通关教程概率统计第一章-【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

第一章第一章 随机事件和概率随机事件和概率 本章知识结构网络图本章知识结构网络图 考试内容与要求考试内容与要求 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用考试内容与要求考试内容与要求 考试内容考试内容 随机事件与样本空间;事件的关系与运算;完备事件组;概率的概念;概率的基本性质;古典型概率;几何型概率;条件概率;概率的基本公式;事件的独立性;独立重复试验.考试要求考试要求 1.了解样本空间(基本事件空间)的概念,理解随机事件的概念,掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质.会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式.3.理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念,掌握计算有关事件概率的方法.1 随机事件的关系与运算随机事件的关系与运算 大纲考点梳理大纲考点梳理 1.1 随机试验、样本与随机事件随机试验、样本与随机事件 1.1.1 随机试验随机试验 若对随机现象进行观察和分析的试验具有如下特点:(1)可以在相同的条件下重复进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,但能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.则称此试验为随机试验,简称试验,通常用字母E表示.1.1.2 样本空间样本空间 随机试验E的每个结果称为样本点,记作,所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为,则有=.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用1.1.3 随机事件随机事件 样本空间的子集称为随机事件,简称事件,用字母A B C,表示.随机事件由样本点组成,其中由一个样本点组成的单点集,称为基本事件;由多个样本点组成的集合称为复合事件.若一次试验的结果中,某一基本事件出现,则称该基本事件发生,对于某一事件A,若其包含的某一样本点出现,则称事件A发生.样本空间包含所有的样本点,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,在每次试验中都不发生,称为不可能事件.【注】事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然按集合论中集合之间的关系和运算来处理.1.2 随机事件的关系与运算随机事件的关系与运算 1.2.1 随机事件的关系随机事件的关系 设试验E的样本空间为,事件)=A B Akk,1,2,(是的子集,则(1)事件的包含与相等:若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A或事件A包含于事件B,记作BA或AB.若事件A B,相互包含,则称事件A B,相等,记作=AB.(2)事件的和(并):事件A B,至少有一个发生,称为A与B的和(并),记作 或=ABAB.类似地,称1nkkA=为n个事件,nA AA12的和事件,1kkA=为可列个事件A A,12的和事件.(3)事件的交(积):事件A B,同时发生,称为A与B的交(积),记作 且=ABAB.类似地,称1nkkA=为n个事件,nA AA12的积事件,称1kkA=为可列个事件A A,12的积事件.(4)事件的差:事件A发生但B不发生,称为A与B的差,记作 且=ABAB.(5)事件互斥(不相容):若事件A与事件B不能同时发生,即=AB,则称事件A与B是互斥(不相容)的.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用(6)事件对立(互逆):若事件A B,不能同时发生,但必有一个发生,即=AB且=AB,则称事件A B,为对立(互逆)事件,记作=BA或=AB.1.2.2 随机事件的运算律随机事件的运算律(1)吸收律:若AB,则=ABB ABA,.(2)交换律:=ABBA ABBA,.(3)结合律:=ABCABCABC)()(,=ABCABCABC.)()(4)分配律:=ABCABAC)()()(,=ABCABAC.)()()(5)德摩根律:=ABAABABB,.1.3 韦韦恩图恩图 事件的关系和运算可以用韦恩图形象地表示出来,如图 1.1所示.图 1.1 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用典型例题解析典型例题解析【例 1.1】某射手向目标射击三次,用Ai表示第i次击中目标,=i1,2,3.试用Ai及其运算符表示下列事件:(1)三次都击中目标;(2)至少有一次击中目标;(3)恰好有两次击中目标;(4)最多击中一次;(5)至少有一次没有击中目标;(6)三次都没有击中目标.【解析】(1A A A)123;(2)AAA123;(3)A A AA A AA A A123123123;(4)A AA AA A121323;(5)=AAAA A A123123;(6)=A A AAAA123123.【注】事件(1)与(5),事件(2)与(6)为对立事件.【例 1.2】设事件A与事件B满足条件=ABAB,则【】(A)=AB.(B)=AB.(C)=ABA.(D)=ABB.【解析】选(B).因为=ABAB,两边与B求交集得 =BBABBB BAA,)()()(则=ABAB,故 =BBABAA.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用【例 1.3】对于事件A B,与=ABB不等价的是【】(A)AB.(B)BA.(C)=BA.(D)=BA.【解析】选(D).因为=BABABBABA,故选(D).事实上,=AABBBAABA.【例 1.4】设A B C,是三个事件,一定与事件A互斥的事件是【】(A)BACA.(B)()A BC.(C)ABC.