2018考研数学高数上册强化班讲义-张宇(1).pdf

新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 新东方在线考研新东方在线考研 2018 考研数学高等数学强化班课程配套讲义考研数学高等数学强化班课程配套讲义 授课教师：张宇授课教师：张宇 欢迎使用新东方在线电子教材欢迎使用新东方在线电子教材 目录 2018 考研数学高等数学强化班课程配套讲义考研数学高等数学强化班课程配套讲义.1 授课教师：张宇授课教师：张宇.1 第一讲 极限.2 第二讲 一元函数微积分学.9 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 内容安排：(1)极限(2)一元函数微分学 (3)一元积分学 (2,3 合成一元函数微积分)(4)多元函数微分学 (5)二重积分 (4,5 合成多元函数微积分)(6)微分方程 (7)无穷级数(8)数一专场 要求 记笔记 “背”笔记【注】课程中会涉及高数 18 讲的例题 第一讲第一讲 极限极限 核心考点 1)定义 2)性质 3)计算 4)应用 一、极限定义与性质 1、函数极限 0lim()xxf xA 0,0,当00|xx时，有|()|f xA 2、数列极限 limnnxa0，0N，当nN时，有|nxa 3、唯一性 若0lim()()xxf xA，则A唯一.考点：0lim()()xxf xA-+00lim()lim()=xxxxf xf xA 注：0sinlimxxx不 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 -+00000sinsinlim=lim1sinsinsinlim=lim1limxxxxxxxxxxxxxxx 不存在 4、局部有界性【Th】若0lim()()xxf xA，则0,当00|xx时M0，使|()|f xM 5、局部保号性【Th】若0lim()0 xxf xA，则0,当00|xx时，()0f x 若0lim()0 xxf xA，则0,当00|xx时，()0f x 推论 若0,00|xx时，()0f x，且0lim()=0 xxf xA 若0,00|xx时，()0f x，且0lim()=0 xxf xA【例 1】11,()0,1,2,lim0,lim=()nnnnnnnxxaxnxxx对常数，若则(A)无穷大 (B)0 (C)非 0 常数 (D)无穷大或常数 【分析】学会“数学翻译”0，0N，当nN时，有+1|0|nnxx 即+1nnxx，+1nnxx，+11nnxx 取1=2，则2+111222()nnnnxxxxn lim=+lim=+nnnnxx，（A）【注】递推法：（高阶至低阶）+1-1=2=2*2=nnnxxx 数学归纳法：（低阶至高阶）验证 n=1 成立，假设 n=k 成立，证明 n=k+1 成立。*正确递推应保证“nN”关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 【例 2】讨论32(1)sin()=(1)xxf xxx在其定义域内的有界性。【分析】讨论 f(x)在 I 上的有界性，有三个方法：理论法-若 f(x)在a,b上连续，则 f(x)在a,b上有界。计算法-()f x在(a,b)内连续 lim()xaf x lim()xbf x f(x)在(a,b)内有界 四则运算法若lim()f x不拆！有界有界=有界（有限个）；有界*有界=有界 【例 3】若20()-(0)limln2xf x fx，则()f x在 x=0 处 二、函数极限的计算 综述：(1)化简先行（等价替换，恒等变形，抓大头）(2)判别类型（7 种未定式）(3)使用工具（洛必达，泰勒）(4)注意事项（总结错题）【例 1】求023(32tan)3lim13sincosxxxxxxx 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 【注】设 a,b,c,d 均不为 0，则 2230(sin)arcsinlim(1)ln(1)xxa xxbxbc edxc 【例 2】求211000limxxex【分析】分子次数低于分母次数的式子可用倒代换 1xt 【例 3】设00,limln0 xxx证明 【注】对于0，设置分母有原则，简单因式才下放。【例 4】2301lim()sinxxxx【分析】-，有分母则通分 【例 5】2+1lim 4ln(2)2ln2xxxxx 【分析】-，没有分母，则创造分母再通分 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 【例 6】+2 sin0lim2-tanxxxx 以下为综合题举例：特征 涉及到未知参数分类讨论 变限积分定义 f(x)，泰勒公式【例 7】设5，为常数，k 为何值时，极限4+=lim(82)kxIxxx 存在，并求此极限值。【例 8】已知极限224500=lim()1xtxabcIedtxxx，求常数 a,b,c 【注】泰勒公式的展开原则有二：（1）上下同阶若分母（分子）是 xk则分子（分母）展开至 xk。针对 A/B 型（2）幂次最低将 A、B 分别展开至系数不等的 x 的最低次幂为止。针对 A-B 型。关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 三、数列极限的计算 1、通项已知且易于连续化，用归结原则。【Th】若+lim(),lim()xnf xAf nA 则【例】1sinlim(123)nnnnn 2、通项已知但不易于连续化，用夹逼准则。【例】(I)设 f(x)在（0，+）内可导，()0,(0,),fxx()(0,)f x证明在内单调增加。()1()=(1)(0,)xxf xn证明在内单调增加,n0()给xn,11(1),limkknnnkxnx求 3、通项由递推式给出的，用单调有界准则。