统具有唯一的正地方性平衡点()()()()()*,Esavaiaqa=。4.2.地方病平衡点的局部稳定性地方病平衡点的局部稳定性 为了分析01R 时，地方病平衡点的局部稳定性，还需要讨论在*E处的线性化系统，令()()()()()()()()()()()()*,.s a tsas a tv a tvav a ti a tiai a tq a tqaq a t=+=+=+=+取其线性部分，系统变为如下形式()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()*,ssa s a ta s a ta t saatvva s a tmv a tatiia s a ta t saaai a tatqqa i a ta q a tat+=+=+=+=(13)边界条件()()()()s 0,0,0,0,0,0,0,0,tvtitqt=其中()()()()()()()()*00,d,daaa tk aa i a taak aa iaa+=。现在考虑系统的非零指数解，令()()()()()()()(),e,e,e,e.tttts a ts av a tv ai a ti aq a tq a=则系统变为如下形式()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()*d,dd,dd,dd,dss ak a s aa s ak a saavv aa s amv aaii aaai ak a s ak a saaqq aa i aa q aa=+=+=+(14)初始条件()()()()s 00,00,00,00,viq=()13史旭元，高红亮 DOI:10.12677/pm.2023.139253 2475 理论数学 其中()()0d.aa i aa+=因为0，令,sviqsviq=。这个系统变为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()*d,dd,dd,dd,dss ak a s aa s ak a saavv aa s amv aaii aaai ak a s ak a saaqq aa i aa q aa=+=+=+(15)其中()()01d.aa i aa+=系统(15)的解为()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()*d*0d0d*0d0ed,ed,ed,ed.aaaak sssamsasssassas askv asi aksksq ai +=+=(16)令()()()0daa i aa+=，当01R 时，我们想要证明()1=具有负实部。()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()*d*00dd*000ed deedd d,aasssaasssk sssaaaksksaakskska +=+=并且()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()*d*00dd*0000ed deedd d.aasssaasssk sssaaaksksaakskska+=+=根据()*H 的表达式()()()()()()d*00ed d1.aaasssHaska+=这个()0可以转变为()()()()()()()()()()*dd*00001eed d d1.asssk sssaaakska+=，所以()()()()()()()d*00ed d.aaasssaska +，有()()()*01H=，所以()1=只发生在Re0，则()1=的所有根都有负实部。定理定理 4 如果01R，则地方性平衡点()()()()()*,Esavaiaqa=局部渐近稳定。证明证明 证明和上述定理定理 1 证明类似。5.总结总结 本文在文献5的基础上对原有模型进行改进，考虑了隔离类，并将疫苗接种者列为单独一类进行讨论，建立了一类具有接种和隔离的年龄结构 SVIQR 传染病模型。分析计算得到模型的基本再生数()()()()()d0000ed daaasssRaksa+=。证明了当01R 时，无病平衡点0E不稳定，此时系统存在地方病平衡点*E，证明了当01R 时，地方病平衡点*E是局部渐进稳定。从基本再生数的表达式可以看出，隔离率()a或疫苗接种率()a增大，则基本再生数0R减小，即隔离和提高疫苗接种率是消除传染病的有效方式。基金项目基金项目 国家自然科学基金(11961039)；甘肃省高等学校青年博士项目(2022QB-056)。参考文献参考文献 1 Hoppenstendt,F.(1994)An Age-Structured 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