具有Markov切换和偏利关系的捕食-食饵模型.pdf

第 卷 第 期集美大学学报（自然科学版）年 月 （）：收稿日期 基金项目 国家自然科学基金项目（）；福建省自然科学基金项目（）；集美大学国家自然科学基金培育项目（）作者简介 林紫嫣（），女，硕士生，从事生物数学方向研究。通信作者：张树文（），男，教授，硕导，从事生物数学方向研究。：文章编号 （）：具有 切换和偏利关系的捕食食饵模型林紫嫣，魏春金，张树文（集美大学理学院，福建 厦门）摘要 研究具有 切换的含偏利关系的随机捕食食饵模型的动力学。通过构造 函数，证明该系统的全局正解的存在唯一性，并且给出种群平均持续生存和灭绝的充分条件；证明系统存在唯一的平稳分布且具有遍历性。最后，通过数值模拟来证实理论结果。关键词 捕食食饵系统；切换；灭绝；平均持续生存；平稳分布；遍历性中图分类号 引言在过去的几十年里，许多学者对捕食食饵模型进行了深入研究并获得丰富的研究成果。但是，现实中不同种群之间的关系是极其复杂的，如偏利关系，它是指种间相互作用仅对一方有利，而对另一方没有影响。例如：文鸟专在胡蜂窝的附近筑巢，因为胡蜂有毒刺，许多动物不敢接近，文鸟得到保护，但对胡蜂无害；地衣、苔藓附在树皮上，对树木没有影响，但有利于从空气中获得水分和养分等。有些学者对具偏利关系的种群模型进行了研究，但总体偏少，本文考虑了如下具有偏利关系的随机捕食食饵模型，即（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）。（）第 期林紫嫣，等：具有 切换和偏利关系的捕食食饵模型：其中：（）、（）、（）分别代表、在 时刻的密度；模型的所有参数都是正的；、分别表示种群、的内禀增长率：表示种群 的死亡率；（，）表示种群的密度制约系数；表示种群 对种群 的偏惠系数；是种群 对种群 的捕食率；是种群 对种群 的转化率；（，）是白噪声强度。（）（，）是定义在完备概率空间（，）上相互独立的标准布朗运动，其中滤子 是 上的一个 代数且满足通常条件（即右连续，包含所有的零测集）。在现实生态系统中，各种形式的环境干扰都是无时、无处不在的，种群系统除了受白噪声的干扰，还受到一种数量虽少但强度较大的干扰，通常将这种随机干扰称为有色噪声，又称电报噪声。有色噪声可以看作是两种或两种以上环境模式的随机转换，通常情况下，状态切换在某个系统所待的时间服从指数分布，且是无记忆的。用具有有限状态空间 ，的有连续 链（）来描述生态系统中的有色噪声，因而获得下列具有 链随机捕食食饵模型，即（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。（）预备知识为方便起见，给出以下记号：（）；（）。令（）的生成元是 （），且满足（）（）（），（），。（）其中 。当 时，是状态 到状态 转移率且满足 。假设 链（）是不可约的，即系统能在任意状态转到其他状态。可知此链有唯一的平稳分布 （，），满足 ，。假设（）（），（），（）（）是随机微分方程（）（），）（），）（）（）的解，其中：（，）；（，）；（）是 维布朗运动。定理（存在唯一性定理）假设（），）和（），）关于（）满足下列条件：）局部 条 件，存 在 （，），使 得，且 有 不 等 式（，）（，）（，）（，）成立：）线性增长条件，存在 ，使得（，）（，），（，），则初始条件为（）的 系统（）存在唯一连续的局部解（）（，），是爆破时间。定理（公式）若（，（），（；），则（，（）仍然是 过程，具有如下随机微分：（，（）（，（）（，（）（）（）（，（）（）。定理（随机微分方程比较定理）设（）（，）分别是随机微分方程（）（），）（），）（）的解，其中，（，）（，），（，）（，）。若满足：）存在定义 在，）上 满 足 （）及（）的 函 数（），使 得（，）（，）（），；）（，）（，），；）（）（），则有（）（），。定义 设（）是系统（）的任意解，则：）若 （），则称种群（）为灭绝的；集美大学学报（自然科学版）第 卷：）若存在一个正常数，使得种群（）满足 （），则称种群（）为弱平均持续生存的；）若存在一个正常数，使得种群（）满足（），则称种群（）为平均持续生存的。引理 令 ，），（，），）如果存在正常数、，使得 （）（）（），对于任意的，），而且 （），那 么 （）；）如果存在正常数、，使得 （）（）（），对于任意的，），而且 （），那么 （）。引理 若系统（）满足下列条件：）对于任意的，都有；）对每一个，（，）是对称矩阵，对所有 及常数 （，满足：（，），；）存在具有正则边界的非空有界开子集，满足对任意的，存在一个非负二次可微函数（，）和正常数 ，对所有的（，），有（，），则系统（）是遍历的且具有唯一的平稳分布。