2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案.pdf

世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：2012015 5 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(三三)答案答案关注文都网校考研公众号领取更多考研资料一、选择题一、选择题(1)【答案】(D)【解析】考查数列极限与子列极限的关系。数列收敛，那么它的任何无穷子列均收敛，所以 A 与 C 正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。B 正确，D 错,故选 D(2)【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()fx不存在的点或()0fx的点处产生。所以()yf x有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数()fx符号发生改变的点即为拐点。所以从图可知，拐点个数为 2，故选 C.(3)【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域1(,)0,02sin4Drr2(,),02cos42Drr所以2sin2cos420004(,)(cos,sin)(cos,sin)Df x y dxdydf rrrdrdf rrrdr，选B。(4)【答案】(C)世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：【解析】A 为正项级数，因为11113limlim1333nnnnnnnn，所以根据正项级数的比值判别法13nnn收敛；B 为正项级数，因为32111ln(1)nnn，根据P级数收敛准则，知111ln(1)nnn收敛；C，111(1)1(1)1lnlnlnnnnnnnnn，根据莱布尼茨判别法知1(1)lnnnn收敛，11lnnn发散，所以根据级数收敛定义知，1(1)1lnnnn发散；D 为正项级数，因为11(1)!(1)!1(1)limlimlim1!(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnen，所以根据正项级数的比值判别法1!nnnn收敛，所以选 C。(5 5)【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A badadadaadd，由()(,)3r Ar A b，故1a 或2a，同时1d 或2d。故选（D）(6)【答案】(A)【解析】由xPy，故222123()2TTTfx AxyP AP yyyy.且200010001TP AP.100001010QPPC200()010001TTTQ AQCP AP C世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：所以222123()2TTTfx AxyQ AQ yyyy。选（A）(7)【答案】(C)【解 析】由 于,ABA ABB，按 概 率 的 基 本 性 质，我 们 有()()P ABP A且()()P ABP B，从而()()()2P AP BP AB，选(C).(8)【答案】(B)【解 析】根 据 样 本 方 差2211()1niiSXXn的 性 质2()()E SD X，而()(1)D Xm，从而221()(1)()(1)(1)niiEXXnE Sm n，选(B).填空题填空题（9）【答案】12【解析】原极限2200ln(1 cos1)cos11limlim2xxxxxx（10）【答案】2【解析】因为()f x连续，所以()x可导，所以2220()()2()xxf t dtx f x；因为(1)1，所以10(1)()1f t dt又因为(1)5，所以10(1)()2(1)5f t dtf故(1)2f（11）【答案】1233dxdy【解析】当0 x，0y 时带入231xyzexyz，得0z。对231xyzexyz求微分，得2323()(23)()xyzxyzd exyzed xyzd xyz23(23)xyzedxdydzyzdxxzdyxydz0世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：把0 x，0y，0z 代入上式，得230dxdydz所以(0,0)1233dzdxdy（12）【答案】2()2xxy xee【解析】20yyy的特征方程为220，特征根为2，1，所以该齐次微分方程的通解为212()xxy xC eC e，因为()y x可导，所以0 x 为驻点，即(0)3y，(0)0y，所以11C，22C，故2()2xxy xee（13）【答案】21【解析】A的所有特征值为2,2,1.B的所有特征值为3,7,1.所以|3 7 121B 。（14）【答案】12【解析】由题设知，(1,1),(0,1)XNYN，而且XY、相互独立，从而0(1)010,010,0P XYYPXYP XYP XY 111111 01 022222P XP YP XP Y.三、解答题：三、解答题：1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.