凯哥团队 3月 月考（解答）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 3 月 月考试卷（解答）一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 50 分）分）1.设时，的等价无穷小是，则()解解：选 B.2.设在的某邻域内有定义，则在可导的一个充分条件可以是()解解：选 D.A 选项的 只能趋向于正无穷大，导致只能趋向于正无穷小，所以只能推出右导数存在；B 选项的分子没有出现，这是导数定义中必不可少的一项！取可知，但在处不连续，自然也就不可导.C 选项的错因和 B 相同，反例也相同.3.设函数二阶可导，则在区间上()解解：令和，得，并且注意到是一条直线，则可画图秒杀.当时，曲线是一条向下凹的曲线.由于，则曲线一定在直线下方，即，故选 D.4.设在处存在二阶导数，且，则点()解解：选 C.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 分母等价于，故原式化为.由于分母极限为0，故分子极限必为0，故分子等价为，原式化为.故.同理，由于分母极限为 0，故分子极限必须为 0，即.又在处连续，故，故是的驻点.将代入得，.故是的极大值点.故选 C.5.下列命题正确的是()解：选 C.A 错，反例为，故存在，但振荡.B 错，反例为，故，故，但不存在；D 错，反例为，其中为狄利克雷函数.（无穷小乘有界），故存在.但对于任何点，当的过程中，都会无数次的取到有理数和无理数，使得的函数值无数次的在 0 和 1 两个数字中变化，所以不存在，所以一旦，则 不存在.这说明在一切的点，连极限都不存在，更不连续、不可导了！故仅在可导，在其他点都不可导.C 显然正确，因为导函数连续的定义就是，等式左边自然就保证了在的任何去心邻域内都存在！考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 6.设函数在区间上连续，则下列极限与不相等的是()解解：选 C.对于 A，将视为，故被积函数为，又由于 从 1 到，故的极限范围是 0 到 1.积分区间长度为 1，除以份数，故每一份的长度为，故.对于 B，将视为，故被积函数为，由于 从 1 到，故的极限范围是 0 到 1.积分区间长度为 1，除以份数，故每一份的长度为，故.对于 D，将视为，故被积函数为，由于 从 1 到，故的极限范围是 0 到 1.积分区间长度为 1，除以份数，故每一份的长度为.虽然 D 选项中乘的，但和是等价无穷小，故.C 的积分区间显然是，而不是.7.设可导，则当时，正确的是()解：选 C，画图显然，请听讲解.严谨的推导可以直接判断函数的单调性，过程如下 令，时，令分子，故递减，又，故.故，故递减，即递减，故，即.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 8.设在上导函数连续，且，则()解解：选 C.看到，联想到，故 9.设在上连续，则在内的实根个数为()解解：选 B.令，故，故由零点定理，在内至少存在一个零点.，故递增，故零点必定唯一，故选 B.10.下列命题正确的是()解解：本题选 B.对于 A，当时，无法判断去心邻域内和的大小，如,这三个函数在处的极限均为 0，但是在去心邻域内，而有正也有负.对于 B，其实就是极限的“局部保号性”，即“极限正，则去心邻域正；极限负，则去心邻域负”，从而可以推出“极限大，则去心邻域大；极限小，则去心邻域小”.对于 C，根本没说和存在（这是一个很坑的地方）；对于 D，错误原因是“取极限的操作会把严格的不等号变成不严格的不等号”，比如，但是极限却刚好等于 0，再比如，但是极限刚好是.所以 D 选项应该是才对.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 二、填空题二、填空题 11.解解：填.12.设，则 .解解：填 6.13.已知恒成立，则 的取值范围是 .解解：填.分离变量，原不等式等价于，故 只需大于等于的最大值.令，令，（）故递减，故，故，故递增.故时，故只需即可.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 14.设由参数方程所确定的函数，则 .解解：首先要清楚，对应着.令，得.15.曲线的斜渐近线为 .解解：填和.，故的一条斜渐近线为.同理可计算出时的斜渐近线为.16.解解：填.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 三、解答题三、解答题 17.（本题 11 分）解解：其中，介于和之间，故当时，.5 分 10 分 11 分 18.（本题 11 分）解解：设.，且.4 分，且.10 分 由夹逼准则，.11 分 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 19.（本题 11 分）设，问为何值时，在处连续，但不存在.解解：由于在处连续，故显然.1 分，故.4 分，由于，故在处已经连续.7 分，故.10 分 综上，即为所求.11 分 20.（本题 11 分）解解：3 分 令，代入计算 6 分 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 9 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 8 分 故 11 分 21.（本题 13 分）设函数连续，且，求并讨论在处的连续性.解解：显然不能直接求导，需要换元将被积函数里的“转移”到积分上下限中.当时，；3 分 当时，由于连续且，故.故，故.4 分 当时，7 分 当时，9 分 故.12 分 故在处连续.13 分 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-月考试卷月考试卷 10 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 22.（本题 13 分）(1)证明：当时，；(2)计算.解解：(1)令，.故递增 2 分，故时，递减，故.4 分(2)9 分 又由于，且 12 分 故由夹逼准则可得，.13 分