主要结果及其证明定理 对任意给定的初值（），（），（），系统（）存在唯一解（），（），（），并且以概率 存在于 中。证明令（）（），（）（），（）（）。由 公式可得 （）（）（）（）（），（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）。（）显然，系统（）满足局部 条件，则系统存在唯一的局部解（），（），（）（，），其中 是爆破时间。由 公式可得，（），（），（）（），（），（）是系统（）满足初值（），（），（）的唯一解。为了证明这个解是全局的，只需证明 。令 足够大，使得（），（），（），对于任意的正数，定义一个停时序列 ，）：（）（，）或（）（，）或（）（，），定义 （代表一个空集）。显然，当 时，是单调递增的，且 ，有 ，其中，只需证明。假设 ，则存在常数、（，）和 一个整数，有 ，。定义一个 函数（，），由 公式可得 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。由于 （）（）（）、（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）、（）（）第 期林紫嫣，等：具有 切换和偏利关系的捕食食饵模型：）（）（）存在最大值，设为，则，有（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。将上式两边从 到 积分并取期望：（），（），（）（），（），（）。设 （），（），对于任意的，都有（），（），（）至少其中之一等于 或，即（），（），（）（）（，），（，），（，）（）（），这里 （）是 指示函数。令 ，有 （），（），（），这与（），（），（）为有限数矛盾，因此 。所以系统有唯一的解（）、（）、（），并且以概率 存在于 中。定理 对于随机系统（），令 （）（）（，），（）（），则有：）若，则种群（）、（）、（）均灭绝；）若 ，则种群（）、（）灭绝，种群（）平均持续生存；）若，则种群（）弱平均持续生存，种群（），（）灭绝；）若，则种群（）、（）、（）弱平均持续生存。证明）对于系统（）中的（），应用 公式可得 （）（）（）（）（）（）。（）将式（）两边从 到 积分可得（）（）（）（）（）（）（）（）。（）对式（）两边同时除以 并取极限得，（）（）（）（）（），其 中，（）（）（）。由（）的 遍 历 性，（）（）（）（），（），则（）灭绝。即有（）（）（）（）（）（）（）（）。（）对式（）两边同时除以 并取极限得，（）（）（）（）（），由（）灭 绝，有 （）（）（）（）（），（），则（）灭绝。即有（）（）（）（）（）（）（）（）（）。（）得 （）（）（）（）（）（）。由（）灭绝，易得（）灭绝。）由）的证明可知，当 时，种群（）灭绝。则对任意的 ，存在 ，使得当时，有集美大学学报（自然科学版）第 卷：（），（）由式（）可知（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）。由引理 得：（）（），（）（）。令，有 （），种群（）是平均持续生存的。由式（）易知，当种群（）灭绝时，种群（）灭绝。）由 式（）有，（）（）（）（）（）（）（）。由引理 得 （）。（）又，即种群（）是弱平均持续生存的。将式（）代入式（），有（）（）（）（）（）（）（）。（）方程两边同时除以，并取极限得 （）（）（）（）。由（）的遍历性，有 （）（）（）（）（）（）。由 ，得 （），则（）灭绝。再将式（）代入式（），有 （）（）（）（）（）。（）由（）的 遍 历 性，有 （）（）（）（）（）（）（）（），由 ，得 （），则（）灭绝。）由）的证明可知，当 时，种群（）是弱平均持续生存的。式（）由引理 得，（）（），由 ，种群（）是弱平均持续生存的。式（）由引理 得，（）（），且 ，那么种群（）、（）、（）是弱平均持续生存。注 当 时，由定理 的）知，当，偏利系数 时，种群（）是灭绝的。由）知，当，偏利系数 时，种群（）是弱平均持续生存的，由此得出偏利系数 对种群（）的影响。定理 假设条件（）（）（）（）（）（）（）（）成立，对于任意给定的初值（），（），（），系统（）具有遍历性。证明 令（）（），（）（），（）（）。将系统（）化为系统（），由文献 的引理 ，知道系统（）与系统（）的遍历性是等价的。接下来证明系统（）满足引理 的 个条件。假设当 时，因此，引理 中的条件）成立。令（，）（），第 期林紫嫣，等：具有 切换和偏利关系的捕食食饵模型：（），（），则（，）（，）（，）（），（），（）是正定的，因此，引理 中的条件）成立。为了证明引理 中的条件）成立，定义一个二维的函数：（，）（）（）（），其中 （，）满足 ，（），（）（）。是正常数且满足 ，（）。（）其中：（）；（）。