（15）【答案】111,23abk【解析】法一：因为233ln(1)()23xxxxo x，33sin()3!xxxo x，那么，23333000(1)()()()ln(1)sin231limlimlim()xxxaaa xbxxo xf xxaxbxxg xkxkx，世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：可得：100213aabak，所以，11213abk 法二：解：由题，得300sin)1ln(lim)()(lim1kxxbxxaxxgxfxx203cossin11limkxxbxxbxax由分母03lim20kxx，得分子)cossin11(lim0 xbxxbxax0)1(lim0ax，求得 c；于是)()(lim10 xgxfx203cossin111limkxxbxxbxx）（xkxxxbxxxbxx13cos)1(sin)1(lim20203cos)1(sin)1(limkxxxbxxxbxxkxxxbxxbxxxbxxbxbx6sin)1(coscos)1(cos)1(sin1lim0由分母06lim0kxx，得分子sin)1(coscos)1(2sin1 lim0 xxbxxbxxxbxbx0)cos21(lim0 xbx，求得21b；进一步，b 值代入原式)()(lim10 xgxfxkxxxxxxxxxx6sin)1(21cos21cos)1(sin211lim0世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：kxxxxxxxxxxxxxxx6cos)1(21sin21sin)1(21sin21cos21sin)1(coscos21lim0k621，求得.31k（16）【答案】245【解析】2()DDx xy dxdyx dxdy2212202xxdxx dy122202(2)xxx dx2sin12222400222222sin2cos55xtxx dxttdt22242002222sin 2sin.5545uttdtudu（17）【答案】(I)略(II)30P.【解析】(I)由于利润函数()()()()L QR QC QPQC Q,两边对Q求导，得()dLdPdPPQC QPQMCdQdQdQ.当且仅当0dLdQ时，利润()L Q最大，又由于P dQQ dP,所以1dPPdQQ,故当11MCP时，利润最大.(II)由于()22(40)MCC QQP,则40P dQPQ dPP 代入(I)中的定价模型，得2(40)401PPPP,从而解得30P.（18）【答案】84f xx世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：【解 析】曲 线 的 切 线 方 程 为000yf xfxxx，切 线 与x轴 的 交 点 为000,0f xxfx故面积为：200142fxSfx.故 f x满足的方程为 28fxfx,此为可分离变量的微分方程,解得 8fxxC，又由于 0=2f，带入可得4C ，从而 84f xx（19）【答案】12()()()()nfxu x uxux121212()()()()()()()()()nnnux uxuxu x uxuxu x uxux【解析】（I）0()()()()()()limhu xh v xhu x v xu x v xh 0()()()()()()()()limhu xh v xhu xh v xu xh v xu x v xh00()()()()lim()lim()hhv xhv xu xhu xu xhv xhh()()()()u x v xu x v x（II）由题意得12()()()()nfxu x uxux121212()()()()()()()()()nnnux uxuxu x uxuxu x uxux（20）【答案】3120,111211aX【解析】(I)323100100111100011aAOAaaaaaaaa (II)由题意知世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：222211122212XXAAXAXAEX EAAX EAEEA X EAEXEAEAEAEAXEAA2011111112EAA，312111211X（21）【答案】2314,5,101011abP【解析】(1)()()311ABtr Atr Bab 0231201330012031 ABba14235 abaabb023100123133010123123001123 AEC世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：123112311231231 CC的特征值1230,40时(0)0EC x的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)TT5时(4)0EC x的基础解系为3(1,1,1)TA 的特征值1:1,1,5 AC令123231(,)101011 P，1115P AP（22）【答案】(I)12221171188nnnP YnCpppn()()()()，2 3,n；(II)16E Y().【解析】(I)记p为观测值大于 3 的概率，则313228()lnxpP Xdx，从而12221171188nnnP YnCpppn()()()()，2 3,n 为Y的概率分布；(II)将随机变量Y分解成=Y MN两个过程,其中M表示从1到()n nk次试验观测值大于3首次发生，N表示从1n次到第k试验观测值大于3首次发生.则MGe n p(,)，NGe kn p(,)所以11221618E YE MNE ME Nppp()()()().（23）【答案】(I)1121niiXXXn,；世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：(II)12nXXX min,.【解析】(I)11112()(;)E Xxf xdxxdx，令()E XX，即12X，解得1121niiXXXn,为的矩估计量；(II)似然函数1()(;)niiLf x，当1ix时，11111()()nniL，则1ln()ln()Ln.从而1ln()dLnd，关于单调增加，所以12nXXX min,为的最大似然估计量.关注文都网校考研公众号领取更多考研资料