【例】()证明方程 x=2ln(1+x)在（0，+）内有唯一实根 ()设11,2ln(1),1,2,lim=nnnnxxxnx定义证明【分析】()方程 f(x)=0 的根也叫函数 f(x)的零点，必考知识，主要用零点定理.关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 四、极限的应用-连续与间断 1.只需研究两类特殊的点：无定义点；（必间断）分段函数的分段点（未必间断）；2连续 若00lim()()xxf xf x，则称()f x在0 xx处连续。3.间断 设()f x在0 xx点的某去心邻域有定义，000lim()lim()()xxxxf xf xf x 1）若00lim()lim()xxxxf xf x，均存在，00lim()lim()xxxxf xf x，称0 x为跳跃间断点。000lim()lim()()xxxxf xf xf x，称0 x为可去间断点。2）00lim()lim()xxxxf xf x，至少一个不存在的条件下，且0lim()xxf x 或0lim()xxf x，称0 x为无穷间断点。若0lim()xxf x或0lim()xxf x为振荡不存在，称0 x为振荡间断点。【注】无穷间断点和振荡间断点包含于第类间断点中。f(x)在 x0的去心邻域有定义是前提。【例 1】1()=(1)lnxxf xx xx的可去间断点的个数为 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 【例 2】设22(4),0sin()(1),01x xxxf xx xxx，讨论其连续性。第二讲第二讲 一元函数微积分学一元函数微积分学 综述 定义 计算 应用-几何应用（公共），物理应用（数一二）经济应用（数三）逻辑证明（中值定理，方程根，不等式）一、定义（综述：导数、微分、不定积分、定积分、变限积分、反常积分）1、导数定义及其考法 考法：具体型 抽象型【例 1】设21sin,0()0,0 xxF xxx，求()F x。【分析】分段函数求导规则 分段点用导数定义 非分段点用公式 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 【例 2】已知,0()111,1,2,1xxf xxnnnn，f(x)在 x=0 处是否可导？若可导，求出(0)f,若不可导，说明理由。【分析】见到0()fx定义法 【例 3】设 f(x)在0 xx处可导，g(x)在0 xx处连续但不可导，证明 00()()()()0F xf x g xxxf x在处可导的充要条件是 【注 1】设 f(x)可导，0()()(1+sin),(0)0()F xf xxfF xxx则是在处可导的 条件 【注 2】23()(2)F xxxxx有 个不可导点。关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 2、微分定义 1）00()()yf xxf x 真实增量 2）0()A xfxx 线性增量 3）00-lim0()xy A xf xxx 在 处可微 【例】设2()()f uyf x可导,，当 x 在 x=-1 处取x=-0.1 时，y 的线性主部为 0.1，则(1)f 3、不定积分 定义 设()f x定义在某区间I上，若存在可导函数()F x使()()F xf x对xI 都成立，则称()F x是()f x在I上的一个原函数.记()()f x dxF xC.原函数存在定理 1）连续函数必有原函数（考过证明）即设 f(x)在 I 上连续，证明()=(),(,)()(),xaF xf t dt a xIF xf xxI 必可导，且 2）含跳跃、可去、无穷间断点的 f（x）再此区间无原函数。（证明见例 7.2）关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 3）含振荡间断点的 f(x)在此区间可能有也可能没有原函数。【例】参考上述导数定义处【例 1】4、定积分 【注】f(x)连续()=()xaF xf t dt可导 f(x)可积()=()xaF xf t dt连续 【例】课本例 7.5 【小结】1、f(x)是否在区间 I 上有原函数？盯着“连续与间断”连续 有原函数，且是()=()()(),xaF xf t dtF xf xxI，跳跃-无原函数，在跳跃处00000(0)(0),()(),f xf xF xf xxI 可去-无 2、f(x)是否在区间 I 上可积？（参考上图）【注】（1）奇偶性 1）可导 f（x）是奇函数，则 f(x)是偶函数。()baf x dx存在 f x在a,b上可积 a,b区间有限 f x在a,b上有界 f x在a,b上连续 f x在a,b上只有有限个间断点且有界 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 2）可导 f（x）是偶函数，则 f(x)是奇函数。3）可积 f（x）是奇函数，则0(),()(),0 xxaf t dtxF xf t dtx a偶函数偶函数 4）可积 f（x）是偶函数，则0(),()(),0 xxaf t dtxF xf t dtx a奇函数不定【例 1】设 f（x）是奇函数，除 x=0 外处处连续，x=0 为其第一类间断点，则0()()xF xf t dt是（）A 连续的奇函数 B 连续的偶函数 C x=0 为间断点的奇函数 D x=0 为间断点的偶函数 （2）周期性 1）可导 f(x)以 T 为周期f(x)以 T 为周期 2）可积 f(x)以 T 为周期，则0()()xF xf t dt以 T 为周期的充要条件是0()0Tf x dx 【预备定理】若 f(x)以 T 为周期,可积，则0()=(),Ta Taf x dxf x dxa （3）有界性【例】设 f(x)在（0，+）内可导，则（）(A)f(x)在（x,+）内有界，则 f(x)在（x,+）内有界(B)f(x)在（x,+）内有界，则 f(x)在（x,+）内有界(C)f(x)在（0,）内有界，则 f(x)在（0,）内有界(D)f(x)在（0,）内有界，则 f(x)在（0,）内有界 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 【Th】设 f(x)在a,b有限区间可导，且 f(x)有界，(,)xa b，证明 f(x)有界，(,)xa b 【分析】联系 f 与 f，想到拉氏定理 (4)单调性（无明确结论）关于定积分的精确定义 1）两个任意：a,b任意切分，任意取高 ()baf x dx存在（唯一）称 f(x)可积。