(D)ABC.【解析】D 【例 1.5设A B C,是随机事件，则()_ABC=（A）()ABC （B）()ABC （C）)()ABAC(（D）)()ABAC(【解析解析】根据德 摩根律=ABCABC()()，以及=BCBC().原式变形为=ABCABC()()，题中无选项，还需要进一步恒等变形，根据分配律=ABCABAC()()()，选（C）.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 2 随机事件的概率随机事件的概率 大纲考点梳理大纲考点梳理 2.1 概率的定义与基本性质概率的定义与基本性质 2.1.1 概率的公理化定义概率的公理化定义 设E是随机试验,是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数,记为()P A,若事件函数()P 满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A,有()0P A;(2)规范性:对于必然事件,有()1P=;(3)可列可加性:设12,A A,是两两互不相容的事件,即对于(),1,2,ijA Aij i j=,有 ()()()1212P AAP AP A=+则称()P A为事件A的概率.2.1.2 概率的基本性质概率的基本性质(1)()()0,1PP=,对任一事件A有()01P A;(2)有限可加性:若12,nA AA是两两互不相容的事件,则有 ()()()()1212;nnP AAAP AP AP A=+(3)加法公式:()()()(),P ABP AP BP AB=+()()()()()()()();P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+(4)减法公式:()()(),P ABP AP AB=若BA,则 ()()()()(),;P ABP AP BP BP A=(5)逆事件的概率:()()1P AP A=仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用(6)乘法公式:设,A B两个事件,若()0P A,则有 ()()().P ABP A P B A=推论:若()1210nP A AA,则有 ()()()()12121121.nnnP A AAP A P AAP AA AA=2.2 古典概型与几何概型古典概型与几何概型 2.2.1 古典概型古典概型 对于试验E,若其具有以下两个特点:(1)样本空间只包含有限个样本点,即包含有限个基本事件;(2)每个样本点发生的可能性相同,则称试验E为等可能概型,也被称为古典概型.此时,对于事件A,其概率为 ().AP A=事件 中的样本点数中的样本点数 2.2.2 几何概型几何概型 若试验E的样本空间为某区域(此区域维数不限),其几何度量可以为长度、面积、体积等,且中任一样本点落在度量相同的子区域内的可能性相同,则称试验E为几何概型.此时,对于事件A,其概率为 ().AP A=的几何度量的几何度量 2.3 条件概率与全概率公式条件概率与全概率公式 2.3.1 条件概率条件概率 设,A B是两个事件,且()0P A,则称在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,定义为 ()()().P ABP B AP A=仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用2.3.2 完备事件组完备事件组 对于试验E中有限个12,nA AA或可列个事件12,A A,样本空间为,若满足以下两个条件:(1)(),1,2,ijA Aij i j=;(2)12nAAA=或12AA=.则称12,A A是一个完备事件组,也称12,A A为样本空间的一个划分.其意义是:有限个事件12,nA AA或可列个事件12,A A中仅发生且必须发生其中之一.2.3.3 全概率公式全概率公式 全概率公式:设为试验E的样本空间,12,nB BB为的一个完备事件组,且()()01,2,iP Bin=,则 ()()()1.niiiP AP B P A B=2.3.4 贝叶斯公式贝叶斯公式 贝叶斯公式:设为试验E的样本空间,12,nB BB为的一个完备事件组,且()()()01,2,0iP BinP A=则 ()()()()()()()1,1,2,.iiiinjjjP B P A BP B AP B AinP AP B P A B=典型例题解析典型例题解析 专题一 概率的基本性质【例 1.6】设事件A与事件B互不相容,则【】(A)()0P AB=.(B)()()()P ABP A P B=.(C)()()1P AP B=.(D)()1P AB=.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用【解析】选(D).由于事件A和B互不相容,AB=,所以有(AB=全集),因此 ()()()1.ABABPPP=【例 1.7】设随机事件A和B及其和事件的概率分别为0.5,0.4和 0.8,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率为()P AB=_.【解析】本题目有以下两种解法.【思路一】因为()()()()P ABP AP BP AB=+,故 ()()()()0.1,P ABP AP BP AB=+=则 ()()()()0.50.10.4.P AP AABP AP ABB=【思路二】由加法公式得 ()()()()()0.80.40.4.P AP AP ABPBP BBA=【例 1.8】设,A B为随机事件,则()()P AP B=的充分必要条件是 (A)()()()P ABP AP B=+.(B)()()()P ABP A P B=.(C)()()P ABP BA=.(D)()()P ABP AB=.2019，数一 【答案】C 专题二 古典概型与几何概型【例 1.9】某教研室有 11 名教师,其中男教师 7 人,现要选 3 个优秀教师,问 3 个优秀教师中至少有一个女教师的概率.【解析】本题目有以下两种解法.【思路一】设iA表示 3 名优秀教师中恰好有i名女教师,1,2,3i=.