易知（，）存在最小值点（，）。定义一个二维的 函数：（，）（）（）（）（，）（）。令 （）（），（），（），其中，（），的定义在后面给出。给出 是为了使 非负。因此，由上面的分析可知（，）非负。运用伊藤公式可得：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。（）（）（）（）（）（）（）（）（），（），（）（）。（）为了给出，定义向量 （），这里（）（）（）（）（）（）（）。由于生成矩阵 是不可约的，对任意的，存在 （），它是泊松系统的一个解，即（）（），因此，有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。（）由式（）、式（）式（）可得：（）（）。则有 （）（）（）（）（）（），（）其中 （，）（）（）（）（）（）集美大学学报（自然科学版）第 卷：（）（）（）（）（）（）。取充分小的数，满足 （），（）（），（）。（）其中，。定义 。其中：（，）：；（，）：；（，）：；（，）；（，）：；（，）：。对于上述，接下来证明在 上，有（，）成立。）对于（，），有 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）。（）定义 （），（，），可知（），由式（）得，（）（）（），因此，在 上 。）对于（，），有 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）。（）由式（）得，（）（）（）（），因此，在 上。）对于（，），有 （）（）（）（）（）（）。（）令 足够小，由式（）和式（）得，因此，在 上，。）对于（，），有 （）（）（）（）（）（）（）。（）令 足够小，由式（）得，在 上，。）对于（，），有 （）（）（）（）第 期林紫嫣，等：具有 切换和偏利关系的捕食食饵模型：（）（）。（）令 足够小，由式（）得，在 上，。）对于（，），有：（）（）（）（）（）（）。（）令 足够小，由式（）得，在 上，。综上所述，在 上，有（，），由引理，可知系统（）是遍历的且具有唯一的平稳分布。数值模拟结果为了验证结果的正确性，采用 高阶方法对随机系统（）进行数值模拟。考虑模型（）的离散化形式为 （）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（），（）其中，（，）服从（，）分布相互独立的高斯随机变量。假设 链（）在状态空间 ，的 生成元是 。根据 链（）的不可约性，得到（）的平稳分布 （，）。假设模型（）中的参数如下：（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），并取模型（）的初始值为（，），则有：）取（），（），（），（），（），（），计算可得 ，显然参数的选择满足定理 的条件）。即种群，均是灭绝的，见图。）取（），（），（），（），（），（），计算可得 ，显然参数的选择满足定理 的条件）。即种群（），（）是灭绝的，种群（）是平均持续生存的，见图。）取（），（），（），（），（），（），计算可得 ，显然参数的选择满足定理 的条件）。即种群（）是弱平均持续生存的，种群（），（）是灭绝的，见图。）取（），（），（），（），（），（），计算可得 ，显然参数的选择满足定理 的条件）。即种群（），（），（）均是弱平均持续生存的，见图。比较图 和图 可以发现，当、基本不变，变小时，种群（）由灭绝趋向平均持续生存；比较图 和图 可以发现，当 不变，、变小时，种群（）、（）由灭绝变为弱平均持续生存。由此可知，随机扰动对物种生存起着至关重要的作用，过大的噪声干扰会使物种灭绝。集美大学学报（自然科学版）第 卷：ttt0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.70.60.50.40.30.20.100 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.70.60.50.40.30.20.100 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.70.60.50.40.30.20.10 x t()y t()z t()?Stochastic?Deterministic?Stochastic?Deterministic?Stochastic?DeterministicFig.1 Time series of system(2)and its corresponding deterministic system with initial value(0.5,0.4,0.3)?(?