2）考研中，如下 n 等分a,b,取右端点的高，则1lim()nbanibabafaif x dxnn 令 a=0,b=1,则1011lim()nniiff x dxn n 三步曲：1）先提出1n 2）再凑出in，3）1n读作10dx上的，in读作10 x上的【例】求22222123lim(+)149nnnnnnnnnnn 【例 2】求1sinlim1nniinn 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 5、变限积分 ()xaf t dt-变上限积分函数 ()bxf t dt-变下限积分函数 21()()()xxf t dt-变限积分函数 变限积分属于定积分范畴 求导公式 21()2211()()()()()()xxxf t dtfxxfxx【注】上述求导公式使用前提是被积函数只含 t,不含 x【例】设 f(x)连续，则220()xxtf xtdt 6、反常积分 定义 1）,a b破坏有限性+-()()()baf x dxf x dxf x dx，称无穷区间的反常积分 2）(),f xa b破坏在上的有界性()lim()baxbf x dxf x，其中称b为瑕点，称无界函数的反常积分 判别依据 “足够近则收敛，不够近则发散”+1111ppdxxp 收敛发散 10111ppdxxp 收敛发散 p-积分 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 【例】设10ln0,xdxx讨论的敛散性 二、计算 1、基本公式(熟稔于心)2、求导 综述 一般题：求导规则，符号写法 （复合函数求导，隐函数求导，参数方程求导，反函数求导，对数求导法，分段函数求导）高阶导数（泰勒公式、莱布尼兹）【例 1】设 f(x),g(x)二阶可导，()0gx，若0()=()()g xaxf g x0是g的极值，则在x 取极大值的一个充分条件是（）(A)()0fa (B)()0fa (C)()0fa (D)()0fa 【例 2】设 y=y(x)由方程32260yxyx y确定，求 y(x)的极值。【分析】对隐函数求导，直接在方程两边对 x 求导即可，注意 y=y(x)关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 【例 3】设曲线sin1 cosxttyt （0t0)上二阶导数连续，f(0)=0()写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式()证明3,()3()/aaa aff x dx a 使【分析】介值定理：1）()fx在a,b上连续，则()Mmfx 2）若u.使muM，3）则,()a bfu 【例 2】设 f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，f(0)=0,f(1)=1 证明存在不同的123123,(0,1),()()()3fff 使 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 2、方程根 f(x)=0 1)存在性：零点定理：当()()0(,),()0f af ba bf时，使 或罗尔定理 2）唯一性 单调性（f(x)0 为增函数，f(x)0 为减函数）罗尔原话：若()()0nfx 至多 k 个根，则(-1)()0nfx 至多 k+1 个根【例】证明0ln1cos20 xxexdx有且仅有两个根。【分析】20001cos2=2sin2sin2 2xdxxdxxdx 即证ln2 20 xxe 令()ln2 2,(0)xf xxex(1)证明存在：00lim()lim(ln2 2)0 xxxf xxe +lim(ln2 2=-0(1)2 20 xxxefe ）由零点定理知至少有两个实根。(2)仅有 1()xfxex，21()0 xfxex，故()fx至多 0 个根，()fx至多 1 个根，()f x至多 2 个根，故有且仅有两个根。3、不等式 核心工具是求导研究性态【例 4】设 f(x),g(x)在a,b上连续，且 f(x)单调增加，0()1g x 证明()0(),xag t dtxa xa b ()()()()()baag t dtbaaf x dxf x g x dx【证明】()已知0()1g x，则 0()1xxxaaadtg t dtdt，即0(),xag t dtxa xa b()常数变量化 令()()()()()xaag t dtxaaF xf u duf u g u du 关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地新东方在线 考研数学网络课堂电子教材系列 则()()()()()()()()xaxaFxf ag t dt g xf x g xf ag t dtf x g x 由（）知，()xaag t dtx,f(x)递增，则()()xaf ag t dtf x，故()()()()0 xaFxf ag t dtf x g x F(X)单调递减，而 F(a)=0，故(b)()0FF a，证毕。关注微信公众号【考研狗之家】有料有态度的考研基地