设A为所求事件,则123123,AAAA A A A=两两互斥,由加法公式有 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用()()()()123122130474747333111111C CC CC C26.CCC33P AP AP AP A=+=+=【思路二】设A表示 3 个优秀教师中至少有一个女教师,则A表示 3 个优秀教师均为男性,则 ()()37311C2611.C33PP AA=【例 1.10】从()0,1中任意取两个数,试求这两个数之和小于 1且其积小于316的概率.【解新】设,x y分别表示所取的两个数,由于样本空间为 (),01,01,x yxy=A表示事件“两数之和小于 1且其积小于316”,于是 ()()3,1,.16Ax yx yxyxy=+由1,316xyxy+=可得交点为1 33 1,4 44 4 .从而可得出A之区域为如图 1.5所示的阴影部分,图 1.5 则 34141313dln3,416416ASxx=+=+1,S=故 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用()13ln3.416ASP AS=+专题三 条件概率【例 1.11】设,A B为随机事件,且()()0,1P BP A B=,则必有【】(A)()()P ABP A.(B)()()P ABP B.(C)()()P ABP A=.(D)()()P ABP B=.【解析】选(C).因为()()()()1(0)P ABP A BP BP B=,所以()()P ABP B=,由加法公式得 ()()()()().P ABP AP BP ABP A=+=【例 1.12】设ABC、是随机事件,A与C互不相容,()()11,23P ABP C=,则()P AB C=_.【解析】由于事件AC、互不相容,所以有,ACABC=,于是()0P ABC=,则 ()()()()()()()()132.111413P ABCP ABP ABCP ABP AB CP CP CP C=【例 1.13】设,A B C为三个随机事件，A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立，且()()()13P AP BP C=，则()AP BCBC=_.2022数一真题【答案】5/8 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用【例 1.14】设,A B为随机事件,且()01P B,下列命题为假命题的是【】(A)若()()P A BP A=,则()()P AABP=.(B)若()()P A BP A,则()()P A BAP.(C)若()()BP A BP A,则()()P A BP A.(D)若()()P A ABPABA,则()()P AP B.【解析】选(D).【思路一】排除法,设AB=,则选项()D中已知条件则转化为()()P AAP,由此条件无法判断()P A与()P B的大小关系,故选(D).【思路二】直接计算法.选项()A中条件等价于事件A与事件B相互独立,事件A与事件B也相互独立,则()()P AABP=.选项()B中条件可转化为()()()P ABP A P B,则()()()()()()()1111BBP AP AP ABPAA BBBPPP=()()()()()()()1111P ABP AP A P BP AP BP B=+()()1.P AAP=对于选项(C),因为()()()()P AP APP ABBB=,所以()()P A BP A.故选 D 专题四 全概率公式与贝叶斯公式【例 1.15】从数1,2,3,4中任取一个数,记为X,再从1,X中任取一个数,记为Y,则()2P Y=_.【解 析】由 题设 可知,事 件 1,2,3,4XXXX=为 一 完备 事 件组,并 且()11,2,3,44P Xii=.根据全概率公式 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 4122,iP YP Xi P YXi=由条件概率公式得 ()1210,22,3,4,P YXP YXiii=所以 11111320.423448P Y=+=【例 1.16】某人去某地出差,他乘火车、船、汽车和飞机的概率依次为3 112,10 5 10 5;而乘火车、船、汽车和飞机迟到的概率依次为1 21,04 3 12,结果此人迟到了,试推测他乘何种交通工具的可能性最大.【解析】记1A=乘火车2,A=乘船3,A=乘汽车4,A=乘飞机,B=此人迟到了,则由题设条件可知 ()()()()12343112,105105P AP AP AP A=()()()()1234121,0.4312P B AP B AP B AP B A=由全概率公式可得 ()()()4113211120410351210513,60iiiP BP B AP A=+=则 ()()()()1113139.406026P B A P AP A BP B=同理可得 ()()()234161,0.2626P ABP ABP AB=显然,其乘船的可能性最大.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用【例 1.17】设某厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需要进一步调试.经调试后,以概率0.80可以出厂,以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n 台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求(1)全部能出厂的概率 ;(2)其中恰好有两件不能出厂的概率;(3)其中至少有两件不能出厂的概率.【答案】（1）0.94n=，（2）2220.940.06nnC =，（3）1110.940.940.06nnnC =.