(?12)0.5,0.4,0.3)(1)=0.5(2)=0.73(1)=0.65(2)=0.6(1)=0.4(2)=0.35)，223311(c)()z t(b)()y t(a)()x t(1)=0.5(2)=0.73(1)=0.65(2)=0.6(1)=0.4(2)=0.35)，223311Fig.2 Time series of system(2)and its corresponding deterministic system with initial value(0.5,0.4,0.3)?(?(?22)0.5,0.4,0.3)(1)=0.5(2)=0.7(1)=0.25(2)=0.3(1)=0.4(2)=0.35)，5，223311ttt0 1020304050607080901000.40.350.30.250.150.10.0500 1020304050607080901000.60.50.40.30.20.100 1020304050607080901000.70.60.50.40.30.20.10 x t()y t()z t()?Stochastic?Deterministic?Stochastic?Deterministic?Stochastic?Deterministic(c)()z t(b)()y t(a)()x t(1)=0.5(2)=0.7(1)=0.25(2)=0.3(1)=0.4(2)=0.35)，5，223311ttt0 50 100 150 200 250 3002.521.510.500 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.70.60.50.40.30.20.100 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500.70.60.50.40.30.20.10 x t()y t()z t()?Stochastic?Deterministic?Stochastic?Deterministic?Stochastic?DeterministicFig.3 Time series of system(2)and its corresponding deterministic system with initial value(0.5,0.4,0.3)?(?(?32)0.5,0.4,0.3)(c)()z t(b)()y t(a)()x t(1)=0.25，(2)=0.3，(1)=0.65，(2)=0.7，(1)=0.8，(2)=0.9)223311(1)=0.25，(2)=0.3，(1)=0.65，(2)=0.7，(1)=0.8，(2)=0.9)223311 第 期林紫嫣，等：具有 切换和偏利关系的捕食食饵模型：Fig.4 Time series of system(2)and its corresponding deterministic system with initial value(0.5,0.4,0.3)?(?(?42)0.5,0.4,0.3)(1)=0.25，(2)=0.3，(1)=0.3，(2)=0.25，(1)=0.1，(2)=0.2)223311ttt0 50 100 150 200 250 3000.70.60.50.40.30.20.100 50 100 150 200 250 3000.90.80.70.60.50.40.30.20.100 50 100 150 200 250 3001.210.80.60.40.20 x()ty()tz()t?Stochastic?Deterministic?Stochastic?Deterministic?Stochastic?Deterministic(c)z()t(b)y()t(a)x()t(1)=0.25，(2)=0.3，(1)=0.3，(2)=0.25，(1)=0.1，(2)=0.2)223311 参 考 文 献 ，（）：，（）：，（）：，李石英，张树文 食饵具有偏利合作关系的捕食食饵系统的定性分析 集美大学学报（自然科学版），（）：付盈沽，魏春金，张树文 具有偏利关系的随机三种群模型的动力学分析 集美大学学报（自然科学版），（）：，：王克 随机生物数学模型 北京：科学出版社，（）：，：，（）：，卢广西，张萍 毒素作用下具有偏利水平和 效应的偏利种群模型研究 兰州文理学院学报（自然科学版），（）：雷朝俭，林启法 具有非单调功能性反应和 效应的偏利种群模型研究 宁德师范学院学报（自然科学版），（）：李紫君，李东 具有脉冲种间偏利关系的 系统的动力学行为分析 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