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用 3 事件的独立性事件的独立性 大大纲纲考点梳理考点梳理 3.1 事件独立事件独立 3.1.1 事件独立的定义事件独立的定义 设()2n n 个事件12,nA AA,如果对于其中任意 2 个,任意 3 个,任意n个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积,则称事件12,nA AA相互独立.上述定义用公式可如下表达：(1)对于两个事件,A B:A与B相互独立()()()P ABP A P B=.(2)对于三个事件,A B C:()()()()()()()()()()()()(),.P ABP A P BP BCP B P CA B CP ACP A P CP ABCP A P B P C=相互独立 当仅满足前三个等式,而不满足最后一个等式时,称,A B C两两独立.3.1.2 事件独立的性质事件独立的性质(1)和与任何事件都相互独立;(2)事件,A B相互独立A与B独立A与B独立A与B独立.(3)若两任意事件A与B独立且AB,则()0P A=或()1P B=.(4)若事件12,nA AA相互独立,则其中任意()2kkn个事件也相互独立,反之不成立.3.2 独立重复试验独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做若干次的试验称为独立重复试验.其中,各次试验的结果之间相互独立,且同一事件在各次试验中出现的概率相同.仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用3.3 伯努利概型伯努利概型 若每次试验只有对立的两个结果A和A,则称这种试验为伯努利试验,将伯努利试验独立重复进行n次,称为n重伯努利试验.设在n重伯努利试验中,()(01)P App=,则在n重伯努利试验中事件A发生k次的概率为 ()()C(1)0,1,2,.kkn knnP kppkn=此公式又称为二项分布的概率公式.典型例题解析典型例题解析 专题一 事件的独立性【例 1.18】设,A B C三个事件两两独立,则,A B C相互独立的充分必要条件是【】(A)A与BC独立.(B)AB与AC独立.(C)AB与AC独立.(D)AB与AC独立.【解析】选(A).,A B C相互独立的充分必要条件是:,A B C两两独立,且()()()()P ABCP A P B P C=.由题意知,A B C两两独立,因此,A B C相互独立等价于 ()()()().P ABCP A P B P C=对于题中(A)选项,因为A与BC独立,并且B与C独立,故 ()()()()()().P ABCP A P BCP A P B P C=其余选项推不出此结果,所以答案为()A.【例 1.19】已知0()1P A，0()1P B,且(|)+(|)=1P A BP A B,则(A),A B互不相容.(B),A B互相对立.(C),A B互不对立.(D),A B相互独立.【答案答案】(B).仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用【例 1.20】设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1,9A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则()P A=_.【解析】因为,A B为独立事件,所以,A B也为独立事件,于是得到 ()()()1.9PPAABPB=又 ()(),P ABP AB=由减法公式可得 ()()()().P AP ABP BP AB=则 ()(),P AP B=因此 ()()()()()21111.9PPP AAP BPBA=解得()23P A=.【例 1.21】设,A B是两个随机事件,()()()()0.5,1,0.8AP AP B APBPAB=+=.求()P AB.【解析】对于任何概率不为零的事件A,一定有()()1PPABBA+=,结合题设条件()()1PP B AB A+=可得，()()()()()()()()()()1,P ABP BP ABP B AP BP AP AP ABABAPP=即A与B相互独立.加法公式:()()()()()()()()(),P ABP AP BP ABP AP BP APP BAA=+=+=+仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用()()()()0.6,P ABP APP AB=()()()()()110.7,PP ABP ABBP A P BA=也可以从A与B独立知A与B也独立,因此有 ()()()()()()1,1.P ABPPPP A PABABB=联立得到()0.7P AB=.专题二 伯努利概型【例 1.22】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01)pp,则此人第 4次射击恰好第 2次命中目标的概率为【】(A)23(1)pp.(B)26(1)pp.(C)223(1)pp.(D)226(1)pp.【解析】选(C).记事件A为“第 4 次射击且恰好第 2 次命中”,则A表示一共射击 4 次,前 3 次只有 1 次命中目标,最后一次也命中目标,那么 ()12223C(1)3(1).P Appppp=【例 1.23】某射手的命中率为(01)pp,该射手连续射击n次才命中k次()kn的概率为【】(A)(1)kn kpp.(B)C(1)kkn knpp.(C)11C(1)kkn knpp.(D)111C(1)kkn knpp.【答案】C 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用【例 1.24】设每次试验成功的概率为(01)pp,则在 3 次重复独立试验中至少失败一次的概率为【】(A)3p.(B)3(1)p.(C)31p+.(D)()322(1)3(1)31ppppp+.【答案】D 【例 1.25】设随机事件,A B C的概率均为p,且A与,B C分别独立,B与C不相容.若,A B C中至少一个发生的概率为79,则,A B C中至少发生两个的概率为_【答案】2/9 仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用仅限浩哥2 0 2 5 届考研课程使用